假设检验：P值与显著性

假设检验帮助你从噪声中区分真实模式。如果原假设为真，P值告诉你数据有多令人惊讶。

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核心思想

假设你观察到某个交易策略在过去一年产生了 15% 的收益。这是真正有效的策略，还是仅仅是运气？假设检验为回答这个问题提供了一个严格的框架。

这个想法很简单：我们假设一个原假设 $H_0$ ——“没有异常事情发生”这一基准立场。然后我们问：如果 $H_0$ 为真，我们实际观察到的数据有多令人惊讶？如果数据在 $H_0$ 下非常令人惊讶，我们就拒绝 $H_0$ 而支持备择假设 $H_1$ 。

原假设与备择假设

在交易策略的背景下，一个很自然的原假设是策略的均值收益为零（任何观察到的收益只是噪声）。备择假设是均值收益大于零，即策略有真正的正期望收益：

H_0: \mu = 0 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu > 0

这是一个单侧检验，因为备择假设只关心一个方向。两侧检验（如检验某个系数是否等于特定值，而非大于或小于）的备择假设为 $H_1: \mu \neq 0$ 。

检验统计量

在 $H_0$ 下，我们知道样本均值的抽样分布。如果样本均值为 $\bar{x}$ ，单样本 t 检验的检验统计量为：

t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}

其中 $\mu_0$ 是 $H_0$ 下的假设均值， $s$ 是样本标准差， $n$ 是样本量。

如果 $H_0$ 为真，这个 $t$ 统计量服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。当 $H_0$ 为假时， $t$ 统计量倾向于更大（朝向备择假设的方向）。

P 值

P值是在原假设为真的条件下，观察到至少与我们实际观察到的数据一样极端的数据的概率：

p\text{-value} = P(\text{观察到至少与我们实际观察到的数据一样极端的数据} \mid H_0)

小的 P 值意味着数据在 $H_0$ 下不太可能——这是反对原假设的证据。大的 P 值意味着数据与 $H_0$ 一致——没有反对原假设的证据。

对于我们的单侧检验，P值为：

p = P(T > t_{\text{observed}} | H_0)

其中 $T$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布随机变量。

显著性水平与决策阈值

显著性水平 $\alpha$ 是我们在看到数据之前设置的阈值。如果 $p < \alpha$ ，我们拒绝 $H_0$ 。最常见的选择是 $\alpha = 0.05$ ，这意味着我们愿意在5%的时间里拒绝一个真实的原假设（犯第一类错误）。

$\alpha$ 的选择涉及权衡。较小的 $\alpha$ （如0.01）使拒绝 $H_0$ 更难，减少假阳性但增加假阴性（第二类错误）的机会——未能检测到真实效应。较大的 $\alpha$ （如0.10）使拒绝更容易，增加功效但也增加假阳性率。

第一类错误与第二类错误

	拒绝 $H_0$	无法拒绝 $H_0$
$H_0$ 为真	第一类错误（假阳性）	正确
$H_0$ 为假	正确	第二类错误（假阴性）

检验的功效是当 $H_0$ 为假时正确拒绝 $H_0$ 的概率——检测到真实效应的概率。更多数据会增加功效。更大的效应量也会增加功效。

单样本和双样本 t 检验

单样本 t 检验检验样本均值是否与假设值不同。在金融中，这可以检验股票的日均收益率是否显著不同于零。

双样本 t 检验比较两个独立样本的均值。例如，策略A的均值收益是否显著不同于策略B的均值收益？

import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(42)


n = 252
asset_a_returns = np.random.normal(0.0008, 0.015, n)  # 均值0.08%，波动率1.5%
asset_b_returns = np.random.normal(0.0003, 0.012, n)  # 均值0.03%，波动率1.2%

# 单样本 t 检验：资产A的均值是否显著不同于零？
t_stat_a, p_value_a = stats.ttest_1samp(asset_a_returns, 0)
print(f"资产A均值=0的单样本 t 检验:")
print(f"  t 统计量: {t_stat_a:.4f}")
print(f"  p 值: {p_value_a:.4f}")
print(f"  样本均值: {np.mean(asset_a_returns):.6f}")
print()

# 双样本 t 检验：资产A和B的均值是否显著不同？
t_stat_ab, p_value_ab = stats.ttest_ind(asset_a_returns, asset_b_returns)
print(f"双样本 t 检验：资产A均值 = 资产B均值:")
print(f"  t 统计量: {t_stat_ab:.4f}")
print(f"  p 值: {p_value_ab:.4f}")
print(f"  A均值: {np.mean(asset_a_returns):.6f}, B均值: {np.mean(asset_b_returns):.6f}")

提示词

用 numpy 和 scipy.stats 做假设检验:模拟两资产收益,分别用 ttest_1samp 检验 A 均值是否为零,用 ttest_ind 比较 A 和 B 差异。

如果单样本检验的 p 值低于0.05，我们将在5%显著性水平下拒绝原假设——即资产A的均值收益为零。

P 值不能告诉你的事

美国统计协会（ASA）2016年关于 p 值的声明（Wasserstein and Lazar, 2016）强调了常见的误解。p 值不能告诉你：

给定数据后， $H_0$ 为真的概率。那需要贝叶斯推理——计算 $P(H_0 | \text{data})$ ，而不是 $P(\text{data} | H_0)$ 。
效应的大小。具有统计显著性的结果在经济上可能微不足道，如果效应量很小的话。
发现的实际重要性。统计显著性和实际重要性是两码事。
结果是否可复现。统计功效不足的研究中的小 p 值通常不可复现。

这就是为什么量化研究人员应该始终报告效应量、置信区间（我们下一篇文章会介绍）以及发现的背景——而不只是”p < 0.05”。

参考文献

Moore, D. S. and McCabe, G. P. Introduction to the Practice of Statistics, Chapters 6–7. Freeman. Wasserstein, R. L. and Lazar, N. A. “The ASA’s Statement on p-Values: Context, Process, and Purpose.” The American Statistician, 2016.