矩阵运算

矩阵乘法：规则

矩阵乘法不是按条目逐个进行的。它是行与列的有意组合，规则有别于日常算术。

将 $\mathbf{A}$（大小 $m \times n$）乘以 $\mathbf{B}$（大小 $n \times p$），得到一个 $m \times p$ 矩阵。第 $i$ 行第 $j$ 列的条目是 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行与 $\mathbf{B}$ 的第 $j$ 列的点积：

这有两个直接后果。首先，内维度必须匹配，$\mathbf{A}$ 的列数必须等于 $\mathbf{B}$ 的行数。其次，矩阵乘法不可交换：一般来说 $\mathbf{A}\mathbf{B} \neq \mathbf{B}\mathbf{A}$。顺序很重要。

矩阵乘法是结合的：$(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C} = \mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})$，以及分配的：$\mathbf{A}(\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A}\mathbf{B} + \mathbf{A}\mathbf{C}$。

单位矩阵与逆矩阵

单位矩阵 $\mathbf{I}$ 在矩阵乘法中扮演的角色，与 1 在标量乘法中的角色相同。它是一个对角线为 1、其他位置为 0 的方阵：

对于任何兼容的矩阵 $\mathbf{A}$：$\mathbf{A}\mathbf{I} = \mathbf{A}$ 且 $\mathbf{I}\mathbf{A} = \mathbf{A}$。

方阵 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵，记作 $\mathbf{A}^{-1}$，是满足以下条件的矩阵：

并非所有矩阵都有逆矩阵。不能求逆的矩阵称为奇异矩阵或不可逆矩阵。奇异性并非罕见的边缘情况——它是一个警告信号，表明你的矩阵包含冗余信息，比如两个相同的列。

行列式 $\det(\mathbf{A})$ 是从矩阵派生出的一个标量，它告诉你是否可能求逆。如果 $\det(\mathbf{A}) = 0$，矩阵是奇异的。如果 $\det(\mathbf{A}) \neq 0$，逆矩阵存在。

逆矩阵与转置的性质

一些在推导中经常使用的代数规则：

注意顺序反转。要撤销先 $\mathbf{A}$ 后 $\mathbf{B}$ 的操作，你先撤销 $\mathbf{B}$ 再撤销 $\mathbf{A}$。

同样，当你对乘积进行转置时，顺序反转。

矩阵的迹是对角线元素的和。它有一个有用的性质：在转置下不变：$\text{tr}(\mathbf{A}) = \text{tr}(\mathbf{A}^\top)$。

求解线性方程组

量化金融中最常见的问题之一是求解线性方程组中的未知数。这个问题可以简洁地写成：

其中 $\mathbf{A}$ 是已知系数矩阵，$\mathbf{b}$ 是已知右端向量，$\mathbf{x}$ 是我们想找到的未知向量。

如果 $\mathbf{A}$ 是方阵且可逆，解为：

然而，有一个关键的实际要点：永远不要通过显式计算逆矩阵来求解线性方程组。计算 $\mathbf{A}^{-1}$ 然后相乘比直接求解更慢且数值稳定性更差。使用求解器代替。

import numpy as np


# 2x +  y = 8
#  x + 3y = 9

A = np.array([[2, 1],
              [1, 3]])
b = np.array([8, 9])

# 推荐：直接求解
x = np.linalg.solve(A, b)
print(f"解: x = {x[0]}, y = {x[1]}")

# 通过乘法验证
print(np.allclose(A @ x, b))  # True

# 与逆矩阵比较（实践中不要这样用）
A_inv = np.linalg.inv(A)
x_inv = A_inv @ b
print(f"通过逆矩阵的相同结果: {x_inv}")

提示词

用 numpy.linalg.solve 解线性方程组 A@x=b,再用 inv 做对比验证。

金融示例：根据目标收益求投资组合权重

假设你有一个协方差矩阵 $\mathbf{\Sigma}$，你想找到产生目标预期收益 $\mu^*$ 的投资组合权重 $\mathbf{w}$，已知每只资产的预期收益为 $\boldsymbol{\mu}$。这导致一个线性方程组：

在权重总和为 1 的约束下（$\mathbf{w}^\top \mathbf{1} = 1$），你有两个方程和 $n$ 个未知数。对于两只资产的具体情况，你可以直接求解：

import numpy as np

# 两只资产
mu = np.array([0.08, 0.12])   # 预期收益
ones = np.array([1.0, 1.0])    # 总和为 1 约束

# 目标投资组合收益率 10%
target_return = 0.10

# 构建方程组 A @ w = b
# 方程 1: w1 + w2 = 1
# 方程 2: 0.08*w1 + 0.12*w2 = 0.10
A = np.array([[1, 1],
              [mu[0], mu[1]]])
b = np.array([1, target_return])

w = np.linalg.solve(A, b)
print(f"权重: {w}")
print(f"总和: {w.sum():.4f}, 收益: {w @ mu:.4f}")

提示词

用 numpy.linalg.solve 求两只资产在”权重和为 1、组合收益为 10%“约束下的权重。

对于具有更多资产和约束的更大系统，相同的原理适用——你正在求解 $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$，numpy.linalg.solve（或其背后的 QR 分解）是正确的工具。

参考文献

Strang, Introduction to Linear Algebra, 5th edition, Wellesley-Cambridge Press, Chapters 2–3. ISBN: 978-0980232776.

Lax, Linear Algebra and Its Applications, 2nd edition, Wiley, Chapters 1–2. ISBN: 978-0471751564.