Lévy 过程概览：为什么正态不够

Lévy 测度有两端：零点附近决定路径有多粗糙，无穷远处决定尾部和矩存不存在。稳定分布、CGMY、Merton 跳跃扩散的差别，全在这两端上。

第 7 篇 · 共 12 篇约 16 分钟

布朗运动是金融里的规范随机过程：高斯增量、连续路径、一套可处理的理论。教科书把它放在最前面，久而久之容易留下一个印象——它是这类过程的典型代表，别的都是它的变体。

反过来才对。布朗运动是 Lévy 过程里唯一的例外：唯一一个路径连续、不跳的。其余每一个 Lévy 过程都靠跳跃活着，有的跳得少而大，有的跳得多而小，有的每一瞬间都在跳。这些差别不散落在各个模型的定义里，它们全部记在同一本账上——Lévy 测度 $\nu$ 。

读懂这本账只需要看两端： $\nu$ 在零点附近的行为决定路径有多粗糙（跳跃有多密、总变差是否有限）， $\nu$ 在无穷远处的行为决定尾部有多肥、哪些矩存在。金融里那几个模型的全部区别，几乎都可以还原成这两端的取舍。下面就按这个思路走一遍。

Lévy 过程的四个条件

Lévy 过程 $X_t$ 是满足以下条件的随机过程：

平稳增量。 $X_{t+s} - X_t$ 对所有 $s, t \geq 0$ 与 $X_s$ 同分布。
独立增量。 $X_{t+s} - X_t$ 对所有 $s, t \geq 0$ 与 $\mathcal{F}_t$ 独立。
随机连续。 对任何 $\epsilon > 0$ ， $\lim_{s \to 0} \mathbb{P}(|X_{t+s} - X_t| > \epsilon) = 0$ 。
$X_0 = 0$ ，且路径为 cadlag（右连续、左极限存在）。

就这四条，划出的却是一大片。布朗运动是 Lévy 过程，泊松过程是，稳定过程是，variance-gamma、CGMY、Merton 跳跃扩散、normal inverse Gaussian、双曲分布对应的过程也都是。

关键在于： $X_1$ 的分布通过 Lévy-Khintchine 表示决定整个过程。选定 $X_1$ 的分布，剩下的一切——尾部行为、跳跃结构、金融含义——就都定下来了。

Lévy-Khintchine 表示：三个参数，只有一个有意思

对任何 Lévy 过程 $X_t$ ，其特征函数有形式

\phi_X(u, t) = \exp\left[t \left( iub - \frac{1}{2} u^2 c + \int_{\mathbb{R}} \left(e^{iux} - 1 - iux \mathbf{1}_{|x|<1}\right) \nu(dx) \right)\right]

这是 Lévy-Khintchine 表示，参数是 $b \in \mathbb{R}$ （漂移的线性部分）、 $c \geq 0$ （高斯系数，即布朗分量的强度），以及 $\nu$ —— $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ 上的一个测度，满足 $\int \min(x^2, 1) \, \nu(dx) < \infty$ ，称为 Lévy 测度。

前两个参数各自只是一个数，没什么可讲的。 $\nu$ 才是模型之间真正的分界线： $\nu(dx)$ 是单位时间内大小落在 $(x, x+dx)$ 的跳跃强度，换句话说，它规定了这个过程每秒钟准备跳多少次、每次跳多大。布朗情形是边界： $\nu = 0$ ，账本空白，只剩高斯项 $cu^2/2$ 。

零点这一端：跳得有多密

先看 $\nu$ 在 0 附近的行为。它决定小跳跃有多少，而小跳跃的多少决定了路径的粗糙程度。三个体制：

有限活动指 $\nu(\mathbb{R}) < \infty$ ，单位时间内平均只有有限个跳跃，泊松过程属于此类。这种路径你可以逐个数出跳跃发生在哪。

无限活动、有限变差指 $\nu(\mathbb{R}) = \infty$ 但 $\int_{|x|<1} |x| \, \nu(dx) < \infty$ ：单位时间内有无穷多个跳跃，但它们小到总变差仍然有限。VG 和 CGMY（ $Y < 1$ ）属于此类。

无限活动、无限变差指 $\nu(\mathbb{R}) = \infty$ 且 $\int_{|x|<1} |x| \, \nu(dx) = \infty$ ：跳跃无穷多且总变差发散。CGMY（ $1 \leq Y < 2$ ）、NIG 和稳定过程属于此类。

如果 $\nu$ 在原点附近像幂律那样发散， $\nu(x) \sim |x|^{-1-Y}$ ，这三个体制的分界就变成 $Y$ 的三段： $Y < 0$ 时 $\int_{|x|<1}\nu$ 收敛，有限活动； $0 \leq Y < 1$ 时活动无限但变差有限； $1 \leq Y < 2$ 时变差也发散。 $Y \geq 2$ 根本不允许——连 $\int \min(x^2,1)\nu(dx) < \infty$ 这个 Lévy 测度的基本可积条件都过不去，那不是一个更粗糙的过程，那是一个不存在的过程。

这个指数后面会以 CGMY 里的 $Y$ 的形式再出现一次，是同一个东西。

无穷远这一端：尾部与矩

另一端管的是大跳跃，而大跳跃管的是矩。判据很干净：矩 $\mathbb{E}[|X_t|^p]$ 存在当且仅当

\int_{|x|>1} |x|^p \, \nu(dx) < \infty

于是两类衰减方式分道扬镳。 $\nu$ 在无穷远指数衰减（ $\nu(x) \sim e^{-G|x|}$ ），所有阶的矩都有限； $\nu$ 幂律衰减（ $\nu(x) \sim |x|^{-1-\alpha}$ ）， $\alpha$ 阶及以上的矩全部发散。

这一条决定了一个模型能被拿去做什么。定价时你关心的常常是低阶矩，而且期权价格是有界函数（或近似有界）的期望；风险管理里方差是主力，无穷方差就是硬伤。选模型要匹配用途：如果你的风险系统假定方差有限，就不要拿一个方差无穷的过程去出风险报告。

金融为什么要走出高斯

推动这件事的是几条经验事实，而且它们几乎一一对应到 $\nu$ 的某一端。价格会跳（隔夜缺口、闪崩、财报发布），布朗运动连续，表示不了跳跃，这需要 $\nu \neq 0$ 。经验收益分布的尾部比高斯肥，这需要 $\nu$ 在无穷远衰减得足够慢。股票收益负偏，这需要 $\nu$ 左右不对称。第四条是聚合高斯性：拉长时间尺度后收益看起来更接近高斯，大多数 Lévy 过程本身就有这个性质，不用额外设计。

第五条波动率聚集是 Lévy 框架搞不定的，因为它和平稳增量直接冲突——需要时变 Lévy 或随机波动率才能进来，这一点后面再讲。

稳定分布：两端都是幂律

稳定分布是一类幂律尾的 Lévy 过程，由四个参数刻画： $\alpha \in (0, 2]$ 是稳定性指数，控制尾部厚度（ $\alpha = 2$ 给出高斯， $\alpha < 2$ 给出重尾）； $\beta \in [-1, 1]$ 是偏度参数（ $\beta = 0$ 对称）； $\sigma > 0$ 是尺度参数； $\mu$ 是位置参数。特征函数为

\phi_X(u) = \exp\left(i\mu u - |\sigma u|^\alpha (1 - i\beta \, \text{sgn}(u) \Phi(u, \alpha))\right)

其中 $\Phi$ 是相位函数，有 A、B 两种常见参数化。稳定分布是 i.i.d. 随机变量归一化和的自然极限，是重尾情形下中心极限定理的吸引子——这是它的理论魅力所在。

而它的实践困难，用上面那两端一读就出来了：稳定分布的 $\nu$ 在无穷远是纯幂律，没有任何东西压住它。于是 $\alpha < 2$ 时， $\alpha$ 阶及以上的矩全部无穷。请注意这条规则没有例外： $\alpha = 1.7$ 的尾巴很重，均值存在，但方差是无穷的； $\alpha = 1$ （柯西）连均值都没有； $\alpha < 1$ 就更谈不上。方差、峰度这类标准风险度量在这里直接未定义。

对定价，问题还要更硬一点。若把对数价格建模为 $\alpha < 2$ 的稳定过程， $\mathbb{E}[e^{X_t}]$ 发散，远期价格是无穷，看涨期权价格也是无穷。唯一的例外是把分布做成完全左偏（ $\beta = -1$ ）从而彻底切掉右尾——Carr & Wu (2003) 的 finite-moment log-stable 模型正是走的这条路。除此之外，稳定过程在定价上是不能直接用的。

再加上两个工程上的麻烦：密度没有闭式，特征函数已知但密度要数值反演；估计困难，极大似然因为密度没闭式而复杂，基于矩的方法在矩本身不存在时又是有偏的。综合起来，稳定分布主要活在理论工作和压力测试里（你要的就是最坏情形行为），实际定价则交给下面两位。

CGMY：把无穷远那端掐掉

如果稳定分布的病根是右端幂律没人管，最直接的处方就是给它乘一个指数衰减因子，把远端压下去，同时保留零点附近的幂律行为。这就是 tempering，也就是 CGMY。

Carr、Geman、Madan 和 Yor (2002) 提出的 CGMY 模型，Lévy 测度为

\nu(dx) = \frac{C e^{-M x}}{x^{1+Y}} \mathbf{1}_{x > 0} \, dx + \frac{C e^{-G|x|}}{|x|^{1+Y}} \mathbf{1}_{x < 0} \, dx

其中 $C > 0$ ， $G, M \geq 0$ ， $Y < 2$ 。四个字母各管一件事： $C$ 是整体活动强度； $M$ 和 $G$ 分别控制正、负跳跃在无穷远的指数衰减速度（ $G \neq M$ 就产生偏度）； $Y$ 控制零点附近的小跳跃行为，正是上一节那个指数。于是 $Y < 0$ 有限活动， $0 \leq Y < 1$ 无限活动有限变差， $1 \leq Y < 2$ 无限活动无限变差。两端各归一组参数管，互不干扰——这是 CGMY 好用的根本原因。

顺着这个坐标看，几个熟面孔就是它的特例。 $Y = -1$ 时 $|x|^{1+Y} = 1$ ，Lévy 密度退化成纯指数，这是 Kou 的双边指数跳跃模型（有限活动）。 $Y = 0$ 时得到 variance-gamma 过程。 $G = M = 0$ 时指数因子消失，只剩幂律，回到对称稳定过程，此时 $Y$ 就是稳定性指数 $\alpha$ 。稳定分布在这张图上不是另一个家族，它是 tempering 强度归零的那个角落。

CGMY 有四个参数和闭式特征函数，灵活到可以拟合矩爆炸阈值以内的任何尾部行为。代价是四个参数都要从市场里估出来。

Merton 跳跃扩散：另一条路

CGMY 走的是纯跳跃路线。Merton (1976) 走的是另一条：保留布朗运动，在上面加一层稀疏的对数正态跳跃。动态为

\frac{dS_t}{S_t} = \mu \, dt + \sigma \, dW_t + (e^J - 1) \, dN_t

其中 $N_t$ 是强度 $\lambda$ 的泊松过程， $J \sim \mathcal{N}(\mu_J, \sigma_J^2)$ 是跳跃幅度。 $[0, t]$ 内的跳跃数服从均值 $\lambda t$ 的泊松分布，每次跳跃把价格乘以 $e^J$ 。

这个模型的漂亮之处在于闭式解。条件于跳跃次数 $n$ ，对数价格仍然是正态的，于是期权价格就是一串 Black-Scholes 价格按泊松概率加权：

C_0 = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-\lambda T} (\lambda T)^n}{n!} C_{BS}(S_0, K, r, \sigma_n, T)

其中 $\sigma_n = \sqrt{\sigma^2 + n \sigma_J^2 / T}$ 。求和收敛很快，通常 5-10 项就够。

Merton 是跳跃扩散建模的主力：简单、被理解得透彻、对那些跳跃不频繁但界限分明的资产拟合得不错。对跳跃频繁而细碎的资产它就吃力了，那是 CGMY 和 VG 的地盘。用 $\nu$ 的语言说，Merton 的跳跃测度是有限的（一个高斯密度乘以 $\lambda$ ），零点附近毫无活动，所有的”细碎”都推给了布朗分量去承担。

纯跳跃还是跳跃扩散

这就引出一个建模选择。纯跳跃 Lévy 过程有 $c = 0$ （无布朗分量）和非零 $\nu$ ，例子有泊松、VG、CGMY、NIG、稳定。跳跃扩散则 $c > 0$ 且 $\nu \neq 0$ ，例子有 Merton、Kou、Bates。

给一个始终在交易、根本没有真正连续路径的资产建模，纯跳跃是自然的：那些”跳跃”就是被聚合成看似连续运动的微小价格变动。给一个确实有连续运动、外加偶发大跳（比如带财报缺口的股价）的资产建模，跳跃扩散更贴切。

但这个区分比听起来模糊。跳跃极小的纯跳跃模型看上去可以很连续，布朗分量极小的跳跃扩散看上去可以主要是跳。经验拟合决定用哪个，而不是本体论。

无限活动听着病态，其实才是常态

单位时间无穷多个跳跃，这话听着像数学家在为难人。它其实是经验上更正确的那一侧。真实价格看上去在连续移动，但它是以极小的增量在移动的。如果你把这些极小增量当作跳跃来记账，每秒钟就有无穷多个。

对 $0 < Y < 2$ 的 CGMY 过程， $[0, t]$ 内跳跃数是无穷的，但任何紧区间内跳跃绝对值之和在 $Y < 1$ 时有限、在 $Y \geq 1$ 时无穷。VG 属于前者，路径有有限总变差。

实践中这个区别没有听上去那么要紧。经验事实是价格连续但在高频下非常参差，而带无限活动的连续时间 Lévy 模型正是用无穷多个小跳跃来捕捉这份参差。“跳跃”的实际数量是一个建模选择，不是关于世界的事实。

所以高斯是例外

带漂移的布朗运动是唯一路径连续的 Lévy 过程。其他每一个都有跳跃：有的小、有的大、有的数量无穷。高斯也是唯一方差有限的稳定分布，是唯一作为 i.i.d. 有限方差随机变量归一化和的极限出现的分布。

它数学上优雅，经验上不够用。金融收益有重尾（与高斯不相容）、有偏度（与对称分布不相容）、有跳跃（与连续路径不相容）、有波动率聚集（与平稳增量不相容）。带非高斯 $\nu$ 的 Lévy 过程处理前三个。第四个要靠时变 Lévy 或体制切换，Lévy 框架本身给不了。

布朗运动是最简单的 Lévy 过程，教学上有用，经验工作上有限。它是起点，不是终点。

Carr-Madan：一个特征函数打天下

Lévy 模型有一个统一的定价出口。既然 Lévy-Khintchine 直接给出特征函数，那就用 Fourier 反演回到价格。Carr-Madan 公式给出看涨期权价格

C_0 = \frac{e^{-\alpha k}}{\pi} \int_0^\infty \Re\left[e^{-iu k} \psi(u)\right] du

其中 $k = \log K$ ， $\alpha > 0$ 是阻尼因子（引入它是为了让被积函数可积），且

\psi(u) = \frac{e^{-rT} \phi_X(u - i(\alpha+1))}{\alpha^2 + \alpha - u^2 + iu(2\alpha + 1)}

这里 $\phi_X$ 是 $\log S_T$ 的特征函数。公式对任何特征函数已知闭式的 Lévy 过程都成立，积分用 FFT 或求积法数值计算。

值得留意的是这件事对工程的影响：模型相关的输入只有特征函数一项，其余全是数值积分。换模型就是换一个 $\phi_X$ ，定价代码不动。这就是为什么 Lévy 模型能在机构里铺开——不是因为哪个模型特别好，而是因为它们共用一条管线。

校准，以及它会在哪里骗你

把 Lévy 模型校准到期权价格，流程是三步：选一个参数族（VG、CGMY、Merton 等），通过特征函数算出模型价格，然后极小化模型价格与市场价格的平方差之和。有了 FFT 定价，每次迭代亚秒级，速度不是问题。

麻烦在别处。目标函数非凸，多个参数组合可能给出相近的拟合，你落在哪个局部最优取决于初值。参数少而报价多（三四个参数对上几百个报价）看似不容易过拟合，实际上模型仍然可以去拟合报价里的噪声。最有用的诊断是稳定性：把同一个模型逐日校准，参数应该随时间平稳变化；如果它们天天跳，说明你拟合的是噪声不是结构。经验上 VG 和 CGMY 的校准通常比较稳，Merton 则常常不稳，因为 $\sigma$ 和跳跃参数之间存在相关，同一条微笑可以由”高扩散、少跳跃”或”低扩散、多跳跃”两套参数解释。

以 Merton 为例。参数为 $\sigma$ 、 $\lambda$ 、 $\mu_J$ 、 $\sigma_J$ ，价格是

C_0 = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-\lambda T} (\lambda T)^n}{n!} C_{BS}(S_0, K, r, \tilde{\sigma}_n, T)

其中 $\tilde{\sigma}_n = \sqrt{\sigma^2 + n \sigma_J^2 / T}$ 是 $n$ 次跳跃下的有效波动率。校准即极小化

\sum_i w_i \left(C^{\text{mkt}}(K_i, T_i) - C^{\text{model}}(K_i, T_i)\right)^2

权重 $w_i$ 通常取逆 vega 或逆买卖价差。对流动性好的单只股票，Merton 校准出来的量级大致是： $\lambda$ 每年零点几次到一次跳跃， $\sigma_J$ 在 0.05 到 0.15 之间， $\mu_J$ 在 -0.05 到 0 之间（跳跃带轻微负漂移，与负偏一致）。这些数字随样本期、标的和加权方式变化，只能当作数量级参考。

import math

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def merton_call(S0, K, r, T, sigma, lam, mu_j, sigma_j):
    """Merton jump-diffusion call price."""
    n_terms = 20
    # k = E[e^J] - 1, the mean relative jump size
    k = np.exp(mu_j + 0.5 * sigma_j**2) - 1
    price = 0.0
    for n in range(n_terms):
        poisson_prob = np.exp(-lam * T) * (lam * T)**n / math.factorial(n)
        sigma_n = np.sqrt(sigma**2 + n * sigma_j**2 / T)
        r_n = r - lam * k + n * np.log(1 + k) / T  # martingale correction
        d1 = (np.log(S0/K) + (r_n + 0.5*sigma_n**2)*T) / (sigma_n*np.sqrt(T))
        d2 = d1 - sigma_n*np.sqrt(T)
        price += poisson_prob * (S0*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r_n*T)*norm.cdf(d2))
    return price

漂移修正那一行容易写错：要扣的是 $\lambda k$ 而不是 $\lambda \mu_J$ ，其中 $k = \mathbb{E}[e^J] - 1 = e^{\mu_J + \sigma_J^2/2} - 1$ 。把 $\mu_J$ 直接当成 $k$ 用，鞅性就破了，价格会系统性偏。把这个函数包进最小二乘优化，就是一个能跑的 Merton 校准器。

时变 Lévy：波动率聚集的入口

前面欠着一笔账：平稳增量和波动率聚集不相容。补这笔账的标准做法是给 Lévy 过程换一个随机时钟。定义

X_t = Y_{\tau(t)}

其中 $Y$ 是 Lévy 过程， $\tau(t)$ 是随机的递增过程。 $\tau$ 跑得快的时候 $X$ 就活跃，跑得慢的时候就安静——“活跃程度”本身变成了随机的，而这正是波动率聚集的意思。

如果 $\tau$ 取积分 CIR 过程（即 $\tau(t) = \int_0^t v_s \, ds$ ， $v_s$ 服从 CIR），把 $Y$ 取成 VG，得到的就是带随机波动率的 variance-gamma：跳跃和随机波动率同时在场。这是 Carr、Geman、Madan 和 Yor (2003) 那条线上的模型以及大量从业者扩展的基础。实现要同时模拟时变和底层 Lévy 过程，两层随机，成本适中。

定价上仍然走特征函数：条件于时变，特征函数就是底层 Lévy 的；无条件特征函数是对时变分布的积分，通常也用 Fourier 方法算。Carr-Madan 那条管线依然通着。

自分解性与 VG 的近亲

一个 Lévy 过程称为自分解的，如果对任何 $0 < c < 1$ ， $X_t$ 与 $c X_t + Z$ 同分布（ $Z$ 独立于 $X_t$ ）。直觉上这是说：把这个分布缩小一点之后，剩下的差额仍然是一个合法的独立随机变量——分布可以被自己”整除”。

这一类包括布朗运动（高斯情形）、variance-gamma、normal inverse Gaussian、双曲与广义双曲分布、Student’s t 对应的 Lévy 过程、某些参数限制下的 CGMY，以及所有稳定过程。自分解性蕴含无穷可分性（可写成任意多个 i.i.d. 副本之和的分布），后者正是 Lévy-Khintchine 表示成立的前提；VG、NIG 和双曲都是无穷可分的。

这类过程在实践中受欢迎，是因为它们的特征函数通常形式紧凑，Fourier 反演跑得动。这是经验观察而非定理，别把它当成保证。

加性过程与期限结构

Lévy 过程还有一个自然的松绑方向：保留独立增量，放弃平稳性。这样得到的是加性过程，允许时间非齐性。对期限结构建模这一点是必需的，因为不同期限的利率动态本来就不一样。

Heath-Jarrow-Morton (HJM) 框架可以写成远期利率上的加性过程模型：漂移由无套利条件决定，波动率可以随时间变化。这是高斯期限结构模型最一般的框架。把增量换成非高斯的，就得到带跳跃的 LIBOR 市场模型一类的扩展，行业里用它给带跳跃风险的奇异利率衍生品定价。

多资产：Lévy copula

多资产 Lévy 过程的依赖结构由 Lévy copula 指定，它描述不同资产的跳跃如何共同出现。这里不能照搬普通 copula，因为 Lévy 测度不是概率测度，总质量可以是无穷。正确的做法是在尾积分上做 Sklar 定理的类比。记边际尾积分 $U_i(x) = \nu_i([x, \infty))$ ，联合尾积分 $U$ 满足

U(x_1, \ldots, x_d) = \mathcal{C}\big(U_1(x_1), \ldots, U_d(x_d)\big)

其中 $\mathcal{C}$ 就是 Lévy copula。它把”每个资产各自怎么跳”和”它们怎么一起跳”彻底分开，边际与依赖各自独立指定。

这里有个容易混的地方：Lévy copula 描述的是跳跃测度的依赖，而普通 copula（高斯、t、Clayton）描述的是某个到期时刻终端分布的依赖。两者是不同的对象，尽管 Clayton 这样的函数形式在两边都有对应版本。给篮子期权、最小值期权定价时，你需要的是终端时刻的联合分布，而它由跳跃层面的依赖结构生成，指定错了，价格就没救。

选哪一族，取决于你想捕捉什么。高斯型依赖简单但有限；t 型给出更重的尾部依赖，适合捕捉共同崩盘；Clayton 型是非对称的，左尾依赖强、右尾弱。而”资产一起崩、各自涨”正是经验上反复出现的尾部依赖形态，所以后两者通常比高斯型贴近数据。

一点历史

Lévy 过程以 Paul Lévy 命名，这位法国数学家在 1930、1940 年代研究它们。Lévy-Khintchine 表示由 Lévy 和 Khintchine 在 1930 年代独立发展。稳定分布还要更早，可以追到 Lévy (1925) 以及 Cauchy 等人的工作。

进入金融要晚得多。Madan 和 Seneta 1990 年关于 VG 模型的论文是转折点，2002 年的 CGMY 论文把这一支牢牢钉进了衍生品定价文献。今天每家大银行的生产系统里都跑着某种形式的 Lévy 模型。

该怎么选

回到 $\nu$ 的两端，选型的逻辑其实很短。做实际期权定价，从 Merton 起步（简单、透彻、有闭式），拟合不够就转向 VG 或 CGMY——它们在零点那一端更细腻，能装下高频的参差。做尾部风险建模，CGMY 是稳妥选择，稳定过程只在压力测试里用，且要清楚它的方差不存在。做奇异期权，模拟往往是唯一出路，而 Lévy 框架至少让你在同一套特征函数下切换模型。

代价是实打实的：参数更多、分布非高斯、要跟无限活动这类反直觉的体制打交道。换来的是经验拟合。这笔账在哪些标的上划算，你得自己算。

想系统读下去，Cont 和 Tankov (2004) 的 Financial Modelling with Jump Processes 第 2-4 章是从业者的标准参考；Sato (1999) 的 Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions 是严格的数学处理；Kyprianou (2014) 的 Fluctuations of Lévy Processes with Applications 介于两者之间。至于本文提到的具体模型，Carr、Geman、Madan、Yor (2002) 是 CGMY 的原始论文，Carr & Wu (2003) 处理稳定分布定价发散的那条路，Merton (1976) 则仍然是跳跃扩散最值得一读的入口。