组合理论：分散化与有效前沿

1952年，Harry Markowitz发表了一篇改变金融学的论文：组合选择。核心洞见是数学的：通过组合资产，你可以在不牺牲预期回报的情况下降低风险。这就是现代组合理论（MPT）。

核心洞见：分散化

不同资产不会完全同向变动。当一个下跌，另一个可能上涨。通过组合它们，你可以降低组合的整体波动性。

两资产组合方差的关键公式：

其中：

• $w_1, w_2$ = 组合权重
• $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ = 各资产方差
• $\rho_{1,2}$ = 资产间相关系数（-1到+1）

关键洞见： 如果$\rho < 1$，组合方差小于各资产方差的加权平均。

当$\rho = -1$时： 你可以通过完美组合两个资产来构建一个无风险组合。

当$\rho = +1$时： 分散化没有好处。

最小方差组合

给定一组资产，什么权重使组合方差最小？

对于两个资产，你可以解析求解。对于多个资产，需要用优化：

$w_{MVP} = \arg\min_w \ w^T \Sigma w$ $\text{s.t.} \ \sum w_i = 1$

其中$\Sigma$是资产回报的协方差矩阵。

最小方差组合（MVP） 始终位于有效前沿上。

有效前沿

有效前沿是一组在给定风险水平下提供最高预期回报的组合。

对于前沿上的任何点：

• 没有其他组合提供相同风险下的更高预期回报
• 没有其他组合提供相同预期回报下的更低风险

关键形态：

• 前沿下方的组合次优（相同风险，回报更低）
• 资本市场线（CML） 从无风险利率延伸到与有效前沿相切的位置——在切点，你拥有最优风险组合（在CAPM中称为市场组合）

组合预期回报

组合预期回报就是各资产预期回报的加权平均：

这是线性的且简单。复杂性在于方差。

相关系数与分散化

相关系数（$\rho$）衡量两个资产一起变动的程度：

分散化的好处在相关系数低或为负时最大。

在危机时期，相关系数通常飙升趋近1——所有资产一起下跌。这就是为什么真正的分散化比看起来更难。

Python实现组合优化

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import minimize

def portfolio_return(weights, expected_returns):
    """Calculate portfolio expected return."""
    return np.dot(weights, expected_returns)


def portfolio_volatility(weights, cov_matrix):
    """Calculate portfolio volatility (standard deviation)."""
    return np.sqrt(np.dot(weights.T, np.dot(cov_matrix, weights)))


def minimum_variance_portfolio(expected_returns, cov_matrix):
    """
    Find the minimum variance portfolio.
    """
    n_assets = len(expected_returns)

    def portfolio_vol(w):
        return np.sqrt(np.dot(w.T, np.dot(cov_matrix, w)))

    constraints = {'type': 'eq', 'fun': lambda w: np.sum(w) - 1}
    bounds = tuple((-1, 1) for _ in range(n_assets))  # Allow shorting
    initial_weights = np.ones(n_assets) / n_assets

    result = minimize(portfolio_vol, initial_weights, method='SLSQP',
                     bounds=bounds, constraints=constraints)
    return result.x


def efficient_frontier(expected_returns, cov_matrix, n_portfolios=100):
    """
    Compute the efficient frontier.
    """
    n_assets = len(expected_returns)
    target_returns = np.linspace(np.min(expected_returns),
                                 np.max(expected_returns),
                                 n_portfolios)

    frontier = []

    for target in target_returns:
        def portfolio_vol(w):
            return np.sqrt(np.dot(w.T, np.dot(cov_matrix, w)))

        constraints = [
            {'type': 'eq', 'fun': lambda w: np.sum(w) - 1},
            {'type': 'eq', 'fun': lambda w: np.dot(w, expected_returns) - target}
        ]
        bounds = tuple((-1, 1) for _ in range(n_assets))
        initial_weights = np.ones(n_assets) / n_assets

        result = minimize(portfolio_vol, initial_weights, method='SLSQP',
                        bounds=bounds, constraints=constraints)

        if result.success:
            frontier.append({
                'target_return': target,
                'volatility': result.fun,
                'weights': result.x
            })

    return pd.DataFrame(frontier)


def max_sharpe_ratio_portfolio(expected_returns, cov_matrix, rf=0.0):
    """
    Find portfolio with maximum Sharpe ratio.
    """
    n_assets = len(expected_returns)

    def neg_sharpe(w):
        ret = np.dot(w, expected_returns)
        vol = np.sqrt(np.dot(w.T, np.dot(cov_matrix, w)))
        return -(ret - rf) / vol

    constraints = {'type': 'eq', 'fun': lambda w: np.sum(w) - 1}
    bounds = tuple((-1, 1) for _ in range(n_assets))
    initial_weights = np.ones(n_assets) / n_assets

    result = minimize(neg_sharpe, initial_weights, method='SLSQP',
                     bounds=bounds, constraints=constraints)
    return result.x

提示词

用 numpy、pandas 和 scipy.optimize.minimize 写一组马科维茨组合函数:组合预期回报、波动率、最小方差组合、有效前沿、最大夏普比率组合。

MPT的局限性

1. 输入敏感： 预期回报或相关系数的微小变化会产生截然不同的组合。

2. 相关系数不稳定： 相关系数随时间变化，尤其在危机时期。

3. 估计误差： 预期回报难以准确估计。协方差相对容易，但仍有噪声。

4. 正态性假设： MPT使用均值和方差，但回报分布有厚尾。

5. 卖空约束： 实践中许多投资者无法卖空。

这些局限性是Black-Litterman（1992年）和其他方法被开发出来的原因——解决输入敏感性问题。

核心要点

• 当相关系数小于1时，分散化降低组合风险
• 有效前沿包含所有最优组合（给定风险下最大回报）
• 最小方差组合是前沿上风险最低的组合
• 最大夏普比率组合是切点组合（CAPM中的最优风险组合）
• MPT有真实局限性——输入有噪声，相关系数不稳定

参考文献

• Markowitz, “Portfolio Selection.” Journal of Finance, 1952.
• Sharpe, “Capital Asset Prices.” Journal of Finance, 1964.
• Ang, Asset Management. Oxford University Press, 2014. ISBN: 978-0-19-995932-3.
• Litterman, Modern Investment Management. Wiley, 2003. ISBN: 978-0-471-44375-7.