Merton 跳跃扩散:给 GBM 加不连续性

Merton 1976 跳跃扩散模型:Poisson 跳跃、定价公式、模型无关界、不完全市场。

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Black-Scholes 模型假设股票价格连续移动。任何看过市场的人都知道这是错的:价格可以跳空。收益公告、监管新闻、央行决策、罕见灾难都造成 GBM SDE 抓不住的离散跳跃。

Robert Merton (1976) 在 Black 和 Scholes 之后六个月发表了这篇文章讨论的模型。它是衍生品里最优雅有用的结果之一, 几乎完整保留了 Black-Scholes 的解析易处理性同时加了尾部风险的有意义成分。今天生产中的几乎每个股票衍生品模型都有 Merton 跳跃扩散在它的血统里。

设置

股票价格服从:

\frac{dS_t}{S_t} = \mu \, dt + \sigma \, dW_t + (J - 1) \, dN_t

其中 $N_t$ 是带强度 $\lambda$ (预期每年跳跃数)的 Poisson 过程。在每次跳跃,乘性跳跃大小 $J$ i.i.d. 抽自对数正态分布,参数:

\ln J \sim \mathcal{N}(\gamma, \delta^2)

三个新参数: $\lambda, \gamma, \delta$ 。期望跳跃大小 $\mathbb{E}[J - 1] = e^{\gamma + \delta^2/2} - 1$ 。对股票模型, $\gamma$ 通常为负(下跌跳跃比上涨跳跃大), $\lambda$ 小(单只名字每年 5-15 次跳跃,指数更低)。

条件于一次跳跃, $\ln S$ 移动 $\ln J \sim \mathcal{N}(\gamma, \delta^2)$ 。所以过程:

dS_t = \mu S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t + S_{t^-} (J - 1) \, dN_t

前两项是 GBM。最后一项是跳跃:在 Poisson 事件时,股票被乘以 $J$ 瞬时。

跳跃对分布做什么

混合扩散和跳跃给出比任一项更肥尾的分布。混合:

长度 $t$ 无跳跃路径:对数正态带方差 $\sigma^2 t$ 。
长度 $t$ 有 $n$ 次跳跃路径:对数正态带方差 $\sigma^2 t + n \delta^2$ ,均值移动 $n \gamma$ 。

无条件地, $\ln S_T - \ln S_0$ 的分布是对数正态的混合:

p(x) = e^{-\lambda T} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\lambda T)^n}{n!} \cdot \phi_{\text{normal}}\left(x; n\gamma, \sigma^2 T + n\delta^2\right) / S_0

其中 $\phi_{\text{normal}}(x; \mu, v^2)$ 是均值 $\mu$ 方差 $v^2$ 的正态密度。无限混合比对数正态更肥尾:即使在极端行使价,累积密度不下降那么快。

跳跃扩散下定价

显著结果:Merton 的公式是 Black-Scholes 价格的混合,按 Poisson 概率加权。

对欧式看涨:

C = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda' T} (\lambda' T)^n}{n!} \text{BS}(S_0, K, r_n, \sigma_n, T)

带风险中性化参数:

\lambda' = \lambda (1 + \gamma_{\text{风险中性调整}})

$n$ 跳跃情形的看涨价格有:

r_n = r - \lambda \kappa + n \log(\mathbb{E}[e^X]) / T, \quad \sigma_n^2 = \sigma^2 + n \delta^2 / T

其中 $\kappa$ 是跳跃风险溢价调整对漂移,考虑市场不按物理概率定价跳跃这个事实。

核心洞见:在 Poisson + GBM 结构下,条件于 $[0, T]$ 恰好 $n$ 次跳跃发生, $\ln S_T$ 的分布是对数正态。所以条件定价就是带调整参数的 Black-Scholes。总价格是对 $n$ 的混合。

推导混合

这个结果比 Merton 论文更一般。它来自条件期望:

V(S_0, 0) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-rT} V(S_T, T) \mid \mathcal{F}_0\right] = e^{-rT} \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(N_T = n) \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[V(S_T, T) \mid N_T = n\right]

条件于 $N_T = n$ ,路径在跳跃之间是 GBM,恰好有 $n$ 个跳跃时间,但 $S_T$ 的分布只依赖于 $n$ 个乘性跳跃的累积效应, 顺序不重要。总对数收益:

\ln S_T - \ln S_0 = (r - \tfrac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma W_T + \sum_{i=1}^n X_i

其中 $X_i$ i.i.d. $\mathcal{N}(\gamma_{\mathbb{Q}}, \delta^2)$ 。每个 $X_i$ 贡献方差 $\delta^2$ ,所以对数收益的总方差是 $\sigma^2 T + n\delta^2$ 。均值: $(r - \tfrac{1}{2}\sigma^2)T + n \gamma_{\mathbb{Q}}$ 。条件于 $n$ ,看涨价格是 Black-Scholes 带这些参数。对 $n$ 混合给出 Merton 公式。

马尔可夫性质通过这个条件论证出现。它比写 PDE 简单得多。

选跳跃参数

校准选 $(\lambda, \gamma, \delta)$ 以拟合 IV 微笑。典型拟合:

| 参数 | SPX | SPY | AAPL | 范围 | | -| | | | -| | $\lambda$ | 0.5-2 / 年 | 0.5-2 | 1-5 | 0-15 | | $\gamma$ | -0.10 | -0.10 | -0.20 | -0.5 到 0 | | $\delta$ | 0.15 | 0.15 | 0.20 | 0.05 到 0.30 |

(来自生产校准结果的启发式数字;你的会不同。) $\gamma < 0$ 意味着跳跃倾向下跌,这捕捉股票收益的不对称。

关于跳跃校准要知道两件事:

ATM vol 有点含糊。有随机 vol 模型和跳跃,你能用不同 $(\lambda, \delta)$ 组合达到同样的 ATM vol。微笑消歧:更频繁小跳跃 vs 更少大跳跃。对 S&P,5-7% 的大跳跃构成大多数动作;对单只名字,小跳跃主导。

偏度被 $J - 1$ 有负均值主导。带 $\gamma \approx -0.10$ 和 $\delta \approx 0.15$ ,一次下跌跳跃典型 15-20%,远大于上涨跳跃。这把质量放在下尾,产生偏度。

不完全市场

一个微妙但重要的点:跳跃扩散的市场是不完全的。有多于一个风险中性测度跟同样的漂移和扩散一致。具体说,你可以通过多种方式选 $\gamma$ 和 $\delta$ 给出不同风险中性跳跃分布但同样的风险中性扩散。每个选择给不同的期权价格。

标准修法是引入跳跃风险的市场价格:

\gamma^* = \gamma - \lambda^*, \quad \delta^* = \delta

其中 $\lambda^*$ 是每单位跳跃强度的市场溢价。这消除了不定性。校准到微笑确定 $\lambda^*$ 。

定价界:在不完全市场,无套利给一个范围而不是单一价格:

\inf_{\mathbb{Q} \in \mathcal{M}} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[V] \leq V \leq \sup_{\mathbb{Q} \in \mathcal{M}} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[V]

对 Merton 模型下非路径依赖欧式期权,界相当紧,经常在 1-2 vol 彼此之内。对深度 OTM cliquets 等路径依赖期权,界可以宽 10-20 vol。从业者典型挑一个参数化并坚持用。

用截断求和

实践中,无限求和在大约 $n = 50$ 终止。对 $\lambda T = 1$ 和 $\lambda T = 10$ ,主导项分别在 $n \approx 1$ 和 $n \approx 10$ 附近。截断在 $n_{\max}$ 其中:

\sum_{n > n_{\max}} \frac{e^{-\lambda T}(\lambda T)^n}{n!} < \epsilon

对 $\epsilon = 10^{-10}$ , $n_{\max} = 50$ 对 $\lambda T < 30$ 工作。对非常长期期权定价你可能需要推过这个或用 fft。

from math import log, sqrt, exp
from scipy.stats import norm
from scipy.special import factorial

def merton_call(S0, K, r, T, sigma, lam, gamma, delta):
    total = 0.0
    for n in range(80):
        weight = exp(-lam * T) * (lam * T)**n / factorial(n)
        if weight < 1e-14: break
        sigma_n  = sqrt(sigma**2 + n * delta**2 / T)
        r_n      = r - lam * (exp(gamma + 0.5 * delta**2) - 1) + n * gamma / T
        d1 = (log(S0 / K) + (r_n + 0.5 * sigma_n**2) * T) / (sigma_n * sqrt(T))
        d2 = d1 - sigma_n * sqrt(T)
        total += weight * (S0 * norm.cdf(d1) - K * exp(-r_n * T) * norm.cdf(d2))
    return total

跳跃和随机 vol 组合

Merton 的模型拟合微笑但单独不能很好拟合微笑的期限结构。原因是:五个参数,你灵活性够匹配一个切片但不匹配微笑的时间演化。

标准修法:把 Merton 的跳跃扩散和 Heston 的随机 vol 组合。这是 Bates 模型(1996),也叫 SVJ (Stochastic Vol with Jumps):

dS_t = r S_t \, dt + \sqrt{v_t} S_t \, dW^S_t + (J - 1) S_t \, dN_t

dv_t = \kappa(\theta - v_t) \, dt + \sigma \sqrt{v_t} \, dW^v_t

这给 Heston 加两个参数( $\lambda$ 和跳跃大小分布)。定价公式大致是 Heston 混合(仍然基于特征函数),但有涉及跳跃矩的额外项。它捕捉来自跳跃的短期陡偏度和来自扩散组件的随机 vol 动态。

在生产中,SVJ (Bates) 是大多台校准的东西。它是严肃衍生品工作的新”香草”。

局限和下一步

Merton 风格跳跃扩散的三个限制:

跳跃大小是对数正态的。真实跳跃明显不是对数正态。收益公告给具体百分比移动;宏观事件是双峰的;崩盘聚集。每个状态应该有自己的跳跃分布,人们研究了双指数(Kou, 2002)和有限混合跳跃。
跳跃强度是常数。真实跳跃聚集:最近跳跃后 vol-of-vol 更高。Hawkes 过程建模自激励跳跃强度。
波动率项独立于跳跃。经验上,跳跃和扩散交互:波动率高时,跳跃更大。Variance-gamma 和 CGMY/KoBol 模型用无限活动过程处理这个,其中过程的每”步”是小跳跃。

所有这些扩展在某种程度上保留解析易处理性。统一观察:任何能表示为 Lévy 过程(独立增量)的有闭式特征函数,因此有快速基于傅里叶的定价公式。

收获

Merton 的跳跃扩散是给 GBM 加点质量尾部行为的最简单有用扩展。它拟合微笑、有闭式混合公式、推广到 Bates 和 SVJ 等更复杂模型。大多台在生产中跑它的一些变种。

观点是这样:跳跃解释微笑的两翼;随机 vol 解释 ATM vol 的时间依赖性。把两者组合是你想要的,你会在任何主要交易商用的任何期权定价模型里找到它。

接下来:怎么构造波动率曲面本身,衍生品定价的数据工程一面。

Merton 超越香草:路径依赖期权定价

Merton 跳跃扩散下亚式期权定价和欧式香草有同样混合结构:

V_{\text{Asian}}(S_0, K, T) = \sum_n \mathbb{P}(N_T = n) \cdot V_{\text{Asian}}^{\text{BS}}_n(S_0, K, T)

其中 $V^{\text{Asian}}_n$ 是 Black-Scholes 下亚式期权价格,带 $n$ 跳跃的调整参数。具体说, $\sigma_n^2 = \sigma^2 + n \delta^2 / T$ 和 $r_n$ 为跳跃诱导漂移调整。混合公式有效因为,条件于恰好 $n$ 次跳跃,对数收益的分布是对数正态的,亚式平均定义良好。

对发生跳跃的路径,路径被分段为无跳跃子路径。亚式平均涉及每步的运行求和,跳跃贡献加性项。

数值实现:

def merton_asian_call(S0, K, r, T, sigma, lam, gamma, delta, n_paths, n_steps):
    dt = T / n_steps
    drift = (r - 0.5 * sigma**2 - lam*(np.exp(gamma + 0.5*delta**2) - 1)) * dt
    vol = sigma * np.sqrt(dt)
    payoffs = np.zeros(n_paths)
    for i in range(n_paths):
        S = S0
        log_S = 0.0
        A = 0.0
        for step in range(n_steps):
            jump_occurs = np.random.poisson(lam * dt) > 0
            Z = np.random.standard_normal()
            dlnS = drift + vol * Z
            if jump_occurs:
                dlnS += np.random.normal(gamma, delta)
            S = S * np.exp(dlnS)
            A += S
        payoffs[i] = max(A / n_steps - K, 0)
    return np.exp(-r*T) * payoffs.mean()

这比香草蒙特卡洛贵,因为有内层循环,但向量化直接。用亚式 BS 期权同样的方差缩减技巧。

Merton 赢在哪

Merton 跳跃扩散在三个具体情形最有用:

收益公告。单只股票有可预测的计划跳跃(收益、FDA 决策、M&A 完成)。带历史收益跳跃校准的模型捕捉这个。隐含 vol 在收益前跑升;收益后,vol 压缩。Merton 解释两者。

宏观意外。定期央行会议、监管裁决、或政治事件造成 Merton 干净处理的离散跳跃。SPX 在美联储公告日周围能有纯 GBM 给概率 $10^{-8}$ 的日内移动。

显式对冲尾部风险。在 S&P 上买 5-delta OTM 看跌是经典崩盘对冲。Merton 的跳跃成分以参数化方式捕捉那些看跌的价格, 它使明确价格反映风险中性跳跃强度乘以跳跃大小概率质量。

对这些情形,Merton 胜过 Heston 或局部 vol,因为后两者能拟合微笑但模糊来源是”波动率会上升”还是”预期跳跃概率”。对 SPX 来说,两者都有意义贡献。

校准质量:和 Heston 的 A/B

干净比较:同样的微笑拟合,Merton vs Heston。远期起始期权会怎样?

Merton 的参数是常数。前向微笑(1 年远期起始期权的隐含 vol)由路径的隐含分布决定。在 Merton 下,前向微笑”变平”相对现货微笑, 因为 $[0, T]$ 中的扩散平滑掉跳跃。效应大致正确但有限。

Heston 的波动率均值回归,所以在 1 年期,方差水平移向 $\theta$ 。前向微笑反映这个均值回归。经验上,Heston 的前向微笑比 Merton 对长期远期起始期权更好匹配市场。对短期远期起始期权,Merton 赢(因为跳跃成分主导)。

Bates (SVJ) 组合长处:跳跃给短期翼,vol 均值回归给长期均值回归。生产中大多台用 Bates 在它们的”主”校准。

Merton vs Variance-Gamma vs CGMY 家族

Merton 是最简单的有限活动跳跃扩散模型。有更丰富的家族:

Variance-Gamma (Madan & Seneta, 1990)。每个增量是时间变换的布朗运动。等价于带消失小跳跃的无限活动过程。有肥尾但无点质量。

CGMY (Carr, Geman, Madan & Yor, 2002)。带参数 $C, G, M, Y$ 的 Variance-Gamma 推广。 $Y \in (0, 2)$ 决定小跳跃行为; $G, M$ 决定上/下尾速率。

Kou 的双指数(2002)。每个跳跃大小是不对称指数。比 CGMY 尾轻但有显式公式。

每个有让定价易处理的特征函数。每个校准更复杂。每个在某个方向失败简单模型能捕捉。

选择取决于你关心什么尾部行为。Merton 的尾是对数正态凸起, 肥但有界最大跳跃大小。CGMY 允许任何大小的无限跳跃。对股票这类有”稀少大”跳跃的市场,Merton 工作;对外汇这类有频繁小跳跃的市场(事件驱动交易),CGMY 更自然。

Merton 不擅长什么

两个具体局限:

跳跃被跳跃大小有界。在 Merton, $J$ 服从 $\mathcal{N}(\gamma, \delta^2)$ 。30% 下跌跳跃可能但概率 $\sim 10^{-15}$ 。真实市场有时一天跳 30%(1987)。Merton 的尾仍然比经验分布轻。

跳跃独立于波动率。在 Merton, $\sigma$ 不管 $N_t$ 是常数。实际上,波动率随实现波动率上升,这跟跳跃风险相关。SVJ 或带随机 vol 的跳跃扩散修这个。

对生产,Merton 很少是最后一言。它是个垫脚石。

Bates 模型简述

组合 Heston 的随机 vol 和 Merton 的跳跃给 Bates (1996):

dS_t = (r - \lambda \bar{J}) S_t dt + \sqrt{v_t} S_t dW^S_t + S_t (J - 1) dN_t

dv_t = \kappa(\theta - v_t) dt + \sigma \sqrt{v_t} dW^v_t + \eta J dN_t

(最后一项加跳跃内扩散到方差, 在原始 Bates 里可选)。定价用类似 Heston 的特征函数加额外项:

\phi_B(u) = \phi_H(u) \cdot \exp\left(\lambda T [(1 + \gamma - 1)^{iu} - 1] - \lambda T [iu \cdot \gamma] + \ldots\right)

钉死形式花一页代数但结果是闭式。Bates 是大多台日常香草校准用的。

Bates 之外:带随机利率的 SVJ

进一步精化:在后 2008 世界,利率是随机的。Hull-White-Heston:

dr_t = (\theta_t - \kappa r_t) dt + \sigma_r dW^r_t

跟 Heston 和跳跃成分联合。定价用多因子特征函数,变计算密集但仍然易处理。

最干净的生产设置:一个混合引擎,在利率近确定性时用 Heston(求速度),对风险敏感产品用 Hull-White-Heston(求精度)。

带回家的点

Merton 的跳跃扩散是给 GBM 加点质量尾部行为的最简单模型。定价公式是按 Poisson 概率加权的 Black-Scholes 混合。模型不完全,所以校准需要选跳跃风险的市场价格。

模型的强项:闭式混合公式、拟合微笑两翼、简单校准。弱点:无动态 vol 交互、有限跳跃大小、不建模小跳跃聚集。

要更多灵活性,Bates 组合 Heston 和 Merton 取两者之长。要更奇异尾部建模,CGMY/VG 用无限活动过程走得更远。

大多台的实践选择:Merton 用于快速手算,Bates 用于日常校准,SABR 或局部-随机用于动态重要的奇异风险。这些模型的演进是定量金融的伟大胜利之一, 每个新模型加结构捕捉经验现象而前一个错过。

阅读清单。 Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 第 10 版,第 24 章(2018)。Wilmott, Paul Wilmott on Quantitative Finance, 第 2 版,第 1 卷,第 12 章(2007)关于一般随机-跳跃框架。Merton, “Option Pricing When Underlying Stock Returns are Discontinuous,” Journal of Financial Economics (1976)。Bates, “Jumps and Stochastic Volatility” (1996)。Gatheral, The Volatility Surface, 第 4 章(2006)。