几何布朗运动：推导股票模型的主力

一步步推导 GBM、股票价格 SDE，以及为什么对数收益服从正态既有用又错。

第 2 篇 · 共 12 篇约 11 分钟

如果你曾经为期权定价、跑过股票的 Monte Carlo、或者看过一道量化面试题，你见过几何布朗运动。它是让 Black-Scholes 公式干净地出现的 SDE。它也是一个大家都喜欢又都讨厌的模型。我们会好好推导它，看数学说了什么，老老实实说它在哪里坏掉。

这里的目标不是背公式。目标是理解 GBM 是什么、为什么、为什么量化金融这么多东西是从一个简单观察里流出来的：股票价格的对数表现得很乖。

股票价格的谜题

股票价格表现得不乖。它们上上下下，有时剧烈波动。它们有肥尾、波动率聚集，偶尔跳跃。看标普 500 日收益的经验分布，它大致是钟形，但尾部的质量太多，不是高斯。任何经历过 1987、2008 或 2020 的人都知道，“二十个 sigma”的日子比应该发生的更频繁。

那为什么用高斯驱动的 SDE 来建模？因为数学好处理。因为对很多应用（vanilla 期权定价、基础风险管理、对冲），高斯近似已经够用。因为当你推导出 Black-Scholes 这种闭式价格，你能用它拟合市场报价、再用来对冲。模型不是真相。它是有用的虚构。

几何布朗运动是我们拥有的最有用的虚构。让我告诉你为什么。

两条假设

随机过程 $S_t$ 是几何布朗运动，如果它满足

dS_t = \mu S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t

这就是整个模型。两个项：漂移 $\mu S_t$ 和扩散 $\sigma S_t$ 。两者都跟当前价格成比例，这就是为什么它是几何的而不是算术的布朗运动。

直觉很直接。漂移说股票平均按速率 $\mu$ 增长。扩散说噪声跟当前价格成比例。如果股票在 $100，1% 的变动是 $1$。如果股票在 $10，1% 的变动是 10 分。两者都是”1%“。这种尺度不变性正是我们建模百分比收益而不是绝对变化的原因。

第二个关键洞见是 $dW_t$ 是标准布朗运动的增量。它服从均值为 0、方差为 $dt$ 的正态分布。所以在任意时刻，股票变化的均值是 $\mu S_t \, dt$ ，标准差是 $\sigma S_t \sqrt{dt}$ 。两者都跟 $S_t$ 成比例，这让过程是乘性的, 绝对波动率跟水平成比例。

SDE 形式及含义

方程 $dS_t = \mu S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t$ 是一个随机微分方程的简写。要严格理解它，必须写成积分形式：

S_t = S_0 + \int_0^t \mu S_u \, du + \int_0^t \sigma S_u \, dW_u

第一个积分是普通微积分。第二个是 Itô 积分，是 $\sum \sigma S_{t_i} (W_{t_{i+1}} - W_{t_i})$ 这种和的极限，其中函数 $\sigma S$ 在每个子区间的左端点求值。这个约定很重要。Itô 积分（在适当条件下）是鞅，这就是为什么它有好的概率性质。

对我们的目的，非正式的微分形式就够。我们可以用 Itô 引理操纵 $dS_t$ ，把 $dW_t^2 = dt$ 当成形式规则，恢复正确答案。这是物理学家的做法。它能工作是因为 Itô 引理保证了只要你按规则来，结果是严格的。

求解 SDE：对数技巧

要解 $dS_t = \mu S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t$ ，我们对 $\log S_t$ 应用 Itô 引理。设 $f(S) = \log S$ ，所以 $f'(S) = 1/S$ 、 $f''(S) = -1/S^2$ 。Itô 引理给出

d(\log S_t) = f'(S_t) \, dS_t + \frac{1}{2} f''(S_t) (dS_t)^2

平方的微分是

(dS_t)^2 = (\mu S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t)^2 = \sigma^2 S_t^2 (dW_t)^2 = \sigma^2 S_t^2 \, dt

因为 $dt^2 = 0$ 、 $dt \cdot dW_t = 0$ 、 $dW_t^2 = dt$ 。代入，

d(\log S_t) = \frac{1}{S_t} (\mu S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t) + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{S_t^2}\right)(\sigma^2 S_t^2 \, dt)

= \mu \, dt + \sigma \, dW_t - \frac{1}{2} \sigma^2 \, dt = \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) dt + \sigma \, dW_t

所以股票价格的对数服从带常数漂移 $\mu - \sigma^2/2$ 和常数扩散 $\sigma$ 的算术布朗运动。这是关键事实。它解释了为什么 GBM 分析上好处理而算术布朗运动不好处理。

两边从 0 到 $t$ 积分：

\log S_t - \log S_0 = \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) t + \sigma W_t

取指数：

S_t = S_0 \exp\left[\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) t + \sigma W_t\right]

这就是显式解。GBM 的每条路径都是带漂移的布朗运动的确定性指数。指数里的 $\sigma^2/2$ 项是著名的 Itô 修正。它来自指数函数的凸性，普通微积分里它不会出现。初学者第一次学这个材料时最常犯的错误之一就是漏掉它。

$S_t$ 的分布

因为 $W_t \sim \mathcal{N}(0, t)$ ，我们可以直接读出 $\log S_t$ 的分布。它是均值为 $\log S_0 + (\mu - \sigma^2/2)t$ 、方差为 $\sigma^2 t$ 的高斯。等价地， $S_t$ 本身是对数正态：

S_t \sim \text{LogNormal}\left(\log S_0 + \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) t, \; \sigma^2 t\right)

对数正态分布是你把高斯取指数时得到的右偏、肥尾分布。它的均值是

\mathbb{E}[S_t] = S_0 e^{\mu t}

方差是

\text{Var}[S_t] = S_0^2 e^{2\mu t} \left(e^{\sigma^2 t} - 1\right

注意均值是 $S_0 e^{\mu t}$ ，不是 $S_0 e^{(\mu - \sigma^2/2)t}$ 。指数里的 Itô 修正只影响中位数和众数。均值来自完整分布，包括右偏尾部的贡献。

为什么对数技巧能工作

$S_t$ 有干净的闭式形式的原因是系数 $\mu S_t$ 和 $\sigma S_t$ 关于 $S_t$ 是一次齐次的。当你对 $\log S_t$ 应用 Itô 引理时，乘性的 $S_t$ 因子消掉，你最后得到一个 $\log S_t$ 的线性 SDE。线性 SDE 是唯一能用初等函数显式求解的。

这是 GBM 的特殊性质。加跳跃项、把常数 $\mu$ 换成 $\mu(S_t)$ 函数、让 $\sigma$ 以非线性方式依赖 $S_t$ ，闭式就消失。Black-Scholes 公式能工作是因为 Black 和 Scholes 选了 GBM。他们不是因为它真实才选它。他们是因为它能求解才选它。

Black-Scholes 的联系

现在我们可以推导 Black-Scholes 定价的核心。假设股票在风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 下服从 GBM，漂移为 $r$ （无风险利率）、波动率为 $\sigma$ ：

dS_t = r S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t^{\mathbb{Q}}

考虑一份到期日 $T$ 、收益为 $(S_T - K)^+$ 的欧式看涨期权。风险中性定价公式说

C_0 = e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[(S_T - K)^+\right]

代入 $S_T$ 的显式形式：

S_T = S_0 \exp\left[\left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right) T + \sigma W_T^{\mathbb{Q}}\right]

期望是一个对数正态期望，可以用换元法闭式计算。结果就是著名的公式：

C_0 = S_0 \Phi(d_1) - K e^{-rT} \Phi(d_2)

其中 $\Phi$ 是标准正态 CDF，

d_1 = \frac{\log(S_0/K) + (r + \sigma^2/2) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}

同样的机器给出看跌价格、数字期权、一大堆奇异变体。整个股票衍生品定价的大厦建立在 GBM 加上风险中性定价之上。

模拟 GBM 路径

实务中，你经常想模拟 GBM 而不是用闭式。标准做法是模拟对数收益然后取指数。下面是一个紧凑的实现。

import numpy as np

def simulate_gbm(S0, mu, sigma, T, n_steps, n_paths, seed=42):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    dt = T / n_steps
    drift = (mu - 0.5 * sigma**2) * dt
    diffusion = sigma * np.sqrt(dt)
    Z = rng.standard_normal((n_paths, n_steps))
    log_paths = np.cumsum(drift + diffusion * Z, axis=1)
    log_paths = np.concatenate([np.zeros((n_paths, 1)), log_paths], axis=1)
    return S0 * np.exp(log_paths)

cumsum 沿每条路径累加对数收益。我们前置一列零，让 paths[:, 0] 在每个模拟里都等于 $S_0$ 。这是最简单、最干净的模拟方案。它对 GBM 是精确的，意味着没有离散化误差, 唯一的随机性是标准正态抽样 $Z$ ， $S_T$ 的边际分布恰好是对数正态。

这种精确性又是 GBM 的特殊性质。对大多数 SDE，你需要 Euler-Maruyama 或 Milstein 离散化，会随着 $n_{\text{steps}}$ 减小累积误差。对 GBM，闭式给出任何步数下的正确答案。

实务中的 Itô 修正

如果你曾经好奇为什么 $\mu - \sigma^2/2$ 出现在 $\log S_t$ 的漂移里，而 $\mu$ 出现在 $S_t$ 的漂移里，这里是一句话答案。过程 $\log S_t$ 有确定性的期望增长率 $\mu - \sigma^2/2$ 。过程 $S_t$ 的期望值是 $S_0 e^{\mu t}$ ，平均增长率为 $\mu$ 。这两件事不同。指数化过程的期望值不等于期望值的指数，因为 Jensen 不等式和 $\exp$ 的凸性。

当人们说”股票一年涨 8%“，他们通常指 $S_t$ 的期望值按 8% 增长。GBM 下，这对应 $\mu = 0.08$ 。 $\log S_t$ 的期望值按 $\mu - \sigma^2/2 = 0.08 - 0.5 \cdot 0.16^2 \approx 0.067$ 增长（ $\sigma = 0.16$ ）。两个说法一致。不要混淆它们。

GBM 哪里不行

老实说局限。经验股票收益有：

波动率聚集。 波动率不是常数。它一波一波来。GARCH 模型处理这个。
肥尾。 日收益的峰态远大于 3。对数正态低估了尾部风险。
跳跃。 价格偶尔跳空。Merton 跳跃扩散和 variance-gamma 处理这个。
偏度。 隐含波动率有偏，尤其股票。GBM 给出平的隐含 vol。

对 vanilla 期权定价，这些失败不太要紧。你可以拟合 $\sigma$ 来匹配市场价格，跟模型一起生活。对风险管理，肥尾很重要。对多资产产品，相关性重要，模型说它们是常数。对长期期权或压力情景，模型是危险地乐观。

这些都没让 GBM 没用。它让它成为第一个模型，不是最后一个。大多数奇异定价从 Black-Scholes 基线开始，在上面叠修正。

Itô 修正的数值示例

$\sigma^2/2$ 项小但不是可忽略。取 $\sigma = 0.30$ （约 30% 年化波动率，单只股票的典型数）。那么 $\sigma^2/2 = 0.045$ ，所以 $\mu$ 和 $\mu - \sigma^2/2$ 之间每年差 4.5 个百分点。十年期累积： $e^{0.045 \cdot 10} \approx 1.57$ 。所以 GBM 中位数路径比均值路径低约 60%。这是很大的差距。

如果你模拟 $S_t$ 的 10,000 条路径， $\mu = 0.08$ 、 $\sigma = 0.30$ 、 $T = 10$ 、 $S_0 = 100$ ， $S_{10}$ 的样本均值约为 $100 \cdot e^{0.08 \cdot 10} \approx 222$ ，但中位数约为 $100 \cdot e^{(0.08 - 0.045) \cdot 10} \approx 138$ 。一半路径在 138 以下结束，一半以上。均值被对数正态的长右尾往上拉。

当你计算期望收益时这有关系。如果你的衍生品收益关于 $S_T$ 单调，期望由右尾主导， $\sigma^2/2$ 修正在很大程度上无关紧要。如果你的收益对中位数敏感（比如蝴蝶价差或任何集中在行权价附近的收益），修正很重要。

路径相关收益和 GBM

很多奇异期权依赖 $S_t$ 的路径，不只是终值。亚式期权对价格随时间求平均。回望期权依赖运行最大或最小。障碍期权在价格触及某个水平时敲出。对这些，完整路径很重要。

对 GBM，你可以用几何平均数闭式计算亚式期权价格, 但只有当平均是几何平均时，因为对数正态的几何平均还是对数正态。对算术平均，你就只能用数值。这是第一个提示：路径相关的收益比欧式收益难，即使在最可处理的模型下。

GBM 下的障碍期权更微妙。价格过程连续，但在连续时间里可以无限次触及障碍。在到期前触及一个水平的概率通过反射原理计算（见 Karatzas and Shreve，Brownian Motion and Stochastic Calculus，或者 Glasserman，3.4 节）。结果是对障碍 $H$ 在给定漂移和波动率下的存活概率的干净公式，但实务中你必须仔细选障碍监测约定（连续 vs. 离散），因为它们给出不同的价格。

远期价格和漂移

一个微妙但重要的点。在物理测度 $\mathbb{P}$ 下， $S_t$ 的漂移是 $\mu$ ，即资产的期望收益。在风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 下，漂移是 $r$ ，即无风险利率。波动率 $\sigma$ 在两个测度下相同（波动率在足够正则的等价测度变化下不变, 这是 Girsanov 定理的应用）。

当你模拟前瞻场景（现实世界预测、资产负债建模、退休预测）时，用 $\mu$ 。当你定价衍生品时，用 $r$ 。混用两个是初学者最常犯的错误之一。Black-Scholes 公式用 $r$ ，因为它对衍生品定价。一个为期权定价但用 $\mu$ 的 Monte Carlo 会给出错的答案, 通常高得离谱。

两个测度之间的转换是风险中性测度变换，关键工具是 Girsanov 定理。我们后面会推导。现在记住：物理漂移是你期望的。风险中性漂移是你用来贴现的。

连续复利 vs. 离散收益

当你取每日价格的对数、算对数收益时，你隐含用了连续复利。对数收益和简单收益的关系是

r_{\text{simple}} = e^{r_{\text{log}}} - 1 \approx r_{\text{log}} + \frac{1}{2} r_{\text{log}}^2 + \cdots

对 1% 量级的日收益，差异很小。对更长持有期，它会累积。股票指数的年对数收益标准差约 15–20%。年平均对数收益和年平均简单收益的差大约是每年 $\sigma^2/2$ , 就是我们一直在说的 Itô 修正。同一个事实，不同语言。

关于校准的一句话

实务中，你事先不知道 $\mu$ 或 $\sigma$ 。你从数据估计它们。 $\sigma$ 的历史估计量是对数收益的标准差按 $\sqrt{\Delta t}$ 缩放。对日数据，你算

\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (r_i - \bar{r})^2, \quad r_i = \log(S_{t_i}/S_{t_{i-1}})

然后缩放： $\hat{\sigma}_{\text{annual}} = \hat{\sigma}_{\text{daily}} \cdot \sqrt{252}$ 。因子 252 是一年里的交易日数。

对定价，你通常要隐含波动率，不是历史波动率。你反解出使 Black-Scholes 价格匹配期权观测市场价的 $\sigma$ 。隐含 vol 是期权市场的语言。它用波动率而不是价格来报价，因为跨行权价和到期日更可比。

该带走的

GBM 是你施加三件事时得到的：常数百分比漂移、常数百分比波动率、连续（无跳跃）路径由高斯噪声驱动。闭式解是 $S_t = S_0 \exp[(\mu - \sigma^2/2)t + \sigma W_t]$ ，是对数正态。它是 Black-Scholes 公式和大部分入门衍生品课程的基础。

数学漂亮，模型错，两者可以同时成立。当可处理性比真实性更重要时用 GBM。当尾部开始咬人的时候，去用更丰富的, local vol、随机 vol、跳跃扩散、variance-gamma。这个模块的下一篇文章从第一原理推导那些更丰富的模型。这里的参考文献是 Glasserman (2004) 第 3 章和 Hull (2018) 第 15 章。