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Greeks:完整参考,从 Delta 到 Veta

Black-Scholes 下全部一阶与二阶希腊字母的推导:一条恒等式如何把所有化简串起来、每个敏感度在对冲账簿里管什么、以及用 P&L explain 检验风险系统的纪律。

第 10 篇 · 共 12 篇 约 12 分钟

“希腊字母”就是期权价格对某个输入的偏导。Delta 最出名——券商 app 会把它印在期权链上——但它只是十几个敏感度里的第一个,任何运行衍生品账簿的人都得管完整的一组。这篇文章把它们全部推一遍。推导本身不难,难的是不迷路:所有化简都靠同一条恒等式,所有公式最后都要在同一个 PDE 里对账,而整套体系的实战意义,最终落在一个叫 P&L explain 的纪律上。我全程在 Black-Scholes 设置下工作;结论大多能带着警告推广到随机波动率、跳跃扩散和局部波动率,文末会回到这件事。

设置,再一次

无红利股票欧式看涨的 Black-Scholes 公式:

C=SN(d1)−Ke−rTN(d2)C = S N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)

其中

d1=ln⁡(S/K)+(r+12σ2)TσT,d2=d1−σTd_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \tfrac{1}{2}\sigma^2) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}

记 ϕ(x)=12πe−x2/2\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} 为标准正态密度,N′(x)=ϕ(x)N'(x) = \phi(x),N′′(x)=−xϕ(x)N''(x) = -x\phi(x)。

在动手求导之前,先备好一件工具。把 ϕ(d1)/ϕ(d2)\phi(d_1)/\phi(d_2) 写开:d12−d22=(d1−d2)(d1+d2)=2[ln⁡(S/K)+rT]d_1^2 - d_2^2 = (d_1 - d_2)(d_1 + d_2) = 2[\ln(S/K) + rT],于是

S ϕ(d1)=Ke−rTϕ(d2)S\,\phi(d_1) = K e^{-rT} \phi(d_2)

这条恒等式是接下来每一次化简的引擎——每当求导产生 Sϕ(d1)S\phi(d_1) 和 Ke−rTϕ(d2)Ke^{-rT}\phi(d_2) 两个项,它们就抵消。记住它,下面的推导会一路顺畅。

Delta:∂V/∂S\partial V / \partial S

Delta 是期权价格对标的价格的斜率。对看涨逐项微分,注意 d1d_1、d2d_2 都含 SS:

ΔC=∂C∂S=N(d1)+Sϕ(d1)∂d1∂S−Ke−rTϕ(d2)∂d2∂S\Delta_C = \frac{\partial C}{\partial S} = N(d_1) + S \phi(d_1) \frac{\partial d_1}{\partial S} - K e^{-rT} \phi(d_2) \frac{\partial d_2}{\partial S}

由于 ∂d1∂S=∂d2∂S=1SσT\frac{\partial d_1}{\partial S} = \frac{\partial d_2}{\partial S} = \frac{1}{S\sigma\sqrt{T}},后两项正是恒等式抵消的形状:

ΔC=N(d1)\boxed{\Delta_C = N(d_1)}

一个常见的口误要在这里纠正:N(d1)N(d_1) 不是期权到期实值的风险中性概率——那是 N(d2)N(d_2)(看公式第二项,它配的正是行权时付出的 Ke−rTKe^{-rT})。N(d1)N(d_1) 是把股票当计价物时的行权概率,第一项 SN(d1)S N(d_1) 因此才有”以股票计价的期望收取”的解释。两个概率的差,恰好就是期权的时间价值来源之一。

看跌用平价关系:C−P=S−Ke−rTC - P = S - Ke^{-rT} 对 SS 微分,

ΔP=ΔC−1=N(d1)−1=−N(−d1)\Delta_P = \Delta_C - 1 = N(d_1) - 1 = -N(-d_1)

ΔC−ΔP=1\Delta_C - \Delta_P = 1 精确成立,不是近似。几何上,delta 是 V(S)V(S) 曲线在当前价位的斜率,也是对冲比率:NN 份期权的 delta 中性组合需要 −N⋅Δ-N \cdot \Delta 股股票。

Gamma:∂2V/∂S2\partial^2 V / \partial S^2

Delta 是斜率,那斜率变多快?既然 ΔC=N(d1)\Delta_C = N(d_1):

Γ=∂2C∂S2=ϕ(d1)∂d1∂S=ϕ(d1)SσT\Gamma = \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} = \phi(d_1) \frac{\partial d_1}{\partial S} = \frac{\phi(d_1)}{S \sigma \sqrt{T}}

看涨看跌的 gamma 相同——平价关系的线性部分在二阶导下消失。ATM 期权 gamma 最高,深度实值和虚值趋近于零,因为 N(d1)N(d_1) 是 sigmoid:中段陡、两尾平。

Gamma 是 delta 对冲费钱的原因:两次再平衡之间,delta 漂移 Γ⋅ΔS\Gamma \cdot \Delta S,沿路径积分这个漂移的损益,就是期权卖方以 theta 形式收取的”gamma 溢价”。多 gamma 账簿在股票不动的日子亏 theta,空 gamma 账簿在大动的日子流血——同一枚硬币的两面,后面讲离散对冲时会把这句话写成公式。

Vega:∂V/∂σ\partial V / \partial \sigma

对 σ\sigma 微分:

V=∂C∂σ=Sϕ(d1)∂d1∂σ−Ke−rTϕ(d2)∂d2∂σ\mathcal{V} = \frac{\partial C}{\partial \sigma} = S \phi(d_1) \frac{\partial d_1}{\partial \sigma} - K e^{-rT} \phi(d_2) \frac{\partial d_2}{\partial \sigma}

需要

∂d1∂σ=−ln⁡(S/K)+rTσ2T+T2\frac{\partial d_1}{\partial \sigma} = -\frac{\ln(S/K) + rT}{\sigma^2 \sqrt{T}} + \frac{\sqrt{T}}{2}

而 ∂d2/∂σ=∂d1/∂σ−T\partial d_2/\partial \sigma = \partial d_1/\partial \sigma - \sqrt{T}。代入后再次动用恒等式,∂d1/∂σ\partial d_1/\partial \sigma 的两份贡献抵消,只剩 −T-\sqrt{T} 那一项活下来:

V=Sϕ(d1)T\boxed{\mathcal{V} = S \phi(d_1) \sqrt{T}}

Vega 对多头(看涨看跌同)为正,平值处峰值,两端趋零。单位是每单位波动率的货币量;波动率按百分点报价时除以 100。实务上各市场有自己的风险”桶”约定——股票台通常按 1 个 vol 点的变动报 vega,再把一切折算成名义 vega 或 vega 加权头寸。

Theta:∂V/∂t\partial V / \partial t

Theta 是时间流逝的价格。先把一个常见的符号困惑拆掉:因为 VV 只通过剩余期限 T−tT - t 依赖时间,∂V/∂t=−∂V/∂T\partial V/\partial t = -\partial V/\partial T,两个约定是同一个数。真正的差别在报告口径:有的系统直接报这个(多头看涨为负数),有的报”每过一个日历日流失的时间价值”(正数),还有按年、按日的单位差别。搞清自己系统的口径,别硬背符号。

对欧式看涨(写出 T−tT - t 以强调口径):

ΘC=∂C∂t=−Sϕ(d1)σ2T−t−rKe−r(T−t)N(d2)\Theta_C = \frac{\partial C}{\partial t} = -\frac{S \phi(d_1) \sigma}{2\sqrt{T-t}} - r K e^{-r(T-t)} N(d_2)

两项各有身份:第一项是时间价值随 gamma 一起蒸发的部分,第二项是行使价折现的利息——持有”到期付 KK“的义务,rr 越高负担越重。看跌的第二项翻号:

ΘP=−Sϕ(d1)σ2T−t+rKe−r(T−t)N(−d2)\Theta_P = -\frac{S \phi(d_1) \sigma}{2\sqrt{T-t}} + r K e^{-r(T-t)} N(-d_2)

短期 ATM 期权的 theta 最凶:第一项分母里的 T−t\sqrt{T-t} 让衰减在到期前加速。0-DTE 期权的公式形式上退化,但极限有限;量级感受是,离到期一天的 ATM 指数期权,每小时的 theta 可以到期权价格的百分之几。

Rho:∂V/∂r\partial V / \partial r

ρC=∂C∂r=KTe−rTN(d2)\rho_C = \frac{\partial C}{\partial r} = K T e^{-rT} N(d_2) ρP=∂P∂r=−KTe−rTN(−d2)\rho_P = \frac{\partial P}{\partial r} = -K T e^{-rT} N(-d_2)

看涨 rho 为正,看跌为负。短期股票期权基本忽略它;长期股票期权、利率衍生品和债券期权上它升格为主要风险。

对账:PDE 恒等式

四个一阶希腊字母不是独立的——它们被 Black-Scholes PDE 绑在一起:

Θ+12σ2S2Γ+rSΔ−rV=0\Theta + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma + r S \Delta - r V = 0

(这里 Θ=∂V/∂t\Theta = \partial V/\partial t。)这就是 PDE 本身的重排。它的实战价值是当校验和用:风险系统输出的希腊字母代进去,等式成立说明数值自洽,不成立说明有 bug。花五分钟写这个断言,能省掉以后很多个深夜。

二阶希腊字母

跑账簿的人很快会发现一阶不够:再平衡赚亏的 P&L 取决于希腊字母自己怎么变。二阶的名字是标准的,公式的约定却每本书不同——以下推导全部沿用本文的记号,并且每一条都能用有限差分验算。

Vanna,∂2V/∂S∂σ\partial^2 V / \partial S \partial \sigma。 波动率变时 delta 怎么变;等价地,现货动时 vega 怎么变(混合偏导对称)。对 V=Sϕ(d1)T\mathcal{V} = S\phi(d_1)\sqrt{T} 关于 SS 微分,整理后:

Vanna=−ϕ(d1) d2σ\boxed{\text{Vanna} = -\frac{\phi(d_1)\, d_2}{\sigma}}

符号由 d2d_2 定:典型的 ATM 和虚值看涨处 d2<0d_2 < 0,vanna 为正——vol 升,delta 升。d2=0d_2 = 0(约在远期附近)是它换号的地方。做市商同时管着 SS 和 σ\sigma 的联动敞口,vanna 就是那个联动项;指数大跌带动 vol 飙升的日子,vanna 流量常常是当天最大的对冲流之一。2021 年初的所谓”gamma squeeze”事件里,做市商的 gamma 与 vanna 对冲流互相喂养的机制被广泛讨论——细节仍有争论,但这类反馈回路真实存在。

Charm,∂2V/∂t∂S\partial^2 V / \partial t \partial S,又叫 delta decay。 时间流逝、SS 不动,delta 怎么漂。它回答”明天早上我的 delta 是多少”:

Charm=∂Δ∂t=−ϕ(d1)⋅2rT−d2σT2σTT\text{Charm} = \frac{\partial \Delta}{\partial t} = -\phi(d_1) \cdot \frac{2rT - d_2 \sigma \sqrt{T}}{2\sigma T \sqrt{T}}

短期期权的日间 delta 变化大头就是 charm。早上 9:30 算的 delta 不做 charm 修正,收盘前对冲就已经歪了。

Vomma(又叫 volga),∂2V/∂σ2\partial^2 V / \partial \sigma^2。 Vega 对 vol 的敏感度,决定 vega 对冲能撑多大的 vol 移动:

Vomma=Sϕ(d1)T⋅d1d2σ\text{Vomma} = S \phi(d_1) \sqrt{T} \cdot \frac{d_1 d_2}{\sigma}

注意符号跟着 d1d2d_1 d_2 走:离 ATM 稍远的期权(d1d_1、d2d_2 同号)vomma 为正,vega 随 vol 上升而增长——凸性站在多头一边;但在 d1>0>d2d_1 > 0 > d_2 的窄带里(大致就是平值附近)乘积为负,vomma 接近零甚至转负。所以教科书上”做多 vomma”的头寸是虚值宽跨式(strangle),不是贴着平值的跨式——后者的 vomma 恰恰最小。

Veta,∂2V/∂t∂σ\partial^2 V / \partial t \partial \sigma。 Vega 的时间衰减。对 V\mathcal{V} 关于 tt 微分并整理(可用有限差分验证):

Veta=∂V∂t=Sϕ(d1)T[r d1σT−1+d1d22T]\text{Veta} = \frac{\partial \mathcal{V}}{\partial t} = S \phi(d_1) \sqrt{T}\left[\frac{r\, d_1}{\sigma \sqrt{T}} - \frac{1 + d_1 d_2}{2T}\right]

平值附近方括号由 −(1+d1d2)/(2T)-(1+d_1d_2)/(2T) 主导,veta 为负:vega 随时间流失,期限越短流失越快。持有长期期权的账簿要把”vega 头寸自己在缩水”记进日程;LEAP 一年下来仅因时间流逝就丢掉可观的 vega。

Vera 与其他交叉项。 ∂2V/∂r∂σ\partial^2 V/\partial r \partial \sigma 之类的 rr 混合导数,对短期股票期权很小,对债券期权、利率上限和奇异产品才重要。推导全是同一个套路:微分、化简、用恒等式。

数值希腊字母:现实世界的警告

解析公式之外的世界靠有限差分,四件事会烧到你。第一,bump 大小:对 SS 加 0.01 得到噪声主导的差分,加 10 又混进高阶效应;常规是 delta 用 SS 的 0.5%-2%、vega 用 1 个 vol 点、theta 用 1 个日历日。第二,sticky-strike 还是 sticky-delta:现货动了之后,你在原行使价还是原 delta 处重估期权?两种口径给出不同的 vega 数,现实更接近 sticky-delta 但随市场而变。第三,收益率曲线:多曲线或随机利率下要按关键期限做久期,单一平行 rho 是错的——股票台常忽略,利率敏感账簿会后悔。第四,不连续收益:数字、障碍、回望在边界处希腊字母不连续,有限差分直接爆炸,要用解析公式或路径法蒙特卡洛(配 adjoint,见 Wilmott, 2007)。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def greeks(S, K, r, sigma, T, kind='call'):
    if T <= 0:
        return {'delta': 1.0 if S > K else 0.0}
    d1 = (np.log(S / K) + (r + 0.5 * sigma**2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
    if kind == 'call':
        delta = norm.cdf(d1)
        rho   =  K * T * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
        theta = -(S * norm.pdf(d1) * sigma) / (2 * np.sqrt(T)) \
                - r * K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
    else:
        delta = norm.cdf(d1) - 1
        rho   = -K * T * np.exp(-r * T) * norm.cdf(-d2)
        theta = -(S * norm.pdf(d1) * sigma) / (2 * np.sqrt(T)) \
                + r * K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(-d2)
    gamma = norm.pdf(d1) / (S * sigma * np.sqrt(T))
    vega  = S * norm.pdf(d1) * np.sqrt(T)
    return dict(delta=delta, gamma=gamma, vega=vega, theta=theta, rho=rho,
                d1=d1, d2=d2)

这覆盖了人们说”给我希腊字母”时的大部分意思;二阶希腊字母住在同样的代码里,只是多两次求导。

随机波动率下的希腊字母

到这里必须交代前面按下的警告。在 Heston 或 SABR 下,BS 解析希腊字母不再等于正确的对冲比率:模型算出的敏感度是对当前模型参数的(v0v_0、ρ\rho、vol-of-vol 都在内),而头寸的真实风险依赖 BS 希腊字母根本不包含的参数。标准补法是加上波动率状态的敏感度——定义 Λ=∂V/∂v0\Lambda = \partial V/\partial v_0,用有限差分直接算,风险报告把 Δ,Γ,Vega,Λ\Delta, \Gamma, \text{Vega}, \Lambda 分开列。很多台不显式追踪 Λ\Lambda,靠跨到期、跨行使价的分散间接对冲——敞口仍然真实存在,只是没人给它记账。要点是:把 Δ\Delta、Γ\Gamma、Vega\text{Vega} 全对冲到零的”希腊中性”组合,在随机波动率下不是无风险的,它对 v0v_0 和 ρ\rho 留着残余敞口。

离散对冲下的希腊字母

连续再平衡是教科书假设;真实账簿每 Δt\Delta t 调一次仓,实现 P&L 就偏离希腊字母的预言。主修正有两个。

第一,gamma 损益。两次调仓之间,delta 对冲组合的损益由实现的 (ΔS)2(\Delta S)^2 对隐含预期的偏离决定,逐段求和:

P&Lhedge=∑i12 Γti[(ΔSi)2−σ2Sti2 Δt]\text{P\&L}_{\text{hedge}} = \sum_i \frac{1}{2}\,\Gamma_{t_i}\left[(\Delta S_i)^2 - \sigma^2 S_{t_i}^2\, \Delta t\right]

括号里正是”实现方差减隐含方差”。这就是做市商 gamma scalping 的账:多 gamma 时实现超过隐含赚钱、不足亏 theta;空 gamma 反过来。前面 gamma 一节的那句话,在这里成为公式。

第二,远期与现货 delta 的口径差。外汇市场按惯例区分 spot delta 和 forward delta,两者差一个折现因子:

Δfwd=Δspot⋅e(r−q)τ\Delta_{\text{fwd}} = \Delta_{\text{spot}} \cdot e^{(r - q)\tau}

(τ\tau 为剩余期限,qq 是外币利率或红利率。)股票上 r−qr - q 小,差别常被忽略;高息差的货币对(比如日元交叉盘)上口径差可以到 delta 的 1-2%,报错口径等于报错头寸。

有限差分的实务

没有解析公式的产品用 bump-and-revalue:动一个输入、重定价、除以 bump。细节决定质量。中心差分 (V(x+h)−V(x−h))/(2h)(V(x+h) - V(x-h))/(2h) 二阶精度,单边差分只有一阶,能用中心就用中心。bump 大小照前面的约定。重定价成本是真正的约束:闭式定价函数亚毫秒,蒙特卡洛却要整套重跑——而且两次含噪估计相减,噪声比信号大,除非两次仿真用共同随机数,让噪声在差分里对消,这是 MC 希腊字母的第一条军规。更进一步,adjoint / 路径导数法能以一次额外定价的代价拿到全部一阶希腊字母(不是每个参数一次);路径依赖收益要小心可微性,但原理相同。

一个能救职业生涯的诊断

整套希腊字母体系的最终考试,是它能不能解释你的钱去了哪。定义:

P&L explain=Δ⋅dS+12Γ⋅(dS)2+Vega⋅dσ+Θ⋅dt+…\text{P\&L explain} = \Delta \cdot dS + \frac{1}{2} \Gamma \cdot (dS)^2 + \text{Vega} \cdot d\sigma + \Theta \cdot dt + \ldots

拿它对照每天的实现损益,残差

ϵ=实现 P&L−∑iGi⋅Δxi\epsilon = \text{实现 P\&L} - \sum_i G_i \cdot \Delta x_i

按日、按账簿、按交易员追踪。残差小,风险系统可信;残差大,先修系统再谈交易。残差的形状还会告诉你病灶在哪:随时间线性增长,gamma 错了;随 ∣ΔS∣2|\Delta S|^2 增长,波动率敏感度错了;跟着某个不在风险模型里的行业指数走,相关性缺了一块。“用希腊字母解释 P&L”这条纪律,是风险管理和事后记账的分界线。

哪些希腊字母日常真的在用?多数期权交易员只盯 delta 和 gamma;波动率账簿加 vega,短期权利金账簿加 theta,利率敏感账簿加 rho。二阶的用武之地跟着策略走:vol-of-vol 账簿的主风险指标是 vomma——vol 移动的 P&L 是 Vega⋅dσ+12Vomma⋅dσ2\text{Vega} \cdot d\sigma + \frac{1}{2}\text{Vomma} \cdot d\sigma^2,vega 正、vomma 正的头寸在大 vol 移动上赚的比线性多;gamma scalper 的隔夜敞口由 charm 定——下午四点对冲过、次日开盘没对冲,charm 就是这段时间 delta 的漂移;长期期权账簿则要同时看 rho 和 veta。

生产系统里的流程是:每个工具一个定价函数,按 bump-and-revalue 时间表逐工具算希腊字母,聚合到风险桶(按到期 1M/3M/6M/1Y/2Y、按 delta、按标的),对总量施加限额。经验上,报告错误多数出在聚合这一步——解析希腊字母和有限差分希腊字母混在一起时,符号和尺度约定最容易错位。把口径钉死,否则你会永远在解释 P&L。

最后一句留给整个体系的边界:希腊字母假设一个模型。市场以打破模型的方式移动时——实现波动率一天翻倍——即便所有希腊字母都是平的,你也在亏钱。它们是某一点处的敏感度,不覆盖尾部风险、跳跃风险、对冲比率在压力下失效这些事。希腊字母是描述风险的语言,不是风险本身;做市商的真实风险在 vol-of-vol 和曲面动态上,那是波动率曲面那几篇文章的领地。

阅读清单。 Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 第 10 版(2018)关于希腊字母的章节。Wilmott, Paul Wilmott on Quantitative Finance, 第 2 版(2007),包括路径法与 adjoint 敏感度。Luenberger, Investment Science (2013)关于交叉希腊字母的 PDE 解读。Press et al., Numerical Recipes, 第 3 版(2007)关于数值微分的陷阱。