鞅表示：对冲即投影

如何用随机积分复制任何或有权益，Clark-Ocone 公式，以及它对对冲的含义。

第 3 篇 · 共 12 篇约 13 分钟

风险中性定价说衍生品是 $\mathbb{Q}$ 下的贴现期望。但有一个更深的问题：如何通过交易标的来复制一个衍生品？这就是鞅表示问题。答案是随机分析中最优雅的结果之一：每个可由无套利定价的平方可积权益，都能写成关于标的布朗运动、一个可料过程的随机积分。被积函数就是交易策略。

这篇文章推导布朗情形下的结果，通过 Cameron-Martin 空间给出直觉，并解释它对实际对冲意味着什么。我们会看到为什么 delta 对冲有效，为什么奇异期权比 vanilla 难对冲，为什么有多个随机源的市场需要多个对冲工具。

设定

我们在支撑一个布朗运动 $W_t$ 的概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{Q})$ 上工作。 $\sigma$ 域族 $\mathcal{F}_t$ 是 $W_t$ 的自然 $\sigma$ 域族加上零集。假设贴现价格过程 $\tilde{S}_t = e^{-rt} S_t$ 是 $\mathbb{Q}$ 鞅。在 GBM 下，

\tilde{S}_t = \tilde{S}_0 \exp\left(-\frac{\sigma^2}{2} t + \sigma W_t^{\mathbb{Q}}\right)

或有权益是 $\mathcal{F}_T$ -可测的随机变量 $V_T$ 。我们说 $V_T$ 是可达的，如果存在自融资交易策略 $\phi_t$ （ $t$ 时刻持有的股数）使得财富过程 $V_t = \phi_t \tilde{S}_t + \psi_t B_t$ （其中 $\psi_t$ 在债券上）满足 $V_T = V_T$ 。初始成本就是价格。

鞅表示定理问：对哪些 $V_T$ ，这样的 $\phi_t$ 存在？

表示定理

定理（布朗鞅表示）. 设 $W_t$ 是 $\mathbb{Q}$ 下的标准布朗运动。设 $V_T$ 是平方可积的 $\mathcal{F}_T$ -可测随机变量。那么存在唯一的可料过程 $\phi_t$ 使得

V_T = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[V_T] + \int_0^T \phi_t \, dW_t

过程 $\phi_t$ 就是被积函数或复制策略。表示是唯一的：如果两个被积函数给出同一权益，它们几乎处处一致。

这定理是完备市场对冲的严格基础。贴现财富过程 $\tilde{V}_t = e^{-rt} V_t$ 是鞅。由定理，布朗 $\sigma$ 域族下的任何鞅都能写成常数加上关于 $W_t$ 的随机积分。被积函数就是风险资产的头寸。

等价地，从非贴现价格的角度，任何自融资交易策略的价值过程满足

dV_t = r V_t \, dt + \phi_t \sigma S_t \, dW_t^{\mathbb{Q}}

股数头寸 $\phi_t$ 由应用于 $V_T$ 的表示定理决定。

为什么这定理重要

这定理是定价和对冲之间的桥梁。定价说： $V_0 = e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[V_T]$ 。定理说：存在从 $V_0$ 出发达到 $V_T$ 的策略。两者合起来意味着无套利定价。价格等于复制成本。

这也是 Black-Scholes-Merton 的形式化内容：完备市场中欧式期权的复制策略存在。Delta 对冲 $\phi_t = \partial V / \partial S$ 正是定理预言的被积函数。我们很快就会看到怎么计算它。

对不在 $L^2$ 中的权益（重尾收益），定理失效。对那些，不能通过有界交易策略复制，定价也可能不唯一。我们这里略过这些技术细节。

计算被积函数：Clark-Ocone 公式

鞅表示定理是存在唯一性。要计算 $\phi_t$ ，你需要Clark-Ocone 公式：

\phi_t = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[D_t V_T | \mathcal{F}_t]

其中 $D_t$ 是 Malliavin 导数（随机导数，像函数空间中的方向导数）。

Malliavin 导数是对布朗运动的平滑泛函定义的。如果 $V_T = f(W_{t_1}, W_{t_2}, \ldots, W_{t_n})$ 对某平滑函数 $f$ ，那么

D_s V_T = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial W_{t_i}} \mathbf{1}_{s \leq t_i}

导数捡起收益对每个布朗增量的敏感度。Clark-Ocone 公式然后取条件期望，投影到可料（不预知未来）的被积函数上。

对欧式看涨 $V_T = (S_T - K)^+$ ，计算给出著名的 delta：

\phi_t = \frac{\partial V_t}{\partial S_t} = \Phi(d_1)

单位是”每份期权的股数”。对这个平滑单调的收益，Malliavin 导数和 delta 一致。

直觉：函数空间中的投影

鞅表示定理有一个干净的线性代数读法。平方可积权益空间 $L^2(\Omega, \mathcal{F}_T, \mathbb{Q})$ 是以内积 $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[XY]$ 的希尔伯特空间。 $\mathbb{Q}$ 鞅子空间 $M^2$ （形式为 $\int_0^T \phi_s \, dW_s$ ）是闭子空间。每个权益 $V_T \in L^2$ 都能唯一分解为

V_T = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[V_T] + M_T

其中 $M_T \in M^2$ 。 $M_T$ 分量是鞅部分，投影到 $M^2$ 给出被积函数。

从这个观点看，对冲是把收益正交投影到可达权益子空间上。均值是常数项，随机积分是投影。定理保证每个权益都有这样的投影。被积函数 $\phi_t$ 是 $D_t V_T$ 的可料投影。

对欧式期权，这种投影可以闭式计算。对路径依赖或奇异收益，投影通常需要数值方法。Monte Carlo、PDE 求解器，或者基于 Malliavin 的模拟。

多资产推广

当有 $d$ 个布朗运动和 $d$ 个风险资产时，表示是多维的：

V_T = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[V_T] + \sum_{i=1}^d \int_0^T \phi_t^i \, dW_t^{\mathbb{Q}, i}

对冲策略有 $d$ 个分量（每个资产一个），每个随机源各一个。这就是多资产完备市场：每个随机源需要一个对冲工具来跨越所有权益。

如果资产比随机源少，市场就不完备：不是每个权益都能被复制。可达权益集是真子空间。定价不再唯一；存在一个无套利价格区间。

例如，被两个因子（水平与斜率）驱动的利率衍生品不能用单一债券头寸完美对冲。你至少需要两个债券（或一个债券加一个 swap）来跨越两个因子。

马尔可夫情形与 Black-Scholes PDE

对形式为 $V_T = g(S_T)$ 的收益，价值过程是 $S_t$ 和 $t$ 的函数： $V_t = V(S_t, t)$ 。由 Itô 引理，

dV_t = V_t \, dt + V_S \, dS_t + \frac{1}{2} V_{SS} (dS_t)^2

设贴现过程 $\tilde{V}_t$ 为鞅，并用 $dS_t = r S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t$ ，我们得到

d\tilde{V}_t = \tilde{V}_S \sigma S_t \, dW_t^{\mathbb{Q}}

外加漂移项，必须为零：

\tilde{V}_t + (r S_t \tilde{V}_S + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \tilde{V}_{SS}) - r \tilde{V}_t = 0

乘以 $e^{rt}$ 并化简得到 Black-Scholes PDE：

V_t + r S_t V_S + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 V_{SS} - r V_t = 0

带终值条件 $V(S_T, T) = g(S_T)$ 。PDE 是定价方程。它的解是欧式权益的唯一无套利价格。Delta 对冲是 $V_S = \partial V / \partial S$ ，这就是表示定理给定的被积函数。

这对从业者来说是鞅表示最有用的应用：对欧式权益，PDE 给你价格和对冲。对路径依赖权益，PDE 本身变成路径依赖的，或者有额外的状态变量（运行最大值、价格积分，等等）。

对冲误差

实际中，你不能连续交易。你离散再平衡。这引入对冲误差，也就是离散对冲的实际收益和期望的到期收益之差。

对在 $t_0, t_1, \ldots, t_n$ （ $\Delta t = T/n$ ）再平衡的 delta 对冲，欧式期权的对冲误差规模是 $O(\sqrt{\Delta t})$ 。更频繁的再平衡给出更小的误差，但更高的交易成本。最优再平衡频率平衡这两者。

对奇异期权，规模化得更糟。离散监控的障碍期权有依赖于监控频率的敲出概率。离散亚式期权有平均化误差。复制在实际中从来都不精确，但只要再平衡足够频繁，可以非常好。

鞅表示定理给出连续时间的理想对冲。现实世界的对冲是近似。量化这个差距是活跃的研究领域，尤其是在离散交易、交易成本和模型误设的体制下。

一段代码示例

import numpy as np

def delta_hedge_call(S0, K, r, sigma, T, n_steps, n_paths=10000, seed=0):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    dt = T / n_steps
    discount = np.exp(-r * T)

    # Precompute the Black-Scholes delta for the call
    def call_delta(t, S):
        tau = T - t
        if tau <= 0:
            return 1.0 if S > K else 0.0
        d1 = (np.log(S/K) + (r + 0.5*sigma**2)*tau) / (sigma*np.sqrt(tau))
        from scipy.stats import norm
        return norm.cdf(d1)

    # Simulate paths and apply the hedge
    S = np.full(n_paths, S0)
    cash = np.zeros(n_paths)
    cash += call_delta(0.0, S) * S
    for i in range(n_steps):
        t = i * dt
        delta = call_delta(t, S)
        cash -= delta * S
        dW = rng.standard_normal(n_paths) * np.sqrt(dt)
        S = S * np.exp((r - 0.5*sigma**2)*dt + sigma*dW)
        cash *= np.exp(r * dt)
        cash += delta * S

    payoff = np.maximum(S - K, 0)
    hedge_pnl = cash + call_delta(T, S) * S - payoff
    print(f"Mean hedge error: {hedge_pnl.mean():.4f}")
    print(f"Std hedge error: {hedge_pnl.std():.4f}")

平均对冲误差应接近零（因为策略在连续时间是自融资的），标准差给出离散再平衡误差的方差。当步数和路径都很多时，标准差以 $O(1/\sqrt{n_{\text{steps}}})$ 缩小，确认收敛到完美复制。

为什么路径依赖权益更难

对收益为 $g(\frac{1}{T} \int_0^T S_t \, dt)$ 的亚式期权，自然的状态变量是 $(S_t, A_t, t)$ ，其中 $A_t = \int_0^t S_u \, du$ 是运行平均。定价 PDE 是三维的。对冲策略依赖于 $S_t$ 和 $A_t$ ：

\phi_t = V_S(S_t, A_t, t)

实时计算这个 delta 需要跟踪运行平均，这在模拟中直接，但在生产交易系统中代价昂贵，因为需要快速的希腊字母。

对障碍期权，你也需要跟踪运行最大值 $M_t = \max_{u \leq t} S_u$ 。PDE 又是三维的。Delta 在障碍附近可以非连续变化，这造成实际对冲的挑战。

所有情况下，鞅表示定理仍然成立。被积函数存在且唯一。闭式计算更难，实时计算有时不可行。这就是为什么一些奇异期权的买卖价差比 vanilla 宽。

对冲策略即保险

思考 delta 对冲的一个有用方式是：它是在买针对标的物价格波动的保险。头寸 $\phi_t \sigma S_t \, dW_t$ 代表对冲的无穷小盈亏。把所有无穷小变动加起来，对冲吸收了扩散风险。剩下的是漂移（在风险中性世界里等于 $r$ ）加上任何模型误差。

对 delta 中性对冲，下一阶希腊字母是 gamma： $\partial^2 V / \partial S^2$ 。Gamma 度量 delta 随标的物变化多快。Gamma 高意味着对冲必须频繁再平衡。Gamma 低意味着静态对冲大致正确。

Vega ( $\partial V / \partial \sigma$ ) 是对波动率的敏感度。Vega 中性对冲消除波动率曲面的小幅平行移动。这更难维持，因为波动率不能直接交易。你通过在不同行权价上为期权进行交易来近似 vega 对冲。

需要带走的要点

鞅表示定理说：布朗 $\sigma$ 域族下的每个或有权益都能写成其期望加上一个随机积分。被积函数就是对冲策略。Clark-Ocone 公式以 Malliavin 导数的条件期望给出它。

对马氏权益，对冲是 delta $\partial V / \partial S$ ，从 Black-Scholes PDE 计算。对路径依赖权益，对冲需要更多状态变量。对多资产权益，你每个随机源需要一个对冲工具。

实际要点：通过风险中性期望定价之所以合理，是因为对冲存在。两者是同一件事的不同角度。表示理论中的被积函数就是你在标的物上的头寸。你每次再平衡计算一次，持有到下次再平衡，吸收价格变动。

参考文献：Øksendal (2003)，第 7 章；Shreve (2008)，Stochastic Calculus for Finance II，第 6 章；Björk (2009)，第 12 章。Glasserman (2004) 在第 6 节讨论了表示与 Monte Carlo 的联系。Clark-Ocone 公式的完整证明需要 Malliavin 演算，我们这里没展开。实际工作用到的是 Black-Scholes PDE 和 delta 公式。

一段话讲清 Malliavin 演算

Malliavin 导数 $D_t$ 是方向导数的随机类比。对随机变量 $F = f(W(h_1), \ldots, W(h_n))$ ，其中 $W(h_i) = \int_0^T h_i(s) \, dW_s$ 是确定性函数 $h_i$ 的 Wiener 积分，Malliavin 导数是

D_s F = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(W(h_1), \ldots, W(h_n)) h_i(s)

换句话说： $D_s F$ 度量 $F$ 对时刻 $s$ 处布朗路径扰动的敏感度。它是由 $s \in [0, T]$ 索引的过程。举个简单例子，如果 $F = W_T$ ，那么 $D_s F = 1$ （对 $s \leq T$ ），否则为 0。终端时刻的布朗运动对沿途每个增量都敏感。

$D_s F$ 适应于反向 $\sigma$ 域族（如果 $s < T$ ，它依赖于 $W$ 的未来值）。Clark-Ocone 公式通过在 $\mathcal{F}_s$ 上取条件，把 $D_s F$ 投影到自然 $\sigma$ 域族上。这个投影就是被积函数 $\phi_s$ 。

为欧式期权计算 Malliavin 导数给出和计算 delta 一样的答案。它们一致。公式的更深价值在于路径依赖或非平滑收益，这里经典希腊字母可能不存在但 Malliavin 导数存在。对数字期权、回望收益或障碍期权，Malliavin 方法给出稳健的被积函数，即使在有限差分失效的地方也行。

不完备市场：一个不同的世界

如果市场比交易资产有更多随机源，不是每个权益都能被复制。可达权益集是 $L^2(\mathcal{F}_T)$ 的真子空间。定价不再唯一。

例如，考虑被两个独立布朗运动驱动的单只股票： $dS_t = r S_t \, dt + \sigma_1 S_t \, dW_t^1 + \sigma_2 S_t \, dW_t^2$ 。只有一个交易资产，但有两个随机源。这个 $\sigma$ 域族下的鞅表示会有两个被积函数：

V_T = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[V_T] + \int_0^T \phi_t^1 \, dW_t^1 + \int_0^T \phi_t^2 \, dW_t^2

但我们只有一个风险资产，所以只能指定一个交易策略。我们无法独立控制 $\phi^1$ 和 $\phi^2$ 。可达权益集是所有 $t$ 都满足 $\phi_t^2 = 0$ 的子集。即收益只是股票路径函数的那些权益，它们自动落在 $dW^1$ 跨越的一维子空间中。

不可达权益的价格区间由跨越正交补的对偶变量（状态价格密度）确定。这是效用无差别定价的基础：选一个效用函数，找到让对冲者和不可对冲风险联合最优的价格。

与 PDE 方法的联系

鞅表示定理和 Black-Scholes PDE 对欧式权益给出同样的答案。为什么两种表述？

PDE 把价格作为状态变量的函数。它用来计算希腊字母、可视化价格曲面、理解价格对参数的依赖。
鞅表示把价格作为期望。它对 Monte Carlo 模拟、路径依赖收益、以及 PDE 变得不可行的高维问题有用。

对有一个标的和一个随机源的期权，两种方法都行。对篮子期权或亚式期权，PDE 方法吃紧（状态空间变得太大），而带鞅表示的 Monte Carlo 胜出。对高维利率衍生品，只有 Monte Carlo 实用。

两种方法是对偶的。PDE 来自对当前状态的条件期望；表示来自把 $\sigma$ 域族上的收益分解。它们对同一权益给出同样价格。用计算上可处理的那个。

可料表示性质

市场被认为有可料表示性质，如果每个平方可积鞅都可表示为关于交易资产驱动布朗运动的随机积分。布朗情形满足这个性质。被跳跃扩散或 Lévy 过程驱动的市场一般不满足，除非有足够多交易资产跨越所有随机源。

如果可料表示性质失败，鞅表示定理可能不适用。你可能有不是关于交易资产的随机积分的鞅。这种情况下，无套利定价仍然有效（FTAP 说等价测度存在），但复制并不总是可能。

这是为什么一些市场完备而另一些不完备的形式化基础。完备市场有可料表示性质。不完备市场没有。

Clark-Ocone 被积函数的数值计算

对高维或非平滑收益，数值计算 Clark-Ocone 被积函数是活跃的研究领域。基本算法是：

沿模拟路径计算 Malliavin 导数 $D_t F$ 。
取条件期望 $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[D_t F | \mathcal{F}_t]$ 。
用这个作为被积函数 $\phi_t$ 。

第 1 步可以通过对布朗增量的有限差分（类似对标的物做 bump）来做。第 2 步需要对模拟路径进行非参数回归（核回归、神经网络，等等）。第 3 步给出被积函数，你可以用它来对冲。

这技术叫做Malliavin-Monte Carlo 方法。它有时比直接 delta 计算更高效，尤其是对不够平滑以至于有限差分失败的收益。参考文献包括 Fournié 等 (1999) 和 Kohatsu-Higa 与 Yano 的综述。

一个对冲悖论

这里有一个值得思考的悖论。鞅表示定理说在连续时间下带连续再平衡，每个权益都可复制。但实际交易发生在离散时间带离散价格。所以实际中，复制从来都不精确。那么，价格怎么能是唯一的？

答案在极限里。当再平衡频率趋于无穷大时，离散对冲在 $L^2$ 中收敛到连续对冲，成本收敛到价格。鞅表示定理给出渐近理想。买卖价差反映了用有限再平衡接近这个理想的成本。

对流动性标的上欧式期权，价差很小。在模型精度之内。对奇异期权，价差可能很大。离散对冲的定价误差是交易成本的一部分。

定理没告诉你的事

鞅表示定理假设：

连续价格路径（无跳跃）。
连续时间交易（无摩擦）。
连续布朗运动（无离散跳动）。
模型正确。

实际中，四个假设都失败。价格跳跃（8% 的隔夜缺口确有发生）。交易有买卖价差和佣金。价格以离散单位跳动。模型是错的。定理是个极限，极限可能不紧。

对一个工作中的量化，问的不是”什么是完美对冲”而是”在我的约束下什么是最佳对冲”。鞅表示给你目标。实际对冲把你带到接近目标。差距就是你的优势。或者你的成本。