Expected Shortfall 与 VaR：相干性为什么赢

2016 年，Basel 委员会在 Fundamental Review of the Trading Book（FRTB）里把市场风险资本的计量基础从 VaR 换成了 Expected Shortfall（BCBS, Minimum Capital Requirements for Market Risk, 2016）。监管换度量不是小事：全球银行的风险系统、资本报表、内部模型审批全都要跟着改。促成这次切换的理由，浓缩起来就是一句话——VaR 只告诉你门槛在哪，不告诉你翻过门槛之后会发生什么。

这个”看不见门槛以外”的缺陷不是审美问题，它有一个精确的数学表现：VaR 不满足 sub-additivity（次可加性），也就是说，把两个组合合在一起，报出来的风险可以比分开各自的风险之和还大。一个连”分散化不应该增加风险”都保证不了的度量，会在最关键的操作——合并组合、设集中度限额、分配资本——上给出错误建议，而且这种错误可以被反向利用：只要把风险藏到分位数以外，VaR 就看不见。

这篇文章把这条线走完：先推导 ES 的定义和正态闭式解，然后给出 VaR 违反次可加性的完整反例，再证明 ES 满足全部相干性公理，最后讲清楚为什么即便如此，VaR 在实务里还留着一块地盘——而那块地盘同样是被”门槛以外”这件事决定的。

Expected Shortfall 的定义

设 $L$ 是组合在持有期内的损失，分布函数为 $F_L$，分位数函数为 $F_L^{-1}$。置信水平 $\alpha$ 下的 Value-at-Risk 就是损失分布的 $\alpha$ 分位数：

同一置信水平下的 Expected Shortfall，是损失已经超过 VaR 的条件下的期望损失：

换句话说，VaR 回答”最差情形从哪里开始”，ES 回答”最差情形平均有多差”。对连续分布，条件期望可以整理成分位数函数在尾部的平均（McNeil, Frey & Embrechts, 2015, §2.4）：

这个积分形式后面会反复用到——ES 的次可加性证明、估计量的方差，都从它出发。直观读法：$\alpha = 0.975$ 时，ES 是对最差 2.5% 的结果求平均；$\alpha = 0.99$ 时，对最差 1% 求平均。

还有一个把两者直接挂钩的等价形式：

第二项是超出门槛部分的平均超额，永远非负——所以 ES 不会小于 VaR，只有损失分布恰好在分位数处截断时才取等。这一项就是 VaR 扔掉、ES 捡回来的信息。

要感受两者差多少，正态分布是现成的算例。对 $L \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$，VaR 是

Expected Shortfall 是

其中 $\phi$ 是标准正态密度。记 $z_\alpha = \Phi^{-1}(\alpha)$、$\alpha_c = 1 - \alpha$，可以写成

$\alpha = 0.975$ 时，$z_\alpha \approx 1.96$，$\phi(1.96) \approx 0.0584$，所以 $\phi(z_\alpha)/\alpha_c \approx 0.0584/0.025 \approx 2.34$。一个均值为 0、$\sigma = 1\%$/天的损失，97.5% VaR 是 1.96%，97.5% ES 是 2.34%——大约多 19%。FRTB 选 97.5% ES 替代 99% VaR，部分原因正是在正态假设下两者量级接近，切换不会让资本要求跳变；但在肥尾分布下，同样置信水平的 ES 会比 VaR 拉开更大的差距——这正是想要的性质。

相干风险度量的公理

VaR 到底”错”在哪，需要一个判断标准。Artzner、Delbaen、Eber 和 Heath (1999) 给出了一组公理，满足全部四条的风险度量 $R$ 称为 coherent（相干）：

1. 平移不变性： 持有确定金额 $c$ 的现金缓冲，度量出的风险应该恰好减少 $c$：$R(L - c) = R(L) - c$。等价地，损失整体平移一个常数，风险同向平移同样的量。
2. 次可加性： $R(L_1 + L_2) \le R(L_1) + R(L_2)$。组合的风险最多等于各部分独立风险之和——分散化永远不应该增加度量出的风险。
3. 正齐次性： 对 $\lambda > 0$，$R(\lambda L) = \lambda R(L)$。仓位翻倍，风险翻倍。
4. 单调性： 如果 $L_1 \le L_2$ 处处成立，那么 $R(L_1) \le R(L_2)$。处处更糟的损失分布应该对应更高的风险。

这四条不是数学家的洁癖。每一条都对应组合经理日常会做的一个操作：加现金垫（平移不变性）、合并账本（次可加性）、调整杠杆（正齐次性）、比较两个头寸（单调性）。违反哪一条，度量就会在对应的操作上撒谎（Föllmer & Schied, Stochastic Finance, 2011, ch. 4）。VaR 违反的是第二条——恰好是设限额、算分散化收益时最依赖的那条。

为什么 VaR 不相干

先说直观，再给证明。VaR 只看尾部的门槛，门槛以外一概不看。两个组合可以 VaR 完全相同，最坏情况的损失却差出几个数量级。把它们合起来时，损失质量可以被相依结构推到门槛以外去堆积——单个组合的 VaR 都没动，合并后的 VaR 却被顶了上来。于是”合并后的风险大于部分之和”这种在相干度量下不可能的事，对 VaR 就是可构造的。

下面构造一个干净的反例。设 $L_1$、$L_2$ 是两个组合的损失。

$L_1$ 以 0.99 概率取 0，以 0.01 概率取 100。它的 99% 分位数是 0，所以 $\text{VaR}_{0.99}(L_1) = 0$。$L_2$ 分布完全相同，$\text{VaR}_{0.99}(L_2) = 0$。注意这两个组合各自的 VaR 已经把 1% 概率的 100 损失完全藏掉了——门槛以外的事，VaR 不记账。

相依结构是关键变量，先看一个”无害”的基准。假设 $L_1$ 和 $L_2$ 完全正相关——那 100 的亏损总在同一天出现。则 $L_1 + L_2 = 2L_1$，以 0.99 概率为 0、以 0.01 概率为 200，99% 分位数仍是 0。次可加性取等：$0 + 0 = 0$。到这里一切正常。

现在只改相依结构，不动边际分布。让 $L_1$ 和 $L_2$ 在一个公共 Bernoulli 冲击 $Z$ 下条件独立：$Z \sim \text{Bernoulli}(0.5)$，且

• $Z = 1$ 时：$L_1$ 以 0.98 概率为 0、0.02 概率为 100；$L_2$ 同分布，且给定 $Z$ 时与 $L_1$ 独立。
• $Z = 0$ 时：$L_1 = L_2 = 0$（确定）。

先核对边际没变：$P(L_1 = 100) = 0.5 \times 0.02 = 0.01$，所以 $L_1$、$L_2$ 的边际仍是 0.99 概率为 0、0.01 概率为 100，$\text{VaR}_{0.99}(L_1) = \text{VaR}_{0.99}(L_2) = 0$ 照旧。

但合并后的 $L_1 + L_2$ 支撑是 $\{0, 100, 200\}$，概率算出来是：

• $L_1 + L_2 = 0$：$0.5 + 0.5 \cdot 0.98^2 = 0.5 + 0.4802 = 0.9802$
• $L_1 + L_2 = 100$：$0.5 \cdot 2 \cdot 0.98 \cdot 0.02 = 0.0196$（一边失败，另一边没失败）
• $L_1 + L_2 = 200$：$0.5 \cdot 0.02^2 = 0.0002$（两边都失败）

99% 分位数是满足 $F(\ell) \ge 0.99$ 的最小 $\ell$。$F(0) = 0.9802 < 0.99$，$F(100) = 0.9998 \ge 0.99$，所以 $\text{VaR}_{0.99}(L_1 + L_2) = 100$。核对次可加性：

违反了。发生了什么？公共冲击把”至少一边出事”的概率从每边各自的 1% 抬到了 $0.5 \times (1 - 0.98^2) = 1.98\%$，刚好越过 1% 的门槛线——损失质量从”门槛以外”（VaR 看不见的地方）被推到了”门槛以内”（VaR 突然看见了）。边际尾部一点没变，两个组合各自报的风险都是零，合并后风险却凭空冒出来 100。

一个只用 VaR 记账的风险经理，在这种相依结构下会把两个组合的合并解读成”零分散化损失、零集中度问题”，因为两个零加起来还是零。反过来更糟：既然把损失藏到分位数以外可以让 VaR 归零，这个度量就在制度上奖励人为构造”平时极安静、出事极惨烈”的集中组合。卖深度虚值期权就是这种结构的市场化版本。

公平地说，这类违反需要刻意构造的相依结构。Danielsson、Jorgensen、Samorodnitsky 和 Sarma (2005) 论证过：对大多数实际遇到的肥尾分布，在足够深的尾部 VaR 实际上是次可加的，违例是特例而非常态。但监管资本的逻辑恰恰是防特例——度量的漏洞只要存在且可构造，就会有人去构造它。

为什么 ES 是相干的

ES 把门槛以外的损失全部平均进来，上面那套把戏对它不起作用——把损失推到分位数以外，ES 反而变大。这个直觉可以严格化：ES 满足全部四条公理（Föllmer & Schied, 2011, ch. 4）。

平移不变性和正齐次性直接从积分表示 $\text{ES}_\alpha(L) = \frac{1}{\alpha_c} \int_\alpha^1 F_L^{-1}(u)\, du$ 读出来：损失平移一个常数，每个分位数平移同一个常数；损失乘 $\lambda$，每个分位数乘 $\lambda$。单调性同理：$L_1 \le L_2$ 处处成立时，对所有 $u$ 都有 $F_{L_1}^{-1}(u) \le F_{L_2}^{-1}(u)$，逐点比较积分即得。

非平凡的是次可加性，证明走对偶表示：

其中 $\mathcal{Q}$ 是关于物理测度绝对连续、Radon–Nikodym 导数被 $1/\alpha_c$ 约束住的概率测度集合。直观读法：ES 等于”在所有把尾部概率至多放大 $1/\alpha_c$ 倍的悲观测度里，取期望损失最大的那个”。有了这个表示，次可加性一步就出来了——对任意 $Q$，$\mathbb{E}_Q[L_1 + L_2] = \mathbb{E}_Q[L_1] + \mathbb{E}_Q[L_2] \le \text{ES}_\alpha(L_1) + \text{ES}_\alpha(L_2)$，再对左边取上确界即可。线性泛函族的上确界天然次可加，而 VaR 作为单点分位数不具备这种表示。顺带一提，ES 属于失真风险度量（distortion risk measure）家族，这类度量与 Yaari (1987) 的对偶选择理论是同一套数学——次可加性对应失真函数的凹性。

相干性的账单：ES 在实务中的代价

如果 ES 在数学上全面占优，为什么 VaR 还能垄断二十年？答案还是那句话：门槛以外的信息不是免费的。ES 比 VaR 多看的那部分尾部，估计起来要用真金白银的数据去买。

VaR 可以通过把 1000 个历史损失排个序直接读出来。ES 要求估计尾部条件期望——$\alpha = 0.99$、1000 个观测时，“最差 1%“只有 10 个点，你在用 10 个数的平均去代表整个尾部。ES 估计量的渐近方差大致是（McNeil, Frey & Embrechts, 2015, §2 的估计理论）：

$1/(1-\alpha)$ 这个因子意味着置信水平越高、有效样本越少、方差越爆炸：$\alpha = 0.99$ 的 ES 估计方差比 $\alpha = 0.5$ 差两个数量级。想在高置信水平下把 ES 估稳，要么堆几万个观测，要么上参数化的尾部模型（EVT 那篇讲的就是这条路）。

数据饥渴直接连累第二个麻烦：回测。VaR 的回测有干净的零假设——实际损失超过预测 VaR 的频率对不对，Kupiec 检验数一数例外就行（回测那篇细讲）。ES 的等价检验要问”最差 $1-\alpha$ 那部分的平均损失是否等于预测的 ES”，而条件事件本身依赖于被检验的 VaR 预测值，检验对象和条件纠缠在一起。到目前为止，监管层面没有公认统一的 ES 回测方案——FRTB 的实际做法是绕开这个难题，继续对 VaR 例外计数（红绿灯框架），用 VaR 回测来间接约束 ES 模型。

最后是可解释性，这一条经常被低估。VaR 是一个门槛，“我们的 99% VaR 是 1000 万”任何委员会成员都听得懂。“我们的 99% ES 是 1400 万”需要先解释什么叫尾部条件均值。跟非量化背景的管理层和董事会打交道时，这个差别每天都在起作用。

差距具体有多大，跑一下就知道：

import numpy as np
from scipy import stats

# 比较样本损失分布下的 VaR 和 ES
np.random.seed(7)
losses = -np.random.normal(0.001, 0.02, size=10_000)   # 负收益代表损失

alpha = 0.99
var_99 = np.quantile(losses, alpha)
es_99 = losses[losses > var_99].mean()

print(f"99% VaR: {var_99:.5f}")
print(f"99% ES:  {es_99:.5f}")
print(f"Ratio ES/VaR: {es_99/var_99:.3f}")

对高斯损失，ES/VaR 的比值收敛于 $\phi(z_\alpha)/[(1-\alpha) z_\alpha]$，$\alpha = 0.99$ 时约 1.15。肥尾分布下这个比值会更大——尾部越厚，VaR 漏掉的越多，ES 补回来的也越多。

ES 没解决的问题，以及两者各自的位置

相干性修好了”门槛以外”这一个缺陷，但风险度量还有别的失效模式，ES 一个都没碰。VaR 和 ES 都默认持有期固定、组合能按盯市价平仓——危机里这两条都不成立，流动性调整是另一套扩展（LA-VaR 那篇）。两者也共享模型错误风险：损失分布设定错了，VaR 和 ES 一起错，你模型里的最差 1% 若不是现实中的最差 1%，相干性救不了你。跨期聚合同样没有免费答案——时间平方根规则 $\text{ES}_{10} = \text{ES}_1 \sqrt{10}$ 只在 iid 正态损失下成立，一般情形依赖跨天联合分布。还有一条要向每个使用者反复讲清：ES 是尾部的平均，不是损失上界。99% ES 等于 1000 万，意味着最差 1% 的日子平均亏 1000 万，其中一定有日子亏得远比这多。

把这些账都算完，两个度量的分工其实已经清楚了。资本分配、集中度限额、任何涉及”合并之后风险怎么算”的决策，用 ES——它惩罚藏在肥尾里的集中度，公理与组合决策的逻辑对得上，也是现行监管基准。日常报告和审计留给 VaR——“昨天突破没有”数一下就知道，而 ES 的等价审计在统计上精细得多。大部分成熟的风险系统两个都算，各干各的活。

判断一个风险报告值不值得信，有个省事的探针：对方报出”1 天 99% VaR 500 万”时，追问一句 99% ES 是多少、条件尾部均值是怎么估的。答得上来，说明尾部真的被看过；答不上来，说明估计的只是门槛的位置——门槛以外那片 VaR 看不见的地方，同样没人看过。

参考文献

Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., & Heath, D. (1999). Coherent measures of risk. Mathematical Finance, 9(3), 203-228.

Basel Committee on Banking Supervision. Minimum Capital Requirements for Market Risk. 2016（2019 年修订）.

Danielsson, J., Jorgensen, B. N., Samorodnitsky, G., & Sarma, M. (2005). Subadditivity re-examined: the case for Value-at-Risk. FMG Discussion Papers.

Föllmer, H., & Schied, A. (2011). Stochastic Finance (3rd ed.). De Gruyter.

McNeil, A. J., Frey, R., & Embrechts, P. (2015). Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools (rev. ed.). Princeton University Press. Chs. 2, 4.

Yaari, M. E. (1987). The dual theory of choice under risk. Econometrica, 55(1), 95-115.