Ornstein-Uhlenbeck 过程：把均值回归做对

几何布朗运动对股票很棒，但金融中有大量东西不是几何的。相关性资产的价差回归均值。利率均值回归。波动率聚集在长期水平附近。库存头寸被拉回目标。所有这些对的工具是 Ornstein-Uhlenbeck 过程。

OU 过程是 AR(1) 过程的连续时间极限。它是最简单的均值回归扩散。它有平稳分布、高斯转移律、闭式解。它也是 Vasicek 利率模型的基础，我们下一篇文章会涵盖。

这篇文章会走过 SDE，显式求解，推导半衰期公式，并展示怎么校准到数据上。如果你跑过配对交易，你隐式地用过 OU。

SDE

Ornstein-Uhlenbeck 过程 $X_t$ 满足

三个参数：$\kappa > 0$ 是均值回归速度，$\theta$ 是长期均值，$\sigma > 0$ 是波动率。漂移 $\kappa(\theta - X_t)$ 以速率 $\kappa$ 把 $X_t$ 拉回 $\theta$，远离时拉得快，接近时拉得慢。扩散 $\sigma$ 是常数，不随 $X_t$ 成比例（那是另一种不同的东西）。

对比 GBM：$dS_t = \mu S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t$。GBM 中的漂移与 $S_t$ 成比例，所以过程非平稳（无界增长）。OU 中的漂移有反向项 $\theta - X_t$，产生恢复力，得到平稳性。OU 中的扩散是常数，所以 $X_t$ 不会爆炸。恢复性漂移加常数扩散的组合让 OU 如此有用。

如果 $\kappa = 0$，方程化简为 $dX_t = \sigma \, dW_t$，即布朗运动（非平稳）。如果 $\kappa$ 大，均值回归强，$X_t$ 紧贴 $\theta$。无量纲量 $\kappa$ 相对于 $\sigma^2$ 控制行为。

显式解

OU 过程是少数有闭式解的非平凡 SDE 之一。对 $e^{\kappa t} X_t$ 应用 Itô 引理：

从 0 积分到 $t$：

解出 $X_t$：

这是显式的 OU 路径。三块：长期均值 $\theta$、初始条件衰减 $(X_0 - \theta) e^{-\kappa t}$、对布朗运动的随机卷积。卷积是均值为零、方差为 $\sigma^2 (1 - e^{-2\kappa t}) / (2\kappa)$ 的高斯随机变量。

因此，条件于 $X_0$，$X_t$ 的分布是高斯的：

均值以速率 $\kappa$ 回归 $\theta$。方差收敛到 $\sigma^2 / (2\kappa)$，即平稳方差。

平稳分布

当 $t \to \infty$，$X_0$ 的影响消失（$e^{-\kappa t}$ 项趋于零）。$X_t$ 的分布收敛到

这就是 OU 过程的平稳分布。它是均值 $\theta$、方差 $\sigma^2 / (2\kappa)$ 的高斯。过程不会爆炸；不会漂走；永远围绕 $\theta$ 起伏，波动幅度正比于 $\sigma / \sqrt{2\kappa}$。

两个重要推论：

• 无条件均值是 $\theta$。无条件方差是 $\sigma^2 / (2\kappa)$。
• $\kappa$ 更高（更快回归）或 $\sigma$ 更低（更少噪声）意味着更小的平稳方差。过程更紧地贴着均值。

当你听到”均值回归 $\theta$，波动率 $\sigma$“，你应该想到的正是这个平稳分布。它是过程的均衡态。

半衰期

OU 过程最有用的汇总统计量是均值回归的半衰期。由显式解可知，对均值的偏离是 $|X_0 - \theta| e^{-\kappa t}$。半衰期就是这个偏离减半所需的时间：

所以如果 $\kappa = 0.5$（年化），半衰期大约 1.4 年。如果 $\kappa = 2$（年化），大约 0.35 年。回归越快，半衰期越短。

半衰期是交易者在说”这对配对 30 天内回归”或”利率的 5 年半衰期”时引用的数字。它比 $\kappa$ 更可解释，因为它直接对应时间。它也给你一条经验法则：如果你看到一个偏离已经持续了好几个半衰期，“均值回归交易”很可能已经失败。

一个常见陷阱：$\kappa$ 很小（半衰期很长）的 OU 过程在短期内看起来像随机游走。30 天之内，半衰期 250 天的 OU 朝均值的移动微乎其微。如果你的回看期短而半衰期长，你分不清看到的是均值回归还是只是噪声。

Fokker-Planck 方程

OU 过程有上面给出的高斯转移密度。密度 $p(x, t)$ 随时间的演化受 Fokker-Planck 方程支配：

第一项是漂移贡献（概率流向 $\theta$）。第二项是扩散贡献（概率扩散开来）。在平稳时 $\partial p / \partial t = 0$，上面的高斯就是解。

对 Monte Carlo，你不需要直接用 Fokker-Planck 方程。但它对理解分布如何演化、对验证模拟结果有用。对非 OU 过程（跳跃扩散、Lévy），Fokker-Planck 方程推广为偏积分微分方程。

对数据校准

假设你在等距时刻 $\Delta t$ 观察到时间序列 $X_0, X_1, \ldots, X_n$。你想估计 $\kappa$、$\theta$、$\sigma$。

OU 的离散时间类比是 AR(1) 过程：

到连续时间参数的关系是：

所以你可以用 OLS 回归估计 $a$、$b$、$s^2$，然后反推 $\kappa$、$\theta$、$\sigma$：

这是标准校准。它很快（一次 OLS），并在高斯噪声下给出最大似然估计。

一些实战注意事项：

• 用序列的自相关来抽查 $\kappa$。OU 离散化序列的滞后 1 自相关是 $\hat{b} = e^{-\kappa \Delta t}$。如果你看到滞后 1 自相关接近 1，$\kappa$ 很小。
• 对慢回归（$\kappa \Delta t \ll 1$），$b$ 的 OLS 估计接近 1，$\hat{b}$ 的小偏差会被 $-\log / \Delta t$ 变换放大。要小心。
• 对快回归（$\kappa \Delta t \gg 1$），离散序列几乎独立。半衰期比采样间隔短，你不能可靠地估计 $\kappa$。你需要更高频的数据。

import numpy as np
from scipy import stats

def calibrate_ou(x, dt):
    """Calibrate OU parameters from a time series."""
    x_lag = x[:-1]
    x_now = x[1:]
    slope, intercept, r_value, _, _ = stats.linregress(x_lag, x_now)
    b = slope
    a = intercept
    resid = x_now - (a + b * x_lag)
    s2 = resid.var(ddof=2)
    kappa = -np.log(b) / dt
    theta = a / (1 - b)
    sigma = np.sqrt(s2 * 2 * kappa / (1 - b**2))
    half_life = np.log(2) / kappa
    return kappa, theta, sigma, half_life

这是典型的估计器。在模拟序列上跑它验证它能恢复已知参数。在真实数据上跑它来得到校准的 $\kappa$、$\theta$、$\sigma$ 和半衰期。

配对交易

OU 的经典量化用法是配对交易。找到两个协积资产 $X$ 和 $Y$。计算价差 $S_t = X_t - \beta Y_t$，其中 $\beta$ 是协积系数。把 $S_t$ 建模为 OU。当 $S_t$ 偏离 $\theta$ 时，赌回归：做多 $X$，做空 $\beta$ 单位的 $Y$。

OU 参数决定交易。半衰期告诉你预期的持有期。平稳方差告诉你均值回归运动的典型大小。当前对 $\theta$ 的偏离，用平稳标准差为单位度量，就是 z-score。只有当 z-score 极端时才交易（比如 $\pm 2$）。

配对交易的回测需要用校准的参数模拟 OU 路径。OU 假设不可省：没有均值回归，策略没有期望收益，只有回撤。

Vasicek 联系

OU 过程是 Vasicek 短期利率模型的构造块：

短期利率 $r_t$ 服从 OU。它可以变负（对大多数货币来说经验上错误，但数学上干净）。Vasicek 下的债券定价公式是闭式的，用到 OU 转移密度。下一篇会详细讲。

OU 也支撑着远期波动率的 Bergomi 模型、随机波动率的 Schöbel-Zhu 模型，以及许多商品价差方面的从业者模型。同一 SDE，穿上不同状态变量的外衣，适合不同市场。

实战中的半衰期

均值回归的半衰期是做均值回归策略的量化最有用的单一数字。三条经验法则：

1. 长半衰期（年）。 慢回归。仓位应该小，因为每次移动相对偏离来说小。持有期长。融资成本重要。
2. 中等半衰期（周到月）。 很多配对交易的甜蜜点。移动有意义，持有期可控，融资成本可承受。
3. 短半衰期（天）。 快回归。仓位可以大。融资成本低。但模型对微观结构更敏感（买卖价差抖动、离散价格）。

如果你校准出 30 天的半衰期，你的策略应该平均持有大约那么久。如果你持有 5 天，你是在回归发生前就退出了。如果你持有 200 天，你早就过了典型均值回归时间，暴露在模型误设之下。

失败模式

OU 是线性、高斯模型。它在以下情况下失败：

• 过程是非线性的。 漂移以非仿射方式依赖于 $X$。解决方案：用不同的 SDE（CIR、CEV、跳跃扩散）。
• 过程有跳跃。 违反连续性的离散冲击。解决方案：跳跃扩散。
• 体制切换。 参数本身随时间变化。解决方案：隐马尔可夫模型或分段 OU。
• 序列非平稳。 均值或方差漂移。解决方案：差分序列或用别的模型。

实际中，金融中很多”OU”序列其实不是 OU。它们在短窗口看起来像 OU，但参数在更长窗口上漂移。谨慎校准，频繁重新估计。

需要带走的要点

Ornstein-Uhlenbeck 过程是最简单的均值回归扩散。它的 SDE 是 $dX_t = \kappa(\theta - X_t) \, dt + \sigma \, dW_t$，有闭式转移密度和平稳分布。半衰期 $\log 2 / \kappa$ 是最有用的汇总统计量。

对价差、利率、以及任何围绕长期水平波动的序列用 OU。通过对 AR(1) 离散化做 OLS 来校准。当偏离用平稳标准差度量很大时交易，并在大约半衰期时退出。模型简单、稳健、应用广泛。

参考文献：Øksendal (2003)，第 5.2 节；Glasserman (2004)，第 3.4 节（Cox-Ingersoll-Ross 推广）；Hull (2018)，第 31 章（利率中的均值回归）；Luenberger (1998)，第 11 章。ISBN：978-0-19-510809-5。原来的 OU 过程是 1930 年 Leonard Ornstein 和 George Uhlenbeck 作为带摩擦的布朗运动模型提出的。它是最古老的连续时间随机过程之一，至今仍是最有用的之一。

Vasicek 桥梁

OU 过程是让 Vasicek 短期利率模型可处理的原因。如果 $r_t$ 是 OU，那么对任何期限 $T > t$，条件于 $r_t$，$r_T$ 的分布是高斯，且均值、方差显式：

这是唯一一个有闭式债券价格的高斯短期利率模型。债券价格 $P(t, T)$ 是贴现因子 $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\exp(-\int_t^T r_u \, du) | r_t]$，OU 过程的积分是正态分布的（高斯过程的线性泛函还是高斯的）。所以我们能闭式计算期望。Vasicek 债券价格公式是

其中

且 $A(t, T)$ 涉及均值回归漂移的积分。关键事实：债券价格对 $r_t$ 是仿射的。这就是仿射期限结构模型的定义性质。

下一篇文章详细涵盖 Vasicek 及其扩展 Cox-Ingersoll-Ross 模型。

协积与 Engle-Granger 两步法

配对交易中，我们通常假设两个资产 $X$ 和 $Y$ 协积：存在线性组合 $\beta$ 使得 $S_t = X_t - \beta Y_t$ 平稳。Engle-Granger 步骤：

1. 把 $X_t$ 对 $Y_t$ 回归（带截距）：$X_t = \alpha + \beta Y_t + \epsilon_t$。得到残差 $\hat{\epsilon}_t$。
2. 用 Augmented Dickey-Fuller 检验残差的平稳性。
3. 如果平稳，把 $\hat{\epsilon}_t$ 建模为 OU 并继续。

第 1 步中的系数 $\hat{\beta}$ 是协积向量。OU 校准给出的半衰期告诉你回归速度。$\hat{\epsilon}_t$ 的当前值是对均衡的偏离；其 z-score（相对于平稳标准差）是交易信号。

一个常见陷阱：回归的 $\beta$ 是拟合到历史数据的。如果 $X$ 和 $Y$ 之间的关系不稳定，$\beta$ 漂移，你的价差是被误设的。频繁重新估计 $\beta$（滚动窗口），或者用更复杂的方法比如多协积资产的 Johansen 步骤。

半衰期估计对回看窗口敏感。窗口长给出稳定估计，但可能包含关系不同的时期。窗口短反应快但噪声大。没有完美答案。大多数配对交易者用 60 到 250 个交易日之间的窗口。

关于均值回归速度的注记

参数 $\kappa$ 单位是时间的倒数。如果你对每日数据拟合 OU 得到 $\hat{\kappa} = 0.005$，半衰期大约 139 天。但如果你对周数据拟合，你会得到不同的数字，因为 OLS 估计器依赖于采样间隔。具体说，采样间隔 $\Delta t$ 下的滞后 1 自相关是 $e^{-\kappa \Delta t}$，所以估计器通过 $-\log(\hat{b})/\Delta t$ 恢复 $\kappa$。不同 $\Delta t$ 意味着不同 $\hat{b}$，于是不同 $\hat{\kappa}$。

这不是 bug。它反映了连续时间参数尺度不变，而离散估计依赖于采样频率的事实。正确答案是：在你问题自然的单位中校准 $\kappa$，然后把半衰期转换为同一单位。

实际中，多数量化按年表示 $\kappa$，半衰期按年。所以 $\hat{\kappa} = 0.5$ 对应 $0.693/0.5 = 1.39$ 年的半衰期。

为什么不直接用高阶 AR 模型？

OU 在连续时间是 AR(1)。你可以想象把 AR(2) 或 AR(p) 拟合到均值回归序列。好处是更灵活；坏处是没有闭式 SDE。对交易来说，OU 的简单性很难超越。大多数均值回归策略可以用 OU 参数表达。

如果序列有复杂自相关结构（振荡、多时间尺度），AR(2) 或体制切换模型可能合理。但你应该总是从 OU 开始，只在有明确误设证据时才让模型复杂化。简洁原则适用。

Ornstein-Uhlenbeck 桥梁：一个优美的恒等式

OU 过程和布朗运动之间有一个干净的联系。具体说，OU 桥梁，即条件于固定终端值 $X_T = x_T$ 的 OU 过程，有显式转移律。它是布朗桥梁（本身是带线性均值和二次方差的高斯过程）加上均值回归漂移的修正。

当你需要条件于终端事件时，这对 Monte Carlo 模拟有用。你不必模拟许多完整路径然后拒绝那些不在 $x_T$ 终止的，可以直接模拟桥梁。它更快、方差更低。

公式：条件于 $X_0 = x_0$ 和 $X_T = x_T$，OU 桥梁在时刻 $s \in (0, T]$ 满足

其中 $\mu_s$ 和 $\sigma_s^2$ 是 $x_0$、$x_T$、$\kappa$、$\theta$、$\sigma$ 的显式函数。表达式通过对高斯转移律用两次并用马尔可夫性质推导得到。

对带终端条件的路径依赖期权定价（比如收益依赖未来某时刻价格的 forward-start 期权），桥梁表示让你只模拟相关的增量。

闲话：OU 与爱因斯坦

OU 过程有物理诠释。带摩擦的布朗运动。爱因斯坦 1905 年关于布朗运动的论文给出扩散方程。Ornstein 和 Uhlenbeck 在速度上加上摩擦项 $-\kappa v$，产生平稳速度分布（Maxwell-Boltzmann）。同一 SDE 在物理上出现在任何由噪声驱动的阻尼简谐振子上。

金融中，摩擦就是均值回归。一个围绕长期均值上下波动的序列像势井中带摩擦的粒子。平稳分布是势井的玻尔兹曼分布。

这个物理类比对直觉偶尔有用，但主要在审美上。数学哪边都一样。

最后的忠告：一个交易配方

如果你在用 OU 交易均值回归序列：

1. 在近期数据的滚动窗口上校准 $\kappa$、$\theta$、$\sigma$。
2. 计算半衰期 $t_{1/2} = \log 2 / \kappa$。
3. 计算当前 z-score $z = (X_t - \theta) / \sqrt{\sigma^2 / (2\kappa)}$。
4. 当 $|z| > z_{\text{threshold}}$（比如 2）时建仓。
5. 当 $z$ 跨过零时退出（均值回归达成），或者经过 $k \cdot t_{1/2}$ 时退出（时间止损）。
6. 仓位大小反比于 $t_{1/2}$（半衰期长意味着仓位小，因为每次移动慢）。

这是典型配方。它不是交易 OU 的唯一方式，但最常见。在模拟路径上回测以估计期望盈亏，然后用真实数据在风险限额内交易。优势一半来自模型，另一半来自纪律化执行。模型就是我们这里覆盖的。执行就在你身上。