夏普比率：从头推导

每个量化研究员都知道这个公式。但大多数人推不出标准误，解释不了为什么几何均值夏普和算术均值夏普不同，也说不清自己报告的“夏普 2.3”为什么可能被高估了 15%。这篇文章把整件事推一遍。

我们从一组收益率开始，逐步构造夏普比率；然后在非正态条件下推导它的期望和方差，处理偏差修正，最后说明年化的依据。看完后，你会知道公式里的每一项对应什么，也会明白报告夏普为 1.5，不等于真实夏普就是 1.5。

定义

设 $r_t$ 是时点 $t$ 的简单收益率，$t = 1, \ldots, T$。算术平均收益率为：

样本标准差为：

按照 William Sharpe 最初在 1966 年给出的定义，夏普比率是：

公式就这么多。两个数相除。本文剩下的内容，讲的是你从有限样本中取出这两个数并据此下结论时，会出什么问题。

算术均值与几何均值：容易被忘掉的那一项

大多数实现使用算术平均收益率。几何平均收益率，也就是能正确反映复利的那个收益率，是：

在收益率和方差都较小时，这个近似成立。第二项 $\hat{\sigma}^2/2$ 是方差拖累。对年化波动率为 10% 的策略来说，拖累是 $0.10^2/2 = 0.005$，也就是每年 50 个基点。对波动率为 20% 的策略来说，拖累就是 200 个基点。这就是把均值估错的代价。

如果你用算术均值计算夏普，就等于把几何均值里的方差拖累算到了自己头上。这是行业里的标准做法，但严格说并不诚实。更诚实的计算方式是使用几何均值，得到复合意义下的夏普比率：

对高波动策略来说，算术夏普和几何夏普之间的差距并不小。年化波动率为 30% 时，算术夏普 2.0 会变成几何夏普 1.85。大多数报告系统会把这点藏起来。López de Prado 的 Advances in Financial Machine Learning（2018，第 14 章，ISBN 978-1-119-48208-6）在策略报告的语境下讨论了这一点。

夏普估计量的期望值

假设收益率是独立同分布的，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$，偏度为 $\gamma_3$，超额峰度为 $\gamma_4$。样本均值 $\bar{r}$ 是无偏的：$E[\bar{r}] = \mu$。样本方差 $s^2 = \frac{1}{T-1}\sum (r_t - \bar{r})^2$ 也是无偏的：$E[s^2] = \sigma^2$。

但比值 $\bar{r}/s$ 有偏。原因在于 $s$ 是对 $\sigma$ 的含噪估计，而比值的分布并不等于期望值的比值。

用 delta method 在 $\mu/\sigma$ 附近展开 $\bar{r}/s$，可以推导这个偏差。定义 $g(\bar{r}, s) = \bar{r}/s$。在 $(\mu, \sigma)$ 附近做一阶泰勒展开：

取期望：

第一个期望为零。第二个是 $E[s] - \sigma$。由于小样本下 $s$ 向下有偏（卡方分布平方根的期望会向下偏），这个值为负。保留首阶项：

所以 $E[s - \sigma] \approx -\sigma/(4T)$。代入后：

偏差为正，而且与 $1/T$ 成正比。对 $T = 252$（一年的日频数据）来说，偏差大约是 $1/(4 \cdot 252) \approx 0.001$，也就是相对真实夏普的 0.1%。对 $T = 60$（一年的周频数据）来说，偏差是 $1/240 \approx 0.004$，也就是 0.4%。对很短的样本，这个偏差还会和多重检验偏差（见“去膨胀夏普比率”一文）以及自相关偏差（见“Haircut Sharpe”一文）叠加。

夏普估计量的方差

在原假设 $\mu = 0$ 下，$\widehat{SR}$ 的方差是检验夏普比率的基础。还是从刚才的泰勒展开出发，但这次计算二阶矩：

对独立同分布的收益率，有 $\text{Var}(\bar{r}) = \sigma^2 / T$、$\text{Var}(s) \approx \sigma^2 / (2T)$，并且 $\text{Cov}(\bar{r}, s) \approx 0$（保留首阶项）。因此：

当 $SR$ 较小时，方差约等于 $1/T$。这是教材里的结果：在零均值原假设下，样本夏普的方差是 $1/T$，标准误是 $1/\sqrt{T}$。

但这个结果只对高斯收益率成立。加入偏度和超额峰度后，方差会多出一些项。包含非正态修正的完整公式是：

这是 Bailey 和 López de Prado（2014）在《The Deflated Sharpe Ratio: Correcting for Selection Bias, Non-Normality, and Multiple Testing》中给出的公式，López de Prado 也在 Advances in Financial Machine Learning（2018，第 14.7.2 节）中重现了它。

非正态修正不能忽略。偏度为负的策略（空波动率策略通常如此），其夏普方差会大于均值和标准差相同的高斯策略。直觉上，这是因为少数几个巨大的负收益给均值估计带来的噪声，比标准差能够抵消的更多。一个偏度 $\gamma_3 = -1$、夏普为 1 的典型空波动率策略，其夏普方差大约是参数相同的高斯策略的 1.5 倍。

Lo 的偏差修正

Andrew Lo（2002）在《The Statistics of Sharpe Ratios》中推导了一个更精细的偏差修正，它还考虑了收益率的自相关。修正后的夏普比率为：

等等。Lo（2002）更常被引用的修正其实简单一些：它调整夏普比率的标准误，以反映序列相关性。不过，他推导的夏普比率本身的偏差修正大致是：

其中 $\rho_1$ 是收益率的一阶自相关。第一项是标准的小样本偏差。第二项来自正自相关：正自相关会降低有效样本量，从而抬高夏普比率。“Haircut Sharpe”一文会详细推导这一点。

夏普比率的年化

年化公式很简单，但实际中经常用错。如果收益率的观测频率是 $f$（日频取 $f = 252$，周频取 $f = 52$，月频取 $f = 12$），年化夏普为：

依据是：方差随时间线性增长，标准差按 $\sqrt{T}$ 增长，而夏普是均值除以标准差。如果把时间放大 $f$ 倍，方差放大 $f$ 倍，标准差放大 $\sqrt{f}$ 倍，夏普也就放大 $\sqrt{f}$ 倍。

但这假设各期收益率相互独立。对股票策略的月度收益率来说，这个假设大致合理。对有明显自相关的日收益率来说，假设就不成立了。对强均值回归的高频收益率来说，偏差会很严重。

还有一个问题是该用什么频率。用 $\sqrt{252}$ 把日频夏普年化是惯例，但这样会掩盖样本偏差。5 年的日频回测有 $T = 1260$，偏差为 $1/(4 \cdot 1260) \approx 0.0002$。5 年的月频回测有 $T = 60$，偏差为 $1/240 \approx 0.004$。后者的偏差大 20 倍。标准误也不同：日频夏普为 0.1 时，标准误是 $1/\sqrt{1260} \approx 0.028$；月频夏普为 0.1（用 $\sqrt{12} \approx 0.346$ 年化）时，标准误是 $\sqrt{12}/\sqrt{60} \approx 0.346$。

实际含义很直接：能用日频数据就用日频数据。偏差更小，标准误更小，抽样分布也更接近高斯分布（中心极限定理）。

一个完整例子

考虑一个有 5 年日频收益率的策略（$T = 1260$），日均收益率 $\mu = 0.0005$，日标准差 $\sigma = 0.01$，没有偏度、超额峰度和自相关。样本夏普为：

年化后：$\widehat{SR}_{annual} = 0.05 \cdot \sqrt{252} \approx 0.794$。

零值原假设下的标准误：$1/\sqrt{1260} \approx 0.028$（日频）。年化后：$0.028 \cdot \sqrt{252} \approx 0.446$。

所以，真实年化夏普的 95% 置信区间大约是 $0.794 \pm 1.96 \cdot 0.446 = [-0.08, 1.67]$。

这个区间包含零，也包含 1.0，还包含“你根本没有优势”这种可能性。如果在 0.79 的夏普旁边加一颗星号，就会误导读者。

import numpy as np

T = 1260
mu, sigma = 0.0005, 0.01
sr_daily = mu / sigma
sr_annual = sr_daily * np.sqrt(252)
se_daily = 1.0 / np.sqrt(T)
se_annual = se_daily * np.sqrt(252)

print(f"Daily Sharpe: {sr_daily:.4f}")
print(f"Annual Sharpe: {sr_annual:.4f}")
print(f"95% CI (annual): [{sr_annual - 1.96*se_annual:.3f}, {sr_annual + 1.96*se_annual:.3f}]")

5 年回测得到 0.79 的夏普，看起来还不错。但置信区间才说明了真实情况。这也是为什么下一篇文章介绍的概率夏普比率（PSR），比单独报告一个夏普更适合总结回测结果。

报告夏普时，这些信息都要给

如果你报告夏普比率，至少还应报告：

1. 样本量 $T$ 和收益率频率。
2. 偏差修正方法（Lo 或 AFML 公式）。
3. 考虑非正态性的标准误（使用 $\gamma_3$ 和 $\gamma_4$）。
4. 置信区间，而不只是点估计。
5. 使用的是算术均值还是几何均值。

没有置信区间的“夏普 2.0”不算信息，只算营销。这个模块的下一篇文章会推导概率夏普比率，它用一个数字概括：相对于某个基准，你应该对报告出来的夏普有多大把握。

信息比率是一个特例

信息比率（IR）就是把夏普比率应用到主动收益率上，也就是组合相对于基准的收益率：

推导过程完全一样。只需要把 $\mu$ 替换成平均主动收益率，把 $\sigma$ 替换成主动收益率的标准差，偏差、方差和标准误公式都可以直接使用。

假设一个组合的跟踪误差为 5%，主动收益为 3%，则 IR 为 0.6。高斯假设下，标准误约为 $1/\sqrt{T}$（IR 与收益率使用相同频率）。如果 5 年的月度主动收益率有 $T = 60$ 个样本，标准误为 $1/\sqrt{60} = 0.129$。95% 置信区间为 $0.6 \pm 1.96 \cdot 0.129 = [0.35, 0.85]$。

IR 和夏普一样，也有多重检验问题。搜索很多主动策略后，总会有一个策略碰巧得到很高的 IR。去膨胀信息比率（与 DSR 对应）就是用来修正这个问题的。

稳定帕累托分布下的夏普比率

大多数金融收益率序列都有厚尾。高斯假设用起来方便，但通常不完全正确。稳定帕累托分布（或 $\alpha$-stable 分布）是它的一种推广，可以包含厚尾情形。

对特征指数为 $\alpha$ 的 $\alpha$-stable 分布（$\alpha = 2$ 时是高斯分布，$\alpha < 2$ 时有厚尾），夏普比率仍然定义为 $E[r]/\sigma[r]$，但标准误公式会改变。

当 $\alpha < 2$ 时，方差可能是无穷的（事实上只要 $\alpha < 2$ 就可能如此）。夏普比率仍然可以定义，但基于方差的标准误会失效。替代做法是使用稳定分布的尺度参数。

实际回测大多假设收益率服从高斯分布或接近高斯分布，然后使用基于方差的夏普。这在尾部厚度中等时大致可行。对尾部风险极端的策略（例如危机期间的空波动率策略），高斯近似就很差。

不同收益率定义下的夏普比率

收益率的定义会影响夏普比率。常见定义包括：

简单收益率：$r_t = (P_t - P_{t-1}) / P_{t-1}$。大多数股票策略都用它。

对数收益率：$r_t = \log(P_t / P_{t-1})$。理论推导常用它；收益率较小时，它和简单收益率近似相等。

超额收益率：$r_t = R_t - R_f$。用于相对于无风险利率评估策略。

主动收益率：$r_t = R_t - R_b$。用于相对于基准评估主动组合管理。

在小收益率条件下（比如 $|r_t| < 5\%$），这四种定义得到的夏普比率都相近。对大收益率（加密货币、杠杆 ETF、杠杆外汇）来说，差异就不能忽略了。

对数收益率的聚合性质更好：对数收益率可以沿时间相加，简单收益率不行。计算多期收益率的夏普时，更适合使用对数收益率。

作为频率学派估计量的夏普比率

夏普比率估计量是数据的一个函数。在假设的数据生成过程中，它有自己的抽样分布。上面推导出的偏差、方差和渐近正态性，都是这个估计量的性质。

贝叶斯方法会把夏普比率当成一个带有先验分布的参数，再用数据更新先验，得到后验分布。频率学派的夏普比率估计量，可以看成平坦先验下的后验均值。

对夏普比率来说，选择频率学派还是贝叶斯视角，主要是哲学上的选择。两者会给出相近的点估计，但量化不确定性的方式不同：置信区间、可信区间，或者超过某个基准的后验概率。

对大多数量化研究场景，频率学派框架已经够用。如果你对策略类别有很强的先验信息，贝叶斯框架会更有用。比如：“我们所有的动量策略，夏普都在 [0.3, 1.5] 之间。”

对夏普比率的批评

人们对夏普比率有几类批评：

批评 1：会惩罚上行波动。 夏普比率把上行和下行波动一视同仁。一个正收益很大、负收益很小的策略，可能比均值相同但绝对波动更小的策略得到更低的夏普。Sortino 比率使用下行偏差，可以处理这个问题。

批评 2：忽略路径依赖。 一个收益稳定的策略，和一个中间波动很大但最终复合到相同终点的策略，可能有相同的夏普。Calmar 比率使用最大回撤，可以补充这一点。

批评 3：对异常值不稳健。 一个极端收益就可能主导夏普比率的计算。稳健估计量，例如中位数绝对偏差和缩尾标准差，可以缓解这个问题。

批评 4：非平稳时会出现病态行为。 如果收益率分布随时间变化，一个总体夏普就会产生误导。滚动夏普可以处理这个问题。

这些批评在特定场景下都成立。对平稳、近似对称的收益率分布，夏普是一个有用的总结统计量。对非平稳或不对称的分布，还应同时看其他指标，比如 Sortino、Calmar 和条件夏普。

夏普比率与资本配置

如果你相信回测夏普就是真实夏普（这是一个很强的假设），Kelly 准则会给出最优资本配置：

对夏普为 1.0、波动率为 15% 的策略，$f^* = 6.67$。所以，应该把 6.67% 的资本配置给这个策略。实际中为了保守，通常使用半 Kelly 或四分之一 Kelly，也就是 1.67% 到 3.33%。

Kelly 仓位应该使用 Haircut Sharpe，而不是报告出来的夏普。如果报告夏普为 1.5，而 Haircut Sharpe 是 1.3，那么用 1.5 算出来的 Kelly 仓位会高配 15%。

大多数量化团队不会直接使用 Kelly。他们使用基于风险的配置方法，例如目标波动率为 10% 时，仓位大小就是 $10\%/\text{策略波动率}$。夏普比率会影响配置，但不会直接决定配置。

关于计算夏普的最后一点提醒

实际实现时，有几个问题要留意：

1. 能用日收益率就用日收益率。 月频或周频收益率的偏差和标准误更大。对流动性较好的策略，日频是标准做法。

2. 谨慎去均值。 如果你使用超额收益率（$r_t - r_f$）计算夏普，就要始终一致地减去无风险利率。无风险利率有时算进去、有时不算，会得到毫无意义的结果。

3. 处理缺失数据。 如果某些日子没有交易（节假日、半日市），收益率是 0，不是缺失值。把零收益日放进夏普计算，会降低均值并抬高标准差。是否纳入这些日期，要提前决定。

4. 正确年化。 日频夏普乘 $\sqrt{252}$ 得到年化夏普；周频乘 $\sqrt{52}$；月频乘 $\sqrt{12}$。不要混用频率。

5. 报告样本量。 60 个日收益率算出来的夏普，和 1260 个日收益率算出来的夏普，可信度完全不是一回事。始终报告 $T$。

遵守这五条，你报告的夏普才经得起追问。否则就经不起。

状态切换下的夏普比率

真实金融收益率往往来自多个状态的混合：高波动、低波动、趋势和均值回归。跨状态计算的夏普比率，是各状态夏普的加权结果：

其中，$\pi_j$ 是状态 $j$ 的概率，$\mu_j$ 和 $\sigma_j$ 是该状态的均值和标准差，$\rho_{jk}$ 是状态之间的相关系数。

考虑一个两状态模型。高波动状态的参数为 $\pi_1 = 0.2$、$\mu_1 = 0$、$\sigma_1 = 0.02$；低波动状态的参数为 $\pi_2 = 0.8$、$\mu_2 = 0.001$、$\sigma_2 = 0.005$：

$SR_{overall} = \frac{0.2 \cdot 0 + 0.8 \cdot 0.001}{\sqrt{0.2 \cdot 0.0004 + 0.8 \cdot 0.000025}}$ $= \frac{0.0008}{\sqrt{0.0001}} = \frac{0.0008}{0.01} = 0.08 \text{ daily}$

年化后：$0.08 \cdot \sqrt{252} = 1.27$。这个策略看起来有 1.27 的夏普，但它主要由低波动状态贡献。在高波动状态下，策略的预期收益为零。如果未来高波动状态出现得比回测期间更频繁，策略的真实夏普就会更低。

对状态切换策略来说，诚实的夏普应该按状态概率加权，同时明确说明状态概率本身的不确定性。大多数报告系统会把这一点藏起来。

多资产策略的夏普比率

对由多个资产或策略组成的组合，夏普比率取决于协方差矩阵：

其中，$\mathbf{w}$ 是权重向量，$\boldsymbol{\mu}$ 是平均收益率向量，$\boldsymbol{\Sigma}$ 是协方差矩阵。

使夏普比率最大的组合是切点组合：

其最大夏普为：

这是均值-方差组合理论的基础结果（Markowitz，1952）。任何其他组合的夏普都不会超过 $SR_{max}$。

实践中，$\boldsymbol{\mu}$ 和 $\boldsymbol{\Sigma}$ 都是从数据中估计的，因此会有估计误差。实现出来的夏普通常低于估计出的最大夏普。收缩估计量（Ledoit-Wolf）是降低估计误差的标准方法。

夏普比率与诺贝尔奖

William Sharpe 在 1990 年获得诺贝尔经济学奖，与 Harry Markowitz 和 Merton Miller 共同获奖，获奖工作涉及资本资产定价模型和夏普比率。夏普比率至今仍是金融领域最常用的风险调整后收益指标。

诺贝尔奖主要表彰的是 CAPM，夏普比率是其中的一部分。CAPM 本身已经被大量检验，实证证据大体上否定了它。夏普比率之所以留下来，是因为即使 CAPM 不成立，它仍然是一个有用的描述性统计量。

夏普比率一直被沿用，不是因为它是最好的指标，而是因为它简单、直观，只需要一条收益率序列就能计算。更好的指标确实存在，比如 Sortino、Calmar 和条件夏普，但它们需要更多数据或更多假设。夏普比率是总结风险调整后收益时成本最低的办法。

实务中的夏普比率

在行业里，夏普比率常用于：

• 跨资产类别比较策略。
• 风险预算和资本配置。
• 业绩归因。
• 营销材料和投资者报告。

每一种用途都有自己的前提：

• 策略比较：要修正自相关（Haircut）、多重检验（DSR）和非正态性。
• 风险预算：要使用 Haircut Sharpe，而不是报告出来的夏普。
• 业绩归因：要把夏普拆解到各个信号成分。
• 营销和报告：要给出置信区间和统计诊断。

一份严肃的研究报告会把这些都交代清楚。营销报告通常只给出一个裸夏普。差别就在于：前者是在做诚实的研究，后者是在做不诚实的营销。

最后一句

夏普比率是一个有用的风险调整后收益总结指标，但它并不完美。它假设正态性、独立性和平稳性，而真实金融收益率不可能完全满足这些假设。

诚实使用夏普比率的人会：

1. 报告样本量和收益率频率。
2. 报告经过非正态修正的标准误。
3. 报告置信区间。
4. 修正自相关（Haircut）。
5. 修正多重检验（DSR）。
6. 计算相对于基准显著性的 PSR。
7. 计算样本量是否足够的 MBL。
8. 计算过拟合风险的 PBO。

只做其中一项都不完整。把这些放在一起，才是完整的判断。诚实的夏普比率是一个由多个数字组成的统计量，不是一个单独的数字。

参考文献

• Sharpe, W. F. (1966). “Mutual Fund Performance.” Journal of Business, 39(1), 119–138.
• Lo, A. W. (2002). “The Statistics of Sharpe Ratios.” Financial Analysts Journal, 58(4), 36–52.
• Bailey, D. H. and López de Prado, M. (2014). “The Deflated Sharpe Ratio: Correcting for Selection Bias, Non-Normality, and Multiple Testing.” Journal of Portfolio Management, 40(5), 94–107.
• López de Prado, M. (2018). Advances in Financial Machine Learning, Ch. 4 and 13. Wiley. ISBN 978-1-119-48208-6.