投资组合构建（深度模块）
Markowitz 均值方差优化是量化组合管理里最出名的结果，也是被错误使用最多的结果。经典 MVO 假设输入（预期收益、协方差）是精确已知的；现实中两个输入都带有显著估计误差，最优组合对误差极度敏感。本模块的文章从第一性原理推导 MVO，介绍修正方法（Black-Litterman、resampled efficiency、稳健优化），并梳理替代框架（风险平价、层级风险平价、最小方差、CVaR 优化、多期优化）。
核心阅读清单是 Luenberger 的《Investment Science》（MVO 及其扩展最干净的讲法），以及 Boyd 的《Introduction to Applied Linear Algebra》（Vanderbilt 开放获取，讲优化工具）。支撑论文包括 Black-Litterman（1992）、Ledoit-Wolf 的协方差收缩、López de Prado 的层级风险平价（HRP），以及稳健优化文献（Goldfarb-Iyengar）。
模块假设读者熟悉线性代数（向量、矩阵、二次型）与基础概率，不假设学过优化课。约束优化工具（Lagrangian、KKT 条件）用在哪里就在哪里推导。
模块文章
→ 参见：从零开始的均值-方差优化
Markowitz MVO 在方差约束下最大化预期收益，或等价地在给定预期收益下最小化方差。文章从均值方差效用推导 MVO，给出闭式无约束解（"Markowitz bullet"），并通过 Lagrangian 和 KKT 条件展示约束下的解。
→ 参见：为什么 MVO 权重不稳定（以及应对办法）
MVO 的输入（预期收益、协方差）都带有估计误差，最优组合对这些误差极度敏感。文章推导 Michaud（1989）的"误差最大化"批评，介绍 Ledoit-Wolf 协方差收缩估计量，并通过模拟展示不稳定性的量级。
→ 参见：Black-Litterman，从第一性原理出发
Black-Litterman（1992）把市场隐含的均衡收益（来自 CAPM）与投资者的观点按各自置信度加权组合。文章推导 Black-Litterman 公式，给出后验预期收益，并展示由此得到的组合远朴素 MVO 稳定得多。
→ 参见：风险平价与 All Weather 逻辑
风险平价按"每个资产（或资产类别）对组合风险的贡献相等"分配资本。文章推导风险平价条件，介绍等风险贡献（ERC）优化，并展示经典的 All-Weather 组合（Bridgewater）及它的理论依据。
→ 参见：López de Prado 的层次风险平价
HRP（López de Prado, 2016）用相关矩阵上的层级聚类构造比 MVO 与风险平价都更分散的组合。文章推导 HRP，给出相关矩阵的准对角化，并说明 HRP 在样本外为什么胜过 MVO。
→ 参见：最小方差组合，以及为什么它是唯一应该上线的 MVO
最小方差组合是方差前沿的全局最小点，不需要估计预期收益。文章从 Lagrangian 推导 MVP，给出闭式解，并讨论能改进样本外表现的 Ledoit-Wolf 协方差矩阵收缩。
→ 参见：CVaR 优化，以线性规划的方式
CVaR（条件在险价值，即 Expected Shortfall）是一个捕捉尾部风险的一致风险度量。文章把 CVaR 优化推成一个线性规划（Rockafellar-Uryasev），给出 CVaR-预期收益空间的有效前沿，并展示在组合构建中带显式尾部风险控制的应用。
→ 参见：重采样效率，以 Bootstrap 方式
Resampled efficient frontiers（Michaud, 1998）在输入估计的多个 bootstrap 样本上对 MVO 最优组合求平均。文章推导 resampling 流程，给出比朴素 MVO 前沿更稳定的"有效前沿"，并讨论与贝叶斯组合理论之间的联系。
→ 参见：因子组合构造
因子组合按特定风险因子（价值、动量、质量、规模）做多空。文章推导标准的因子组合构造（排序、多头顶分位、空头底分位、价值加权），介绍替代做法（基于回归、基于特征），并展示对其他因子的暴露（也就是会干扰解读的那些非预期暴露）。
→ 参见：交易成本感知的组合优化
标准 MVO 不考虑从当前组合调到最优组合的交易成本。文章推导 MVO 的交易成本扩展（Davis-Norman, 1990），给出带换手率约束的多期扩展，并展示用现实成本模型的实操实现。
→ 参见：稳健组合优化，Goldfarb-Iyengar 路线
稳健优化在输入估计的最坏情形实现下求最优组合。文章推导 box 不确定性与椭球不确定性的稳健 MVO，给出可处理的等价形式，并展示如何用于带输入误差意识的组合构建。
→ 参见：多期组合优化，Li-Ng 路线
多期优化考虑到组合在未来会被重新优化这一事实。文章推导多期 MVO，给出动态规划与 Bellman 方程形式，并讨论计算上的挑战。连接到随机控制与强化学习方法。
交叉引用
- 风险数学：深潜：风险数学
- 执行：深潜：交易执行
- 时间序列：深潜：时间序列
来源资料
- Luenberger, D. G. (1998). *Investment Science*. Oxford University Press. 第 1–8 章。
- Boyd, S. and Vandenberghe, L. (2004). *Convex Optimization*. Cambridge University Press.
- Markowitz, H. (1952). "Portfolio Selection." *Journal of Finance*, 7(1), 77–91.
- Black, F. and Litterman, R. (1992). "Global Portfolio Optimization." *Financial Analysts Journal*, 48(5), 28–43.
- Ledoit, O. and Wolf, M. (2004). "A Well-Conditioned Estimator for Large-Dimensional Covariance Matrices." *Journal of Multivariate Analysis*, 88(2), 365–411.
- López de Prado, M. (2016). "Building Diversified Portfolios that Outperform Out of Sample." *Journal of Portfolio Management*, 42(4), 59–69.
- Rockafellar, R. T. and Uryasev, S. (2000). "Optimization of Conditional Value-at-Risk." *Journal of Risk*, 2(3), 21–41.
- Michaud, R. O. (1998). *Efficient Asset Management*. Harvard Business School Press.
- Goldfarb, D. and Iyengar, G. (2003). "Robust Portfolio Selection Problems." *Mathematics of Operations Research*, 28(1), 1–38.
- Davis, M. H. A. and Norman, A. R. (1990). "Portfolio Selection with Transaction Costs." *Mathematics of Operations Research*, 15(4), 676–713.