Almgren-Chriss 最优执行：交易轨迹的均值-方差框架

卖得快付冲击，卖得慢担风险——Almgren-Chriss (2000) 把这个权衡写成一个可解的均值-方差问题，解出最优轨迹。整条推导、一个算到底的数值例子、以及模型在哪里失效。

第 6 篇 · 共 12 篇约 12 分钟

假设你必须在未来 4 小时内卖出 100 万股苹果。卖得快，你自己的单子把价格砸下去，冲击成本吃掉你；卖得慢，你抱着大额库存暴露在价格波动里，一条坏新闻就能把你拍在沙滩上。快慢之间存在一条最优轨迹——它长什么样？

这就是 Almgren-Chriss 问题（Almgren and Chriss, 2000）。它是机构执行模型的常用起点，Harris 也给了篇幅（Harris，《Trading and Exchanges》，第 19 章）。基础版本假设线性的暂时和永久冲击，答案落在”立刻全成”和”均匀铺开”之间的一条平滑曲线上——而且整个权衡最终被压缩进一个无量纲数。下面把它推出来。

设定

你有一笔规模 $Q$ 股的父单要在水平期 $T$ 内执行。让 $x_t$ 为 $t$ 时刻剩余股数， $x_0 = Q$ ， $x_T = 0$ 。成交速率是 $v_t = -(x_t - x_{t-1})$ ，每单位时间卖出的股数。

要算成本，先要说清你的交易怎么影响价格。Almgren-Chriss 把冲击拆成两块。第一块进中间价、留下来：

S_t = S_0 + \text{(成交的永久冲击)} + \text{(基本面随机游走)}

具体地：

S_t = S_0 - \gamma \sum_{s=1}^{t} v_s + \sigma \sqrt{\tau} \cdot \epsilon_t

其中 $\gamma$ 是永久冲击系数， $\tau$ 是时间步长， $\epsilon_t$ 是标准正态冲击。你卖得越多，中间价被压得越低，而且不回来。

第二块只在你成交那一刻起作用：实际执行价格比中间价再差一截，

\tilde{S}_t = S_t - \eta \cdot v_t

其中 $\eta$ 是暂时冲击系数。这是你为”现在就要流动性”多付的钱，你一停手它就消失。这个永久/暂时的二分是整个模型的地基，后面会看到它直接决定优化的方向。

有了价格，收益就是逐笔成交的加总：

\text{revenue} = \sum_{t=1}^{T} v_t \cdot \tilde{S}_t = \sum_{t=1}^{T} v_t (S_t - \eta v_t)

我们关心的是相对无冲击基准少收了多少：

\text{Cost} = \sum_{t=1}^{T} v_t (S_0 - \tilde{S}_t) = \sum_{t=1}^{T} v_t (\eta v_t + \gamma \sum_{s=1}^{t} v_s) - \sigma \text{ terms}

随机项期望为零，取期望后剩下两块干净的东西：

E[\text{Cost}] = \eta \sum_{t} v_t^2 + \frac{\gamma}{2} Q^2

第一项是暂时冲击成本——注意它是速率的平方和，同样的量卖得越急，罚得越重。第二项是永久冲击成本——只依赖总规模 $Q$ ，跟你怎么排轨迹无关。这个区别马上就有用。

成本还有第二个维度。 $S$ 里的随机游走意味着你没卖完的库存一直在承担价格风险：

\text{Var}(\text{Cost}) = \sigma^2 \sum_{t=1}^{T} x_t^2 \tau

其中 $x_t$ 是剩余库存。库存维持越久、越大，方差越大。到这里，快慢权衡已经被写成数学了： $\sum v_t^2$ 罚快， $\sum x_t^2$ 罚慢。

优化

Almgren-Chriss 把两个维度合成一个均值-方差目标：

\min_{v_t} \left[ E[\text{Cost}] + \lambda \cdot \text{Var}(\text{Cost}) \right]

其中 $\lambda$ 是风险厌恶参数： $\lambda$ 越大越怕方差， $\lambda$ 越小越在乎期望成本。代入上面的表达式：

\min \left[ \eta \sum_t v_t^2 + \frac{\gamma}{2} Q^2 + \lambda \sigma^2 \tau \sum_t x_t^2 \right]

约束 $\sum v_t = Q$ （你必须全成交）以及 $v_t \geq 0$ 。

这里永久冲击项帮了个大忙： $\frac{\gamma}{2} Q^2$ 给定 $Q$ 就是常数，跟轨迹无关，直接丢掉。换句话说，永久冲击是你决定交易那一刻就注定要付的，轨迹优化根本碰不到它；能优化的只有暂时冲击和风险的平衡。问题简化为：

\min \left[ \eta \sum_t v_t^2 + \lambda \sigma^2 \tau \sum_t x_t^2 \right]

约束 $\sum v_t = Q$ 。

离散时间解

用库存变量 $x_t$ 求解最干净（ $v_t = x_{t-1} - x_t$ ，端点 $x_0 = Q$ 、 $x_T = 0$ 自动吸收了约束）。目标写成：

\mathcal{L} = \eta \sum_t (x_{t-1} - x_t)^2 + \lambda \sigma^2 \tau \sum_t x_t^2

每个内点 $x_t$ 只出现在三处： $(x_{t-1}-x_t)^2$ 、 $(x_t-x_{t+1})^2$ 和自己的方差项。对 $x_t$ 求偏导并令其为零：

-2\eta (x_{t-1} - x_t) + 2\eta (x_t - x_{t+1}) + 2\lambda \sigma^2 \tau x_t = 0

整理一下：

x_{t+1} - 2 x_t + x_{t-1} = \frac{\lambda \sigma^2 \tau}{\eta} \, x_t

左边是离散二阶导。这条差分方程说的是：最优库存曲线的”弯曲程度”处处正比于剩余库存本身——库存越多，越要加速往下卖。这类线性差分方程的解是 $e^{\pm\kappa t}$ 的组合，套上两端边界条件，得到：

x_t = Q \cdot \frac{\sinh(\kappa (T - t))}{\sinh(\kappa T)}

其中 $\kappa$ 由下式确定：

\cosh(\kappa \tau) = 1 + \frac{\lambda \sigma^2 \tau^2}{2\eta}, \qquad \kappa \approx \sqrt{\frac{\lambda \sigma^2}{\eta}} \ \text{（小 } \tau \text{ 时）}

对应的每期成交量：

v_t = x_{t-1} - x_t = \frac{2 Q \sinh(\kappa \tau / 2)}{\sinh(\kappa T)} \cdot \cosh\!\big(\kappa (T - t + \tfrac{\tau}{2})\big)

这就是 Almgren-Chriss 的标准离散解。所有参数——风险厌恶 $\lambda$ 、波动率 $\sigma$ 、暂时冲击 $\eta$ ——只通过一个组合数 $\kappa$ 进入答案。这不是巧合，是下一节的全部内容。

连续时间极限

$\tau \to 0$ 时公式更干净。库存和速率：

x(t) = Q \cdot \frac{\sinh(\kappa (T - t))}{\sinh(\kappa T)}, \qquad v(t) = -x'(t) = Q \cdot \frac{\kappa \cosh(\kappa (T - t))}{\sinh(\kappa T)}

其中 $\kappa = \sqrt{\lambda \sigma^2 / \eta}$ 。边界条件当场可验： $x(0) = Q \cdot \sinh(\kappa T)/\sinh(\kappa T) = Q$ ， $x(T) = Q \cdot \sinh(0)/\sinh(\kappa T) = 0$ 。库存从 $Q$ 平滑降到 0， $\kappa T > 0$ 时曲线是凸的——前端偏置。

当 $\kappa T \gg 1$ 时， $\sinh(\kappa(T-t))/\sinh(\kappa T) \approx e^{-\kappa t}$ ，轨迹退化成一条纯指数衰减，常用的近似写法是：

v(t) \approx Q \cdot \frac{\kappa e^{-\kappa t}}{1 - e^{-\kappa T}}, \qquad v(0) \approx Q \cdot \frac{\kappa}{1 - e^{-\kappa T}}

（注意这只是大 $\kappa T$ 的近似，不是精确解——精确的 $v(0) = Q\kappa \cosh(\kappa T)/\sinh(\kappa T)$ 。）两个极限都对得上： $\kappa T$ 小时 $v(0) \approx Q/T$ ，均匀成交； $\kappa T$ 大时 $v(0) \approx Q\kappa$ ，可以远大于 $Q/T$ ； $\kappa T$ 极大（极端风险厌恶）时 $v(0) \to Q$ ——你立刻全成，这是市价单极限。

三种情景

于是整个问题被压缩进一个无量纲数 $\kappa T = T\sqrt{\lambda \sigma^2 / \eta}$ ，它就是快慢之争的裁判。

$\kappa T$ 低（风险厌恶低、波动小、暂时冲击贵）： $v(t) \approx Q/T$ ，近乎均匀铺开。你不怕拿库存，就慢慢卖省冲击，成本几乎全是暂时冲击。

$\kappa T$ 高（风险厌恶高、波动大、暂时冲击便宜）：轨迹强前端偏置，大部分量一开始就出掉。你在主动多付暂时冲击（平方罚则下快就是贵），换来的是库存风险的快速下降——这是花钱买确定性。

$\kappa T$ 中间：平滑曲线，介于两者之间。机构执行最常落在这一档。情景之间的边界大致在 $\kappa T = 2$ 附近。

一个数值算例

把数字代进去走一遍，顺便踩掉一个几乎人人会踩的坑。

你要卖 $Q = 1{,}000{,}000$ 股， $T = 4$ 小时 = 14400 秒， $\tau = 60$ 秒（1 分钟 bar）。日波动 $\sigma = 0.02$ ，暂时冲击 $\eta = 10^{-6}$ （每股每秒），永久冲击 $\gamma = 10^{-7}$ （每股），风险厌恶 $\lambda = 10^{-6}$ 。

坑在单位。如果你把日波动 0.02 直接塞进公式：

\kappa = \sqrt{\frac{\lambda \sigma^2}{\eta}} = \sqrt{\frac{10^{-6} \cdot 4 \times 10^{-4}}{10^{-6}}} = \sqrt{4 \times 10^{-4}} = 0.02

得到 $\kappa T = 0.02 \cdot 14400 = 288$ ——一个荒谬的强前端偏置，等于说”半分钟内清仓”。错在 $T$ 以秒计而 $\sigma$ 是日的。方差按时间线性缩放：每秒方差是 $\sigma^2 / 23400$ （一个交易日 6.5 小时），所以每秒 $\sigma \approx 0.02 / 154 \approx 1.3 \times 10^{-4}$ ，每秒方差 $1.7 \times 10^{-8}$ 。

用对单位重来： $\lambda \sigma^2 = 10^{-6} \cdot 1.7 \times 10^{-8} = 1.7 \times 10^{-14}$ ，除以 $\eta = 10^{-6}$ 得 $\kappa^2 = 1.7 \times 10^{-8}$ ， $\kappa \approx 1.3 \times 10^{-4}$ 每秒。于是 $\kappa T \approx 1.87$ ——中间情景，轨迹温和前端偏置。同一组参数，单位一错，结论从”从容铺 4 小时”变成”半分钟砸完”。核对 $\sigma$ 、 $\eta$ 、 $T$ 的单位一致，是用这个模型的第一道检查。

代入精确解算两端的速率（ $\sinh(1.87) \approx 3.17$ ， $\cosh(1.87) \approx 3.32$ ）：

初始速率 $v(0) = Q\kappa \cosh(\kappa T)/\sinh(\kappa T) = 130 \times 3.32 / 3.17 \approx 136$ 股/秒。均匀速率是 $10^6 / 14400 \approx 69$ 股/秒，所以起步大约是均匀的 2 倍。末端速率 $v(T) = Q\kappa/\sinh(\kappa T) = 130 / 3.17 \approx 41$ 股/秒，约为均匀的 0.6 倍。轨迹从 136 股/秒平滑降到 41 股/秒。

一个看似不通过的检验：头尾平均 $(136+41)/2 \approx 88$ 股/秒，乘 14400 秒得 $1.27 \times 10^6$ 股，比 $Q$ 多了近三成？没错，而且这不说明算错了—— $\cosh$ 是凸函数，头尾取平均系统性高估了曲线下面积。精确轨迹的积分恰好是 $Q$ （由构造保证），真正的平均速率就是 69 股/秒。

期望成本

期望成本回到那两块：

\text{Expected cost} = \underbrace{\eta \int_0^T v(t)^2 \, dt}_{\text{暂时冲击}} + \underbrace{\frac{\gamma}{2} Q^2}_{\text{永久冲击}}

对算例，暂时冲击项用 $v(t)$ 的均方根粗估约 80 股/秒： $\int v^2 dt \approx 80^2 \cdot 14400 = 9.2 \times 10^7$ ，乘以 $\eta = 10^{-6}$ 得约 $92$ 美元。永久冲击项： $\frac{\gamma}{2} Q^2 = 0.5 \cdot 10^{-7} \cdot 10^{12} = 50{,}000$ 美元。

两项差了三个数量级——这笔单的成本几乎全是永久冲击。对 100 万股、$100 一股的出售（名义 $100M）， $50{,}000 是 5 bp，量级合理。但回想前面：永久冲击是轨迹碰不到的。所以这个例子里优化真正在管的，是那$ 92 的暂时冲击和下面这个方差之间的平衡。

成本方差： $\sigma^2 \int x(t)^2 dt$ 。 $x(t)$ 在水平期上平均约 $Q/2 = 5 \times 10^5$ 股， $\int x^2 dt \approx 2.5 \times 10^{11} \cdot 14400 = 3.6 \times 10^{15}$ ，乘每秒方差 $1.7 \times 10^{-8}$ 得方差 $6.1 \times 10^7$ （美元平方），标准差 $\sqrt{6.1 \times 10^7} \approx 7800$ 美元。也就是说，这笔执行的成本围绕 $50{,}000$ 的期望有大约 $\pm 7800$ 的一倍标准差摆动。期望成本对标准差之比 $50{,}000 / 7{,}800 \approx 6.4$ ——在 $\lambda = 10^{-6}$ 下，这就是均值-方差目标平衡出来的位置。

风险调整前沿

让 $\lambda$ 扫过全程，最优轨迹描出一条前沿。 $\lambda = 0$ 是纯成本最小化：把成交铺到尽可能长的水平期，暂时冲击压到最低，方差随它去。 $\lambda = \infty$ 是纯方差最小化：立刻执行，市价单，冲击照单全收。中间的 $\lambda$ 平滑过渡。前沿是凸的： $\lambda$ 每增加一点，期望成本上升（多付冲击）换方差下降（更快完成）——跟组合理论里的有效前沿是同一种几何。Harris 第 19 章有图示，Hasbrouck (2007) 给了正式版本。

Python 实现

一个简单的 Almgren-Chriss 仿真器：

import numpy as np

def almgren_chriss_trajectory(Q, T, sigma, eta, lam, n_periods=100):
    """
    计算最优 Almgren-Chriss 轨迹。
    Q: 总成交股数
    T: 水平期（秒）
    sigma: 每秒波动率（小数）
    eta: 暂时冲击系数
    lam: 风险厌恶
    返回：(t, 库存 x(t), 速率 v(t)) 数组
    """
    tau = T / n_periods
    kappa = np.sqrt(lam * sigma**2 / eta)
    t = np.linspace(0, T, n_periods + 1)
    x = Q * np.sinh(kappa * (T - t)) / np.sinh(kappa * T)
    v = -np.diff(x) / tau  # 每期成交速率
    return t, x, v


# 示例：4 小时 100 万股
t, x, v = almgren_chriss_trajectory(
    Q=1_000_000, T=14400, sigma=1.3e-4, eta=1e-6, lam=1e-6, n_periods=240
)
print(f"初始速率: {v[0]:.1f} 股/秒")
print(f"末尾速率: {v[-1]:.1f} 股/秒")
print(f"平均速率: {v.mean():.1f} 股/秒（目标: {1e6/14400:.1f}）")

合理参数下，初始速率是平均的两倍上下，末尾速率低于平均——就是上面手算的那条前端偏置曲线。注意 sigma 传的是每秒波动率：单位坑在代码里同样存在。

永久与暂时：为什么这个二分是贡献本身

回头看模型的地基。Almgren-Chriss 真正的贡献不是那条 sinh 曲线，而是把冲击拆成两类并说清各自的后果。永久冲击（ $\gamma$ ）：价格因你成交而移动并停留，你收手了它也不回来——这是”信息”分量，跟 Kyle 的 lambda 是一回事。暂时冲击（ $\eta$ ）：价格被你压下去，你一停就弹回来——这是”流动性”分量，要求即时性的瞬态代价。

经验上两者形态很不一样。永久冲击小但持续，流动美股上量级在个位 bp 以下（随流动性和规模变化）。暂时冲击更大但会回复，成交期间可以到几个 bp 至十来个 bp，大部分在几分钟内消失。这些是量级感，不是常数——它们本身就随市况漂。

这个二分直接决定优化方向：如果冲击是纯永久的，怎么排轨迹都一样（它只看总量），你只需要慢慢来避免额外摩擦；如果是纯暂时的，平方罚则说均匀成交最优；两者混合，才有 Almgren-Chriss 这个非平凡的解。Harris 第 13 章在 dealer 语境下讨论了同一个区分，Hasbrouck 的信息份额（第 5 篇）度量的正是永久分量。

顺带纠正一个常见误解：“所有冲击最终都会回复。“不是。经验研究里，metaorder（大额机构成交）的价格冲击大致一半永久、一半暂时：永久的那半反映信息进了价格，暂时的那半是流动性成本。还要注意，Almgren-Chriss 把两者都建成线性，而真实冲击是凹的（平方根律，第 8 篇），所以模型里的 $\gamma$ 应理解为平均的每单位成交永久冲击，不是边际。

模型在哪里失效

上面这条线性假设是五个失效点里最大的一个。真实冲击凹，意味着线性模型对大单会高估边际冲击——单子越大，高估越狠。第二，模型假设你没有 alpha，是个纯被动执行者；如果你有私人信息，最优轨迹应该更前端偏置，赶在 alpha 衰减前把仓位拿到手（Almgren 2003 正是加了漂移项的扩展）。第三， $\sigma$ 、 $\eta$ 、 $\gamma$ 被当成常数，现实里它们全随市况漂移。第四，模型假设你的单永远成交——现实里限价单可能排队排不到（第 1 篇）。第五，没有交叉冲击：大额股票成交会带动相关 ETF、期权、期货，模型对此视而不见。

所以机构的用法是：Almgren-Chriss 当骨架，真正的执行算法在上面为这五条各打补丁。扩展文献差不多就是沿这几条缺口长出来的：Almgren (2003) 加入 alpha 与非线性冲击；Almgren, Thum, Hauptmann, Li (2005) 用真实市场数据估计冲击参数；Huberman and Stanzl (2004) 证明永久冲击必须线性，否则存在价格操纵式的准套利——这给了线性假设一个意外的辩护；Predoiu, Shaikhet, Shreve (2011) 在一般限价簿形状下重解最优执行；Cartea, Jaimungal, Penalva (2015) 在教科书里给了整章的现代处理。对实战派，基础模型加标定就很能打；扩展是理论家和大单 desk 的事。

还有一个实现层面的选择：离散版显式带 $\tau$ ，连续版是 $\tau \to 0$ 的极限。连续版公式干净、适合理论；但实操里你的成交间隔就是离散的（每分钟、每 5 分钟），离散版更诚实。实现用离散，直觉用连续。

Arithmion 怎么实现

arithmion.execution.AlmgrenChriss 提供连续和离散轨迹的闭式解、从执行数据标定 $\gamma, \eta, \lambda$ 、均值-方差前沿可视化，以及带交叉冲击矩阵的多资产扩展。这是 Arithmion 执行仿真器的核心；多数机构执行算法内部跑的也是这个的某种变体。

标定里最有后果的一个数是 $\lambda$ 。它没有”正确值”，只有跟你处境匹配的值：授权是长水平期、能扛波动的， $\lambda$ 低；有 alpha 在衰减的， $\lambda$ 也应该低——快点成交把 alpha 抓到手；担心市场要跌、想快速降敞口的， $\lambda$ 高。desk 的风险预算也会压进来：刚经历回撤的团队通常会调高 $\lambda$ ，用更贵的执行换更窄的结果分布。实践中 $\lambda$ 由 desk 授权设定、定期重标定；Arithmion 的 AdaptiveAlmgrenChriss 会根据波动率和库存水平实时调整它。

把整个模型收在一句话里：永久冲击在你决定交易时已经付掉，剩下的全部艺术是用 $\kappa T = T\sqrt{\lambda\sigma^2/\eta}$ 这一个旋钮，在暂时冲击和库存风险之间选你要站的位置。

参考文献

Harris, L. Trading and Exchanges: Market Microstructure for Practitioners. Oxford University Press, 2003. 第 13 章（dealers），第 19 章（流动性）。ISBN: 978-0-19-514470-3.
Almgren, R., Chriss, N. “Optimal Execution of Portfolio Transactions.” Journal of Risk, 3(2), 2000.（工作论文版，1999。）
Almgren, R. “Optimal Execution with Nonlinear Impact Functions and Trading-Enhanced Risk.” Applied Mathematical Finance, 10(1), 2003.
Almgren, R., Thum, C., Hauptmann, E., Li, H. “Direct Estimation of Equity Market Impact.” Risk, 2005.
Cartea, A., Jaimungal, S., Penalva, J. Algorithmic and High-Frequency Trading. Cambridge University Press, 2015.
Hasbrouck, J. Empirical Market Microstructure. Oxford University Press, 2007. ISBN: 978-0-19-518115-9（精装）/ 978-0-19-539320-0（平装）。