CAPM 与市场 Beta

CAPM 认为，股票的预期收益就是无风险利率加上 Beta 乘以市场风险溢价。它以一些很有意思的方式错了，而理解这些错误是打好基础的关键。

第 6 篇 · 共 8 篇约 7 分钟

CAPM 于 1964 年发表。它假设一个因子（市场）能够解释所有股票收益。现实里有几百个因子。但 CAPM 仍然是每场量化面试的必考题，因为它失败的地方，恰好揭示了哪些因子真正重要。

如果你只记住一件事：CAPM 是错的，而它出错的方式，正是你可以提取出来的 alpha。每一个持续偏离 CAPM 的现象，都是一个等待被发现的因子模型。Fama 和 French 正是把其中三个正式化之后，拿到了诺贝尔奖。

模型

资本资产定价模型认为，资产 $i$ 的预期收益是：

\mathbb{E}[R_i] = R_f + \beta_i \cdot \left(\mathbb{E}[R_m] - R_f\right)

三个组成部分，然后得出一个结论：

$R_f$ ——无风险利率。视为已知。实践中通常用 3 个月期国库券收益率。
$\mathbb{E}[R_m] - R_f$ ——市场风险溢价。市场因为你承担市场风险而额外给你的收益。历史上美国市场每年大约为 4-7%。具体估计会随着样本区间和方法的不同而大幅变化。
$\beta_i$ ——资产对市场的敏感度。把资产收益对市场收益做回归时得到的斜率系数。

重点是：在 CAPM 下，两个 Beta 相同的股票，预期收益也相同。就这样。不存在价值、规模、动量、质量或情绪溢价，只有市场风险。

这不对。下面看看为什么。

Beta 在机械上代表什么

Beta 是资产与市场之间的协方差除以市场方差：

\beta_i = \frac{\text{Cov}(R_i, R_m)}{\text{Var}(R_m)}

怎么理解：

$\beta = 1$ ——和市场一比一地变动。SPY 大致就是 1。
$\beta = 1.5$ ——市场涨跌幅的 1.5 倍。如果市场下跌 10%，这只股票平均预期会下跌 15%。
$\beta = 0.5$ ——只跟着市场一半的幅度走。防御型资产。
$\beta < 0$ ——和市场反向变动。股市崩盘时，黄金从实际表现看大致是负 Beta（严格说不完全等同于 Beta，但传导渠道是这个）。
$\beta = 0$ ——不相关。现实中不存在真正的零相关资产，但固定收益和黄金经常有较低的 Beta。

Beta 是历史斜率。它是基于过去数据、在给定条件下的平均共同变动。它不假设因果关系，也不包含任何经济机制——它只是一个回归系数。

分解总收益

CAPM 能把任何股票的实际收益做一个干净的分解：

R_i - R_f = \alpha_i + \beta_i (R_m - R_f) + \varepsilon_i

三个组成部分：

$\alpha_i$ ——CAPM 无法解释的部分。这就是 Jensen alpha 意义下的 “alpha”。
$\beta_i (R_m - R_f)$ ——由市场敞口解释的部分。如果你持有一只高 Beta 股票，而市场在上涨，这通常是你收益的大头。
$\varepsilon_i$ ——残差噪声。个股特有的意外。

交易策略的“alpha”，指的是扣除 Beta × 市场这一部分之后赚到的收益。如果你的策略 $\beta = 0.3$ ，而市场上涨 20%，那么你仅靠市场敞口就拿到了 6% 的“免费”收益——这根本不算 alpha。

用 Python 对 AAPL 和 SPY 做回归

这是标准的 CAPM 练习：提取 AAPL 和 SPY 的日收益，运行回归，取出 alpha 和 beta。

import numpy as np
import pandas as pd
import yfinance as yf
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt

# Five years of daily data
px = yf.download(["AAPL", "SPY"], start="2020-01-01", end="2024-12-31",
                 auto_adjust=True)["Close"]
px = px.dropna()

# Daily returns
ret = px.pct_change().dropna()

# Excess returns vs 3-month T-bill proxy (close enough for the example)
# Use 0% for simplicity — illustrative, not exact
excess_aapl = ret["AAPL"] - 0.0
excess_spy  = ret["SPY"]  - 0.0

# Run the regression: AAPL ~ beta * SPY + alpha
X = sm.add_constant(excess_spy)   # add intercept
model = sm.OLS(excess_aapl, X).fit()
print(model.summary())

alpha = model.params["const"]
beta  = model.params["SPY"]

提示词

用 yfinance 拿 AAPL 和 SPY 日线,用 statsmodels 对 AAPL 日收益对 SPY 做 OLS 回归,打印 alpha、beta 和回归摘要。

预期输出（截断）：

                 coef      std err          t      P>|t|
const        0.0006      0.0002      3.420      0.001
SPY          1.1834      0.0253     46.780      0.000

R-squared:    0.62

怎么读这个结果：2020-2024 年间，AAPL 的 $\beta \approx 1.18$ ——平均来看，它的波动比市场大约高 18%。截距（Jensen alpha）是每天 6 个基点，年化后大约是 $\alpha \approx 15\%$ ——但这个结果会误导你，因为样本期包含了一轮巨大的科技股上涨和一次重大的科技股回撤。

R-squared 为 0.62，意味着 AAPL 每日收益方差的 62% 可以由 SPY 解释。剩下的 38% 是个股特有的噪声（财报、产品发布、管理层变动等）。对单只股票来说，这已经是你能得到的市场 Beta 解释度上限附近了。

现在把数据重新聚合成月收益，得到更干净的统计量：

# Monthly aggregation
monthly = (1 + ret).resample("ME").prod() - 1
X_m = sm.add_constant(monthly["SPY"])
m_model = sm.OLS(monthly["AAPL"], X_m).fit()
print(f"Monthly alpha : {m_model.params['const']*100:.2f}% / month")
print(f"Monthly beta  : {m_model.params['SPY']:.2f}")
print(f"R-squared     : {m_model.rsquared:.2f}")

提示词

把日收益复合成月收益,对 AAPL 和 SPY 月收益跑 OLS 回归,打印月度 alpha、beta 和 R²。

月度 Beta 大致会稳定在 1.15-1.25 附近。Alpha 的读数则会随着你截取样本的年份不同而剧烈波动。

CAPM 三个著名的失败之处

CAPM 预测，Beta 单独就能解释横截面的预期收益。有三种模式打破了这个预测，而且每一种后来都成了一个命名因子。

失败 1：价值——便宜的胜过昂贵的

账面市值比（B/M）较高的股票——也就是“价值”股票——获得的收益高于 CAPM 的预测。成长股（低 B/M）则表现落后。

失败 2：规模——小盘股胜过大盘股

小盘股（市值低于中位数）历史上在市场调整后跑赢大盘股。Banz（1981）最早记录了这一现象；Fama & French（1993）把它做成了 SMB 因子（Small Minus Big）。

从 1970 年代到 1990 年代初，规模溢价很强。自 2008 年以来，它一直疲软甚至转负——现在小盘股赚到的收益大致就是 CAPM 隐含的水平，有时还更低。规模效应是“死了”，还是只是被套利掉了，目前仍有争论。

失败 3：动量——赢家会继续赢

过去 12 个月的收益会正向预测未来 12 个月的收益。Jegadeesh & Titman（1993）记录了这一点。CAPM 完全没有预测到它——CAPM 意味着动量应该为零。

动量是已发表金融研究中规模最大、最可靠的异常现象。它在股票、债券、货币和商品中都有效。2009 年它也曾在 3 个月内暴跌 50%，后面还会再讲到这一点。

坦白说：为什么你仍然要用它

CAPM 是错的。但还是要把它当作基准。你找到的每一个 alpha，都是 CAPM 漏掉的东西。

原因在于：CAPM 给你提供了一个基准，用来衡量“我的策略是真的产生了 alpha，还是只是获得了市场敞口再加上一点运气？”模型的用途就在这里——它不是事实真相，而是一把尺子。

如果你回测一个策略，报告 Sharpe 为 1.5，却没有和基准做比较，那你不知道自己赚的是 alpha，还是只是搭上了高 Beta 敞口的顺风车。CAPM 回归 30 秒就能给你答案。先用它，再转向更复杂的因子模型。

Beta 并不稳定

这里有个实际问题，经常没有得到足够关注：Beta 会随时间变化，而且变化很大。

# Estimate rolling 252-day beta for AAPL over 5 years
rolling_beta = ret["AAPL"].rolling(252).cov(ret["SPY"]) / ret["SPY"].rolling(252).var()
rolling_beta.plot(figsize=(11, 4), title="AAPL rolling 252-day beta on SPY (2020-2024)")
plt.axhline(1.0, color="black", lw=0.7, ls="--")
plt.ylabel("Beta")
plt.show()

提示词

用 pandas 算 252 日滚动 Beta = cov(AAPL,SPY) / var(SPY),用 matplotlib 画时间序列,加 1.0 参考线。

你会看到，平静时期 Beta 可能低于 1.0，压力时期则会上到 1.4 以上。2019 年的 Beta 可能是 0.8，到了 2022 年就可能变成 1.5。这就是 Beta 不稳定问题，也是为什么统计套利基金会在滚动 Beta、状态条件 Beta 和指数加权 Beta 估计器上投入真金白银。

三个可以照着执行的规则：

不要相信少于 60 个月度观测值估出来的 Beta。 日频数据可以让你用更短的样本，但会带来自相关噪声。
生产环境使用指数加权 Beta。 越近的观测值，权重应该越高。
预期危机期间 Beta 会飙升。 如果你的止损是按平静市场的 Beta 校准的，崩盘时会直接把你碾过去。

这也是单因子 CAPM 之所以被多因子模型（Fama-French、Carhart）普遍替代的原因之一——用单一因子处理随时间变化的 Beta，会进一步放大噪声。

它在整个体系中的位置

CAPM 是地板。Fama-French 三因子模型和 Carhart 四因子模型在此基础上加入了价值、规模和动量敞口。你测量完一个策略的 CAPM alpha 和 beta 后，下一个问题就是：“这个 alpha 只是价值 + 规模 + 动量敞口吗？”下一篇文章从这里接着讲。

在 Arithmion SDK 里，arithmion.factor.capm_regression() 可以针对任意股票、任意基准和任意时间窗口，返回 alpha、beta 以及残差。标准输出。真正有意思的是后面的分析。

References

Sharpe, “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk,” Journal of Finance, 1964.
Lintner, “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets,” Review of Economics and Statistics, 1965. (Independent derivation of CAPM.)
Fama & French, “Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds,” Journal of Financial Economics, 1993.
Grinold & Kahn, Active Portfolio Management, Ch. 3. McGraw-Hill, 2000. ISBN: 978-0-07-135638-4.
Ang, Asset Management, Ch. 5-6. Oxford University Press, 2014. ISBN: 978-0-19-995932-3.
Frazzini, Israel, Moskowitz, “Trading Against the Anomaly,” Journal of Financial Economics, 2018 (on beta instability and the “betting against beta” factor).