协整:Engle-Granger 两步法

两个都非平稳的序列，什么时候可以放心做水平回归？讲协整的定义、Engle-Granger 两步法、残差单位根检验的临界值坑，以及虚假回归为什么至今还在毁掉实证工作。

第 5 篇 · 共 12 篇约 12 分钟

先看一个在宏观计量论文里横行了几十年的操作。把美国实际 GNP 对货币供给做回归，取一段几十年的样本，两个都是一路向上的趋势序列。 $R^2$ 跑出来 0.95，斜率的 $t$ 统计量 12.4，于是你写一篇论文，宣称货币供给驱动产出。今天再交出去，审稿人会直接退稿——不是因为结论不讨喜，而是这个回归本身什么都证明不了。

这个关系是胡扯。两个序列都带趋势，而任何两个趋势序列在有限样本里都会显得高度相关，哪怕它们由完全独立的随机游走生成。Granger & Newbold (1974) 证明了这一点：在”无关系”的零假设下，只要两个序列非平稳， $t$ 统计量就不服从 $t$ 分布，它发散到无穷大； $R^2$ 也不收敛到零，而是收敛到一个非退化分布。这就是虚假回归，几十年来毁掉实证工作最多的一类计量错误。

不信的话自己跑一遍。生成两个完全独立的随机游走，把一个对另一个回归：

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

rng = np.random.default_rng(42)
T = 200
x = np.cumsum(rng.standard_normal(T))
y = np.cumsum(rng.standard_normal(T))

X = sm.add_constant(x)
res = sm.OLS(y, X).fit()
print(f"R²: {res.rsquared:.3f}")
print(f"Slope t-stat: {res.tvalues[1]:.3f}")
print(f"Slope p-value: {res.pvalues[1]:.4f}")

换不同的种子多跑几次，大约 30% 的情况下你会看到 $R^2 > 0.5$ 、 $t$ 统计量两位数——而 $x$ 和 $y$ 完全独立。这不是笔误也不是 bug，是带趋势变量回归的基本性质。以后看到一篇论文把一个 I(1) 变量对另一个 I(1) 变量做回归、又没先检验协整或差分，那篇论文多半是错的。

那水平回归是不是永远不能做？不是。Engle & Granger (1987) 给出了例外成立的条件，这是现代计量经济学最有用的思想之一，也是最常被误用的之一。核心洞见：如果两个或多个 I(1) 序列共享一个长期均衡关系，那么它们的某个特定线性组合是 I(0)，即便每个序列在水平上非平稳。回到上面的例子：如果货币供给和 GNP 都被一个共同的长期趋势驱动（经济增长，两者都跟着长），那么”对数货币供给减对数 GNP”这样的线性组合就可能平稳。那个平稳组合叫协整关系，它给你一个平稳的误差修正项，可以放进动态模型——正确建模之后，推断就是有效的。

这篇文章详细讲 Engle-Granger 两步法，包括它出名的弱点。教科书出处是 Hamilton (1994, 第 19 章)、Tsay (2010, 第 7-8 章)、Campbell, Lo & MacKinlay (1997, 第 6 章)，下文用到哪条引到哪条。

协整的正式定义

$K$ 个时间序列 $\mathbf{y}_t = (y_{1t}, \ldots, y_{Kt})'$ 是协整的，如果同时满足：

每个 $y_{it}$ 是 I(1)，也就是水平非平稳、一阶差分平稳。
存在非零向量 $\boldsymbol{\beta} = (\beta_1, \ldots, \beta_K)'$ 使得 $\boldsymbol{\beta}' \mathbf{y}_t$ 是 I(0)，也就是平稳。

向量 $\boldsymbol{\beta}$ 叫协整向量，组合 $\boldsymbol{\beta}' \mathbf{y}_t$ 就是协整关系。经济上把它读作长期均衡：对它的偏离是平稳的，所以偏离必须最终回到零附近。

一个系统里可以有不止一个这样的组合。如果存在多个协整关系，系统的协整秩 $r > 1$ 。对 $K$ 个变量，秩可以从 0（无协整）取到 $K - 1$ ；秩为 $K$ 意味着所有变量本身平稳，跟条件 1 矛盾。记住这个秩的概念——Engle-Granger 方法最深的局限就埋在这里，后面会讲到。

第一步:用 OLS 估计协整向量

把 $y_{1t}$ 对 $(y_{2t}, \ldots, y_{Kt})$ 做回归（或者你喜欢的任何归一化）：

y_{1t} = \beta_1 + \beta_2 y_{2t} + \cdots + \beta_K y_{Kt} + u_t

注意右边没有 $y_{1t}$ ：必须有一个变量被归一化（这里是 $y_{1t}$ 作为因变量），对应系数设为 1。这只是一个归一化选择，你也可以选别的变量放左边——这个选择后面会回来咬人，先记下。OLS 估计 $\hat{\boldsymbol{\beta}}_{EG}$ 就是协整向量的估计。

这个估计有一个不寻常的性质：超一致。 $\hat{\boldsymbol{\beta}}_{EG} - \boldsymbol{\beta} = O_p(1/T)$ ，比通常的 $O_p(1/\sqrt{T})$ 收敛快得多，原因是 OLS 目标函数在协整下有非标准极限，Stock (1987) 给了证明。直觉是这样的：因变量和自变量都在发散，但被协整关系绑在一起，所以 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 里的噪声被低阶项主导。超一致性是整个两步法能成立的支柱——第一步的估计误差衰减够快，第二步才能把 $\hat{u}_t$ 当作真残差的合格替身。

第二步:对残差做单位根检验

算出 OLS 残差 $\hat{u}_t = y_{1t} - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 y_{2t} - \cdots - \hat{\beta}_K y_{Kt}$ ，对它跑 ADF 检验：

\Delta \hat{u}_t = \rho \hat{u}_{t-1} + \sum_{j=1}^k \gamma_j \Delta \hat{u}_{t-j} + e_t

零假设 $H_0: \rho = 0$ ，残差里有单位根，即无协整；备择 $\rho < 0$ ，残差平稳，即协整。ADF 统计量比临界值更负，就拒绝无协整。

整个方法的成败都压在这一步上，而这一步恰恰是被用错最多的地方。最常见的错：拿标准 ADF 的临界值来判残差。不行。 $\hat{u}_t$ 不是观测到的序列，是第一步估出来的， $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 的估计误差会让残差”看起来更平稳”，所以残差基检验的临界值绝对值必须更大。Engle & Yoo (1987) 给残差基 ADF 制了表： $K = 3$ 时 5% 临界值大约 $-3.37$ ，而标准 ADF 是 $-2.86$ 。用 $-2.86$ 去判，你会拒绝得太频繁，把不协整的系统判成协整。MacKinnon (1996) 后来用响应面回归给出了更精确的临界值，大多数软件实现的就是它；一般规律是临界值随 $K$ 增大而更负，但幅度不大。

还有三个容易踩的坑，都出在检验的设定上。其一，滞后差分个数 $k$ 必须选到让残差白化，通常按 AIC 或 Schwert 规则；滞后不够，残差有自相关，检验的规模就是错的。其二，如果变量本身带确定性趋势，协整回归里要加趋势项，不加则残差设定错误，检验对象就不对。其三，别拿第一步回归的高 $R^2$ 当协整证据——开头已经演示过，趋势变量之间没有任何关系 $R^2$ 也能很高，能算数的只有残差上的 ADF。

另外注意，这一切都建立在”每个变量都是 I(1)“的前提上。这个前提 Engle-Granger 自己不检验，你得先对每个变量单独跑单位根检验。混进一个 I(0) 变量，检验就无效了。

如果你正确地拒绝了零假设，就有证据表明变量协整，协整向量近似 $\hat{\boldsymbol{\beta}}_{EG}$ ，可以进入下一步：建动态模型。

代码:statsmodels 里的 Engle-Granger

statsmodels 把两步都包好了，coint 直接用 MacKinnon 响应面的临界值：

import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, coint


X = sm.add_constant(y['log_gnp'])
eg_reg = sm.OLS(y['log_money'], X).fit()
print(eg_reg.summary())

residuals = eg_reg.resid

# 来自 MacKinnon 响应面的 Engle-Granger 临界值
eg_stat, eg_p, eg_crit = coint(y['log_money'], y['log_gnp'], trend='c', autolag='aic')[:3]
print(f"Engle-Granger test stat: {eg_stat:.3f}, p-value: {eg_p:.3f}")

# 备选:带自定义临界值的残差 ADF
adf_stat, _, _, _, adf_crit, _ = adfuller(residuals, regression='c', autolag='aic')
print(f"ADF on residuals: {adf_stat:.3f}")
print(f"Standard ADF crit values: {adf_crit}")
# 跟 Engle-Granger 临界值比较(例如 K=3 在 5% 下 -3.37)

手动跑 adfuller 那条路要自己换临界值——adfuller 打印的是标准 ADF 临界值，正是上一节说不能用的那套。留着它是为了让你看清两套临界值差多少。

确立协整之后:误差修正模型

协整确立后，把动态写成 VECM：

\Delta y_{1t} = \alpha_1 \hat{u}_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1} \Gamma_{1j} \Delta \mathbf{y}_{t-j} + \text{error}_{1t}

\Delta y_{2t} = \alpha_2 \hat{u}_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1} \Gamma_{2j} \Delta \mathbf{y}_{t-j} + \text{error}_{2t}

以此类推。滞后残差 $\hat{u}_{t-1}$ 上的系数 $\alpha_i$ 是调整速度：上期偏离均衡一个单位， $y_{it}$ 在 $t$ 期修正多少。稳定的误差修正机制要求：对负责修正、恢复均衡的变量（协整回归里的因变量），调整系数应该为负；更一般地，各 $\alpha_i$ 的合力必须把偏离往回推，而不是推得更远。只要协整成立，Granger 表示定理就保证至少有一个 $\alpha_i$ 非零——误差修正形式不是建模选择，是协整的必然结果（Engle & Granger, 1987）。

外生性:谁在做调整

把 VECM 的前两个方程再摆出来，这次只盯着 $\alpha$ ：

\Delta y_{1t} = \alpha_1 \hat{u}_{t-1} + \sum \Gamma_{1j} \Delta \mathbf{y}_{t-j} + \text{error}_{1t}

\Delta y_{2t} = \alpha_2 \hat{u}_{t-1} + \sum \Gamma_{2j} \Delta \mathbf{y}_{t-j} + \text{error}_{2t}

如果 $\alpha_1 = 0$ ，那么 $y_{1t}$ 相对于协整参数是弱外生的：它不对均衡偏离做任何调整，均衡全靠别的变量恢复。这时你可以把 $y_{1t}$ 建模为单变量过程（比如 ARIMA），不损失任何关于 $\boldsymbol{\beta}$ 的信息。

弱外生性重要在哪？注意它对一致性其实不是必需的——协整回归的 OLS 估计在有内生回归子时仍然超一致（Stock, 1987）。它换来的是有效性：若 $\alpha_1 = 0$ ，你可以在排除 $y_{1t}$ 动态方程的更小系统里估计 VECM，标准误更小。检验方法直接：在 VECM 里对 $\alpha_i = 0$ 做 $t$ 检验或 Wald 检验，不能拒绝就把 $y_{it}$ 当弱外生处理。

还有一个更强的概念叫强外生性： $\alpha_i = 0$ ，且 $y_{it}$ 方程里所有滞后 $\Delta \mathbf{y}_t$ 的系数也为零。满足强外生性时整个系统可以拆成一串独立方程来估计，没有跨方程相关。实践中很少见，知道它存在即可。

这个方法哪里不结实

Engle-Granger 概念干净、计算简单——一个 OLS 加一个 ADF，任何软件都能跑。但便宜是有代价的，而且每一条代价都有文献记录在案。

最根本的局限在协整秩上。方法只检验单个协整关系，还记得前面说过 $K$ 个变量的系统秩可以到 $K - 1$ ——如果真有多个协整向量，Engle-Granger 的检验功效会下降，而且第一步那个”选谁放左边”的归一化选择就不再无害了。对唯一的协整关系，不同归一化估出的向量只差一个标量倍数，推断不变；有多个向量时，不同归一化会落到协整空间里不同的方向上，向量不再成比例，结果实质性地依赖于你把哪个变量放左边。二元情形调换变量只是给你一个成比例的向量，变量一多就没这个保障了。处理多个向量要用 Johansen 方法，下一篇文章讲。

小样本也是个实际问题。超一致是渐近性质，Banerjee, Dolado, Hendry & Smith (1986) 表明 $T < 100$ 时 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 的偏差可能很大，而且这个偏差会传进 VECM，把调整速度的估计也带得不一致。月度数据三十年才 360 个点，日度数据倒是容易过百，但金融日度数据又有别的毛病——总之样本量要心里有数。

功效方面，Phillips & Ouliaris (1990) 记录了检验对带弱长期系数的协整功效低：关系真实存在但绑得松时，检验经常看不见。前面提过的积分阶数问题在这里再算一笔账：方法假设所有变量 I(1)，混进 I(2) 或 I(0) 渐近理论就崩了，而预检验本身也有出错概率，等于给整个流程再加一层噪声。

最后是内生性。协整回归右边的变量在 VECM 里是内生的。这对长期系数没关系——超一致救了你——但动态方程的标准误必须处理内生性，直接用 OLS 标准误是不一致的。

一个金融例子:利率期限结构

看一个协整假设有真实经济含义的例子：短期利率 $r_t$ （比如 3 个月国债）和长期利率 $R_t$ （比如 10 年期国债收益率）。两者都高度持续，都被货币政策和通胀预期驱动。如果它们协整，利差 $R_t - r_t$ （或某个缩放版本）就是平稳的。这在经济上说得通：利差是期限溢价，应该随货币政策和通胀预期的调整而随时间均值回归。

流程照前面走：把 $R_t$ 对 $r_t$ 回归， $R_t = \alpha + \beta r_t + u_t$ ；算残差 $\hat{u}_t$ ；对 $\hat{u}_t$ 跑 ADF，用 MacKinnon (1996) 的临界值。残差平稳， $R_t$ 和 $r_t$ 就协整，协整向量 $(\alpha, \beta)$ 描述短期和长期利率的长期关系。

拿美国国债的长月度样本自己跑一遍这个流程，典型结果是：Engle-Granger 检验在 5% 下拒绝无协整，估出的 $\hat{\beta}$ 小于 1——长期利率的变动小于一对一跟随短期利率；残差 $\hat{u}_t$ 高度持续、自相关很高，但平稳。具体数字随样本期变化，别把它们当常数背。翻译成人话：短期和长期利率共享一个长期均衡，利差会偏离，但偏离会回来。

对交易的含义很直接。利差远离均衡值（ $|\hat{u}_t|$ 大）时，预期它回归，可以构造均值回归交易：利差过低做多利差、过高做空，用 $\hat{\beta}$ 作对冲比率。但要清楚这笔交易赌的是什么：协整关系在状态变化时可能整个崩掉，比如美联储改政策框架。Engle-Granger 检验是纯样本内的，抓不到这种断裂。监控这笔交易，别盲目信检验。

金融里还有哪些协整关系

理论上有均衡关系的地方，就有协整检验的用武之地，而且理论往往直接预测出协整向量长什么样。国际金融里有三个经典：购买力平价（PPP）说实际汇率平稳，等价于名义汇率、国内物价水平、外国物价水平三者协整，检验就是把对数名义汇率对国内价格和外国价格回归、再对残差跑 ADF；无抛补利率平价（UIP）说汇率预期变化等于利率差，意味着对数汇率和利率差协整——但经验证据很弱，UIP 的违反持续存在；费雪效应说名义利率等于实际利率加预期通胀，意味着名义利率和通胀协整。

货币经济学里，对数货币、对数价格、对数收入协整，协整向量就是货币需求函数，这个关系几十年来一直稳定。利率这边有刚讲过的期限结构。资产定价里，在稳定的股息贴现模型下，对数股价和对数股息协整，这是现值模型的检验形式。而对交易者最实际的一条：两个协整的资产就是配对交易策略的基础——上面期限结构例子里那套”偏离做反向、 $\hat{\beta}$ 当对冲比率”的逻辑，搬到任何协整资产对上都成立。

这批例子的价值在于每一个都有理论预测的具体协整向量，实证检验于是变成对理论的表决：PPP、货币需求、期限结构被证实，UIP 和简单费雪被拒绝。

什么时候 Engle-Granger 够用

看完弱点清单，你可能觉得这方法不能用了。不是。两个变量（ $K = 2$ ）加单个协整关系，它没有秩的问题，归一化也无害，用它完全合理。探索性分析里只想快速知道协整存不存在，它是成本最低的答案。理论驱动的模型里协整向量有自然解读——比如货币需求方程 $\log M - \log P - \log Y =$ 常数——它给出的估计直接可读。

超出这个范围就该换工具了：多于两个变量、可能存在多个协整向量、或者要对协整参数做形式推断，用 Johansen 方法。下一篇文章讲它。

参考文献

Banerjee, A., Dolado, J. J., Hendry, D. F., & Smith, G. W. (1986). Exploring equilibrium relationships in econometrics through static models: Some Monte Carlo evidence. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 48(3), 253-277.
Campbell, J. Y., Lo, A. W., & MacKinlay, A. C. (1997). The Econometrics of Financial Markets. Princeton University Press. Ch. 6.
Engle, R. F., & Granger, C. W. J. (1987). Co-integration and error correction: Representation, estimation, and testing. Econometrica, 55(2), 251-276.
Engle, R. F., & Yoo, B. S. (1987). Forecasting and testing in co-integrated systems. Journal of Econometrics, 35(1), 143-159.
Granger, C. W. J., & Newbold, P. (1974). Spurious regressions in econometrics. Journal of Econometrics, 2(2), 111-120.
Hamilton, J. D. (1994). Time Series Analysis. Princeton University Press. Ch. 19.
MacKinnon, J. G. (1996). Numerical distribution functions for unit root and cointegration tests. Journal of Applied Econometrics, 11(6), 601-618.
Phillips, P. C. B., & Ouliaris, S. (1990). Asymptotic properties of residual based tests for cointegration. Econometrica, 58(1), 165-193.
Stock, J. H. (1987). Asymptotic properties of least squares estimators of cointegrating vectors. Econometrica, 55(5), 1035-1056.
Tsay, R. S. (2010). Analysis of Financial Time Series (3rd ed.). Wiley. Ch. 7-8.