资本资产定价模型：系统性风险与贝塔

1964年，Sharpe、Lintner和Mossin独立推导出了资本资产定价模型（CAPM）。它描述了证券风险与预期回报之间的关系。

核心思想

在一个有许多风险资产的世界里，投资者可以通过持有组合来分散特质性风险。但无论多少分散化都无法消除系统性风险——影响整个市场的风险。

CAPM认为：任何资产的预期回报只取决于其系统性风险，以贝塔来衡量。

CAPM公式

其中：

• $E(R_i)$ = 资产$i$的预期回报
• $R_f$ = 无风险利率
• $\beta_i$ = 资产$i$的贝塔
• $E(R_m)$ = 市场的预期回报
• $E(R_m) - R_f$ = 市场风险溢价

含义： 你获得的补偿来自两方面：

1. 货币的时间价值（$R_f$）
2. 你无法分散化的系统性风险（$\beta_i \times (E(R_m) - R_f)$）

贝塔：衡量系统性风险

贝塔衡量一只股票相对于整体市场的变动幅度。

• $\beta = 1$：股票与市场同步变动
• $\beta = 1.5$：股票变动幅度是市场的1.5倍（波动性更高）
• $\beta = 0.5$：股票变动幅度是市场的一半（波动性更低）
• $\beta = 0$：股票没有市场敞口
• $\beta < 0$：股票与市场反向变动（个股可能出现但罕见）

计算：

其中$\rho_{i,m}$是股票与市场的相关系数。

证券市场线（SML）

证券市场线是CAPM的可视化表示：

在Y轴上绘制$E(R)$，在X轴上绘制$\beta$：

• 当$\beta = 0$时，线在$R_f$处截距
• 斜率 = 市场风险溢价

低估资产： 在SML上方的股票（相同贝塔下回报更高） 高估资产： 在SML下方的股票（相同贝塔下回报更低）

CAPM的局限性

CAPM优雅但有已知弱点：

1. 单因子模型： 实际回报受市场以外的因素影响（规模、价值、动量等）

2. 贝塔不稳定： 从历史数据估计的股票贝塔可能无法预测未来贝塔

3. 市场组合不可观测： 我们用股票指数作为代理，但真实市场组合包括所有风险资产

4. 假设回报正态分布： 实际回报具有厚尾和偏度

5. 忽略特质性风险： 后来的研究（Fama-French）表明特质性风险也很重要

多因子模型

Fama-French三因子模型通过添加两个因子扩展了CAPM：

• SMB（小减大）： 小盘股回报减大盘股回报
• HML（高减低）： 高账面市值比股票回报减低账面市值比股票回报

后来的模型添加了更多因子（动量、盈利能力、投资）。

Python实现CAPM

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats

def calculate_beta(stock_returns, market_returns):
    """
    Calculate beta using covariance method.

    beta = Cov(stock, market) / Var(market)

    `np.cov` defaults to `ddof=1` (sample covariance, dividing by `N - 1`),
    while `np.var` defaults to `ddof=0` (population, dividing by `N`). Mixing
    them divides by different denominators and biases beta. Use matching `ddof`.
    """
    covariance = np.cov(stock_returns, market_returns)[0, 1]
    market_variance = np.var(market_returns, ddof=1)
    return covariance / market_variance


def calculate_beta_ols(stock_returns, market_returns):
    """
    Calculate beta using OLS regression.

    R_stock = alpha + beta * R_market + epsilon
    """
    slope, intercept, r_value, p_value, std_err = stats.linregress(
        market_returns, stock_returns
    )
    return {
        'beta': slope,
        'alpha': intercept,
        'r_squared': r_value ** 2,
        'p_value': p_value,
        'std_err': std_err
    }


def capm_expected_return(rf, beta, market_return):
    """
    Calculate expected return using CAPM.
    """
    return rf + beta * (market_return - rf)


def implied_market_premium(rf, expected_return, beta):
    """
    Back out the implied market risk premium from observed returns.
    """
    return (expected_return - rf) / beta


def security_market_line(betas, rf, market_risk_premium):
    """
    Calculate expected returns for a set of betas per the SML.
    """
    return rf + np.array(betas) * market_risk_premium


def idyosyncratic_volatility(stock_returns, market_returns):
    """
    Calculate idiosyncratic (residual) volatility after accounting for market.
    """
    slope, intercept, _, _, _ = stats.linregress(market_returns, stock_returns)
    predicted = intercept + slope * market_returns
    residuals = stock_returns - predicted
    return np.std(residuals)

提示词

用 numpy 和 scipy.stats 写一组 CAPM 工具函数:协方差法和 OLS 回归两种贝塔计算、CAPM 预期回报、隐含市场风险溢价、SML 曲线、特异性波动率。

为什么CAPM对量化分析师重要

尽管有局限性，CAPM仍然是基石，因为：

1. 基准： CAPM的市场贝塔仍然是任何组合中首先考虑的风险因子
2. 折现率： CAPM（及其多因子扩展）是我们估计DCF估值中股权成本的方式
3. 风险预算： 组合风险分解通常从市场贝塔开始
4. 因子投资： CAPM为因子投资打开了大门——理解系统性风险因子是构建量化策略的方式

参考文献

• Sharpe, “Capital Asset Prices.” Journal of Finance, 1964.
• Lintner, “Security Prices and Maximal Gains from Diversification.” Review of Economics and Statistics, 1965.
• Fama, French, “The Cross-Section of Expected Stock Returns.” Journal of Finance, 1992.
• Bodie, Kane, Marcus, Investments, Ch. 8-9. McGraw-Hill, 2020. ISBN: 978-1-26-057101-6.