CoVaR、MES 和 SRISK：度量系统性风险

2008 年之后文献里的三个系统性风险度量：Adrian-Brunnermeier 的 CoVaR、Acharya 的边际期望损失，以及 Engle 的 SRISK 指数。

第 7 篇 · 共 12 篇约 11 分钟

如果你在 2010 年做了一次监管压力测试，你会发现大银行各自看起来都没事，但加在一起很脆弱。每家银行的资本充足率都在 8% 以上，Basel II 觉得这够。但加总起来，如果几家银行同时出问题，对其他银行以及整个金融系统的传染就是灾难性的。个体风险度量漏掉了一些东西, 系统性风险，即系统之外的风险（而不是来自系统的风险）, 被严重低估了。

这就是 2008 年之后系统性风险文献的整个动机。三个度量成了经典：

Adrian & Brunnermeier (2016) 的 CoVaR, “在这家机构出事条件下，系统的 VaR”。
Acharya、Pedersen、Philippon & Richardson (2017) 的 MES, “在这家机构出事条件下，系统的期望股票损失”。
Engle、Brown & Gallo (2014) 的 SRISK, “系统崩盘时这家机构的资本缺口”。

这三个度量现在是行业标准。银行用它们做 CCAR。监管用它们做 D-SIB 认定。投资人用它们构造”反系统性”组合，下注金融稳定。这篇文章推导这三个度量，并展示它们之间的关系。

为什么系统性风险不同于独立风险

独立风险度量告诉你关于这家机构的事。系统性风险度量告诉你关于这家机构对系统风险的贡献的事。两者的区别体现在两个地方：

网络外部性。 银行 A 违约影响银行 B 的资产负债表（对手方敞口）、融资成本（银行间市场），以及更广泛的经济。这些成本没有一项由银行 A 直接承担。
条件相依。 银行 A 违约的概率依赖于其他银行违约的概率。整体资本充足不是个体资本充足的总和。

系统性风险度量试图量化这些外部性。下面三个度量方法不同，但最终估计的是同一件事：在系统出事的条件下，这家机构有多大的麻烦？

CoVaR：你出问题时系统的 VaR

最初的 CoVaR 是 Adrian & Brunnermeier (2008，2016 年发表于 American Economic Review) 的工作。核心公式是

\text{CoVaR}^\alpha_{q \mid i} = F^{-1}_q(\alpha \mid X^i = \text{VaR}^i_\alpha)

也就是：“机构 $q$ （系统，比如市场或其他银行）的损失分布的 $\alpha$ 分位数，给定机构 $i$ 的损失等于它自己的 $\alpha$ -VaR。”

减去中位数条件分位数：

\Delta\text{CoVaR}^\alpha_{q \mid i} = \text{CoVaR}^\alpha_{q \mid i} - \text{CoVaR}^{0.5}_{q \mid i}

这就分离出了 $i$ 超越其中位数贡献的增量系统性风险贡献。

估计方法是分位数回归。设 $X_q$ 是市场收益， $X^i$ 是机构 $i$ 的股票收益。我们想要的是给定 $X^i = q^i_\alpha$ （ $q^i_\alpha$ 是 $X^i$ 的 $\alpha$ 分位数）时 $X_q$ 的 $\alpha$ 分位数。

用标准的分位数回归模型：

X_q = \beta_{0,\alpha} + \beta_{1,\alpha} X^i + \epsilon

$\beta_{1,\alpha}$ 通过最小化分位数损失 $\rho_\alpha(u) = u(\alpha - \mathbb{1}(u < 0))$ 在所有观测上估计。估计给出

\widehat{\text{CoVaR}}^\alpha_q = \hat\beta_{0,\alpha} + \hat\beta_{1,\alpha} q^i_\alpha

实务上，回归是多元的，控制变量包括规模、杠杆以及其他银行的收益。Adrian & Brunnermeier 的开创性文章对 1986 年到 2008 年间 19 家美国大型银行按季度估计 CoVaR，结果显示系统性重要银行的指标在危机期间急剧上升。

解释上的问题。 CoVaR 条件于一个分位数事件（ $X^i = q^i_\alpha$ ），这本身就是一个外推。 $\alpha = 0.05$ 时， $q^i_\alpha$ 是 $X^i$ 的 5 分位，经验上能观测到。 $\alpha = 0.01$ 时，你是在观测值以下外推。分位数回归在这个区域里可能不稳定，边际系统性风险贡献 $\Delta\text{CoVaR}$ 对设定高度敏感。

CoVaR vs 因果性。 CoVaR 是关联性的，不是因果的。一家 CoVaR 高的银行可能因为规模而具有系统性重要性，不是因为任何因果上的风险通道。这是对政策用途使用 CoVaR 的主要概念性反对意见 (Andrews, 2014)。

MES：边际期望损失

由 Acharya、Pedersen、Philippon & Richardson (2017) 提出的边际期望损失在概念上比 CoVaR 更清晰。定义：

\text{MES}^i_\alpha = -\mathbb{E}[R^i \mid R_m \le q^\alpha_m]

也就是：市场收益处于最差 $\alpha$ 那一部分的日子里，机构 $i$ 的期望收益。

$\alpha = 0.05$ 时，MES 是最差 5% 日子的期望收益。对股票数据， $R^i$ 是机构 $i$ 的日收益， $R_m$ 是市场收益（比如 SPY）。

估计很直接：

\widehat{\text{MES}}^i_\alpha = -\frac{1}{N_\alpha} \sum_{t: R_{m,t} \le q^\alpha_m} R^i_t

其中 $N_\alpha$ 是市场最差 $\alpha$ 那部分日子的观测数。

Brownlees & Engle (2017) 的实务版本用回归：

R^i_t = a_i + b_i R_{m,t} + \epsilon^i_t

MES 就是给定 $R_{m,t} = q^\alpha_m$ 的条件期望：

\widehat{\text{MES}}^i_\alpha = -(\hat a_i + \hat b_i q^\alpha_m)

这跟 CoVaR 在市场 $\alpha$ 分位数处的结构完全一样, 只是解释的是期望损失而不是最坏损失。

为什么 MES 更易解释。 MES 是市场不好的时候机构 $i$ 的平均损失。没有分位数外推；阈值 $q^\alpha_m$ 是经验值，期望值是坏日子的观测平均。只要 $N_\alpha > 0$ ，这个度量对任何 $\alpha$ 都有定义。

MES 作为系统性风险贡献。 Acharya 等人主张，机构 $i$ 的监管外部性应该用它对系统损失的期望贡献来度量，而不是尾部贡献。所以：

\text{Systemic Risk Contribution}^i \propto \text{MES}^i_\alpha \times \text{Size}^i

其中规模用总资产或类似指标度量。机构 $i$ 的 SES（系统性期望损失）是它对系统损失的期望贡献的美元值：

\text{SES}^i_\alpha = \text{MES}^i_\alpha \times \text{Equity}^i \cdot \text{Leverage}^i

Acharya 等人主张 G-SIB 的资本附加费应该按 SES 比例校准。

SRISK：市场崩盘下的资本缺口

SRISK 是三者中最受监管欢迎的，因为它直接回答”这家机构需要多少资本才能在市场崩盘中活下来”。定义：

\text{SRISK}^i = E_i - \text{EMA}_K \cdot (1 - \text{LRMC})

其中 $E_i$ 是机构 $i$ 在持有期（比如 6 个月之后）的权益， $\text{EMA}_K$ 是同一持有期在市场大幅下跌情景下的权益市值，LRMC 是长期边际资本成本（一个监管贴现率）。

嗯，这其实不太对。让我更仔细一点。

SRISK (Engle, Brown & Gallo, 2014) 是机构 $i$ 在假设市场 6 个月下跌 40% 的情景下的资本缺口：

\text{SRISK}^i = \text{Capital}_i(t + h) - \text{Horizon 上需要的资本缓冲}

“资本”定义为权益账面价值加一部分负债，“缓冲”定义为风险加权资产的 8%（Basel III 最低要求）。

标准表述：

预测 6 个月的权益收益，假设市场下跌 40%。
用 DCC-GARCH 模型预测账面权益的变化。
把资本缺口算作权益下跌额减去 8% 缓冲之后的负值（如果为正）。

公式常常写成：

\text{SRISK}^i \approx \max(0, \underbrace{\bar L^i \cdot \text{LRMC}}_{\text{所需资本}} - \underbrace{K_i - \text{LRMC}(1-\text{LossMultiplier}) \cdot \text{Equity}_i}_{\text{可用资本}})

其中 LRMC（长期边际资本成本）、 $\bar L^i$ 是预测杠杆率， $K_i$ 是资本。重点是：如果 SRISK 为正，机构需要更多资本才能扛过压力；如果为零或负，它能活下来。

为什么是 40%？ Engle 的文章用 40% 作为美联储在 CCAR 2012 的压力情景。选择是一个参数；有些实现用 30% 表示温和压力，用 60% 表示严重压力。

批评。 40% 下跌本身就是个假设；这个选择有点随意。SRISK 对压力情景的选择以及对预测波动率所用的 DCC-GARCH 模型都很敏感。不同设定可以给出机构系统性风险的不同排序。

三个度量的比较

度量	问题	条件	计算
CoVaR	机构出问题时系统的 VaR	机构的分位数（1-α 分位）	分位数回归
MES	系统出问题时机构的期望损失	系统的分位数	样本均值 / 回归
SRISK	系统跌 40% 时的资本缺口	假设的 40% 下跌	前瞻 DCC-GARCH

三者相关但不相同。研究（比如 Engle et al., 2014；Adrian & Brunnermeier, 2016）报告 SIFI 之间的秩相关 0.6–0.8；地区银行之间更低。

用哪个？ 研究 / 风险归因：CoVaR 或 MES，因为它们有清晰的”如果发生什么”的解释。监管监测：SRISK，因为它直接进入压力资本。组合配置 / 反系统性交易：MES，因为它有最干净的信号噪声比（对最差 $\alpha$ 部分取稳健平均，而不是尾部分位数）。

联合估计：DCC-GARCH + Copula

三个度量的现代实现都用系统和单机构收益的联合模型。标准选择是 DCC-GARCH 建模波动率动态，加 copula 建模联合分布 (Engle & Sheppard, 2001; Patton, 2006)。

模型：

R_t \sim \mathcal{N}(0, H_t) \text{ 或肥尾替代}

H_t = D_t R D_t, \quad D_t = \text{diag}(\sigma_{1,t}, \ldots, \sigma_{n,t})

\sigma^2_{i,t} = \omega_i + \alpha_i R^2_{i, t-1} + \beta_i \sigma^2_{i, t-1}

R_t = \text{diag}(Q_t)^{-1/2} Q_t \text{diag}(Q_t)^{-1/2}

其中 $Q_t$ 服从 GARCH 类的递推：

Q_t = (1 - a - b) \bar Q + a \epsilon_{t-1} \epsilon_{t-1}^T + b Q_{t-1}

这就给出了时变条件相关。边际分布可以替换为 $t$ 或 skewed- $t$ 以处理肥尾。多元 $t$ copula 是标准的相依结构。

对 SRISK，模型用来在假设市场下跌的前提下向前 6 个月模拟联合分布。对 CoVaR 和 MES，模型用来估计条件分位数并保留合适的动态。

import numpy as np
import pandas as pd

# 用合成收益做 CoVaR / MES / SRISK 的示例演示
np.random.seed(7)
n = 1000          # 4 年日数据
mkt_vol = 0.01    # 1% 日市场波动率
idio_vol = 0.015  # 1.5% 特质波动率
beta = 1.2        # 银行对市场的 beta

# 模拟收益
market = np.random.normal(0.0003, mkt_vol, n)
idio = np.random.normal(0, idio_vol, n)
bank = 0.0005 + beta * market + idio

# alpha = 0.05 的分位数 MES
alpha = 0.05
q_market = np.quantile(market, alpha)
mes_regression = -(np.mean(bank[market <= q_market]))   # 样本均值
print(f"MES (regression / sample): {mes_regression:.5f}")

# alpha = 0.05 的分位数 CoVaR
q_bank = np.quantile(bank, alpha)

# 用分位数损失把市场对银行做回归
from scipy.optimize import minimize
def quantile_loss(params, x, y, alpha):
    a, b = params
    resid = y - (a + b * x)
    return np.sum(np.where(resid >= 0, alpha * resid, (alpha - 1) * resid))

res = minimize(quantile_loss, [0, 0], args=(bank, market, alpha), method='Nelder-Mead')
a_hat, b_hat = res.x
covar_q5 = a_hat + b_hat * q_bank
print(f"CoVaR (5% quantile regression): {covar_q5:.5f}")

# SRISK（示例）：市场跌 40%
mv_equity = 100       # 当前市值权益
book_leverage = 5     # 资产 / 权益
eq_loss = beta * 0.40  # 敏感度
new_equity = mv_equity * (1 - eq_loss)
required_capital = book_leverage * 0.08 * mv_equity
srisk = max(0, required_capital - new_equity)
print(f"SRISK (toy, 40% drop): {srisk:.2f}")

对真实数据，你应该替换为实际的市场和银行收益序列。上面这个简单版本展示了公式，但太粗糙，不能用于生产, DCC-GARCH 模型捕捉到常数 beta 回归错过的动态。

Engle 的 SRISK 指数

在实证文献里，SRISK 被 Engle、Jondeau & Rockinger (2015) 聚合成了”系统性风险指数”：

\text{SRISK Index}_t = \frac{\sum_i \text{SRISK}^i_t}{\sum_i K_i}

这是在 40% 市场下跌情景下会被抹掉的金融系统资本的比例。美国金融系统 1985 年到 2015 年的序列显示这个指数在 2008 年达到峰值（一度超过 50%），意味着美国银行业的资本在该压力下会被抹掉一半。

对单家机构，JPMorgan 的 SRISK 指数在平时约为 0%，2008Q4 峰值约为 25%。对 Lehman 在 2008Q3，SRISK 基本就是 100%, 它的崩溃在该度量下几个月前就被完全预测到了。

哪里会出错

校准样本。 CoVaR 和 MES 依赖于阈值 $q^\alpha$ ，这又对样本期敏感。2008 年的样本给出的系统性风险排序跟 2010–2015 年平静市场的样本完全不一样。

条件 vs 无条件。 三个度量都报告在某种条件下的平均值。条件是”系统处于最差 $\alpha$ “（MES/SRISK）还是”这家机构处于最差 $\alpha$ “（CoVaR），是一个选择。两个都不是”对的”条件；它们回答不同的问题。

平稳性。 一家机构的系统性风险不是常数。机构和系统都在变。用长样本来估计”当前”的系统性风险度量可能误导。Engle 的 SRISK “滚动窗口”变种用 6 个月窗口估计波动率模型，捕捉最近的动态。

截面比较。 度量应该按相对系统性风险对机构排序。但绝对值依赖于模型。比较度量时用秩相关而不是绝对相关。

这些度量用在哪里

美联储和 CCAR。 美联储年度的综合资本分析审查（CCAR）使用 DFAST 压力测试（最初是 DFAST 2009，现在是 CCAR），它是经过具体校准的情景。所需资本的计算逻辑跟 SRISK 类似，要求 9% 的压力后资本充足率。

欧盟 EBA 压力测试。 欧洲银行业管理局使用类似压力情景。它们不严格等同于 SRISK，但精神是一样的：在压力下预测资本、识别系统重要性银行、校准资本附加费。

G-SIB 认定。 Basel 委员会的 G-SIB（全球系统重要性银行）名单使用一个综合了规模、互联性、可替代性、复杂性和司法管辖因素的分数。这里的系统性风险度量（CoVaR、MES、SRISK）是这个分数的输入；没有哪一个是最终答案。

投资人策略。 Acharya 等人和 Engle 等人都提出过”反系统性”或”系统性做空”策略，做多系统性风险贡献低的银行，做空（或低配）系统性风险贡献高的。实证结果不一；价差通常很小，但策略能扛过交易成本。

小结

三个系统性风险度量，三个不同的问题，三种不同的条件事件。CoVaR 条件于机构出问题时，问系统的风险。MES 条件于系统出问题时，问机构的期望损失。SRISK 回答监管问题”这家机构需要多少资本才能扛过压力”。

选择取决于用途。对系统性重要性的研究，MES 最干净。对监管资本，SRISK 最接近答案。对尾部敏感性，CoVaR 提供一个互补的分位数视角。

更深一层的洞见是：这些都不能替代一个合格的金融系统结构模型, 它们只是收益数据的统计概括。真实的系统性风险来自网络结构（对手方敞口、共同资产持有、支付系统依赖），基于收益的度量近似得很粗糙。但它们是我们手头能用的实务工具，比完全没用要好。

参考文献

Acharya, V. V., Pedersen, L. H., Philippon, T., & Richardson, M. (2017). Measuring systemic risk. Review of Financial Studies, 30(1), 2-47.

Adrian, T., & Brunnermeier, M. K. (2016). CoVaR. American Economic Review, 106(7), 1705-1741.

Andrews, I. (2014). CoVaR: comment. Harvard Economics Discussion Paper.

Brownlees, C., & Engle, R. F. (2017). SRISK: a conditional capital shortfall measure of systemic risk. Review of Financial Studies, 30(1), 48-79.

Engle, R. F., Brown, B. S., & Gallo, M. (2014). Measuring and modeling systemic risk. NYU Working Paper.

Engle, R. F., Jondeau, E., & Rockinger, M. (2015). Stress testing banks: a note on SRISK. NYU Working Paper.

Engle, R. F., & Sheppard, J. (2001). Theoretical and empirical properties of dynamic conditional correlation multivariate GARCH. NYU Working Paper.

McNeil, D., Frey, R., & Embrechts, P. (2010). Quantitative Risk Management. Princeton University Press. Ch. 8.

Patton, A. J. (2006). Modelling asymmetric exchange rate dependence. International Economic Review, 47(2), 527-556.