Hull-White 和 HJM：时变利率与无套利条件

Hull-White 扩展到时变参数，HJM 框架，以及 Heath-Jarrow-Morton 无套利漂移条件。

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像 Vasicek 和 CIR 这样的单因子高斯模型很优雅，但它们不能拟合任意的初始期限结构。如果今日的贴现曲线是驼峰形、倒挂或者其他非平凡形状，常数参数模型会给出错误价格。修正是让参数变成时变的。Hull and White (1990, 1993) 对短期利率这么做了，Heath, Jarrow, and Morton (1992) 对整个远期利率曲线这么做了。合起来，它们构成了从业者利率建模的主力框架。

这篇文章推导两者，给出把远期利率漂移和波动率联系起来、保证模型无套利的条件，并解释为什么 HJM 是 Hull-White 作为特例的自然一般框架。

Hull-White 扩展

Hull-White 通过把时间依赖加入参数来修改 Vasicek：

dr_t = [\theta(t) - \kappa r_t] \, dt + \sigma \, dW_t^{\mathbb{Q}}

注意和 Vasicek 的区别：长期均值现在是时变函数 $\theta(t) / \kappa$ ，不是常数。波动率仍是常数。这让模型有足够灵活性来拟合任何初始贴现曲线。

均值回归 $\kappa$ 也可以变成时变的，但标准形式保持它为常数而变化 $\theta$ 。债券价格公式仍然是指数仿射的：

P(t, T) = A(t, T) \exp(-B(t, T) r_t)

其中

B(t, T) = \frac{1}{\kappa}(1 - e^{-\kappa(T-t)})

和 Vasicek 同样的 $B$ 。但 $A(t, T)$ 现在依赖于 $\theta(\cdot)$ ：

A(t, T) = \frac{P^M(0, T)}{P^M(0, t)} \exp\left[B(t, T) f^M(0, t) - \frac{\sigma^2}{4\kappa} B(t, T)^2 (1 - e^{-2\kappa t})\right]

其中 $P^M(0, T)$ 是到期日 $T$ 在时刻 0 的市场贴现债券价格， $f^M(0, t)$ 是市场瞬时远期利率。所以 $A(t, T)$ 被选择让模型恰好拟合初始市场曲线。

这是关键的创新： $\theta(t)$ 不是自由参数，而是由 $P(0, T) = P^M(0, T)$ 对所有 $T$ 成立的要求所决定。有了这个选择，模型完美拟合当前曲线，同时保持闭式债券价格和可处理的动态。

为什么 Hull-White 能拟合曲线

在时刻 0，债券价格公式给出

P(0, T) = A(0, T) \exp(-B(0, T) r_0)

为了让这等于 $P^M(0, T)$ 对所有 $T$ ，我们需要

A(0, T) = P^M(0, T) \exp(B(0, T) r_0)

代入用 $A(0, T)$ 和 $B(t, T)$ 表示的 $A(t, T)$ 表达式，我们得到上述公式。结果是模型在 $t = 0$ 处精确拟合曲线。

对 $t > 0$ ，模型演化。债券价格依赖于已实现的 $r_t$ ，动态由 $\theta(t)$ 支配，它编码了市场在为 $r$ 路径定价的内容。

这是个聪明的技巧：与其从历史数据估计参数（在校准日会给出错误曲线），Hull-White 用当前市场曲线作为输入。唯一的自由参数是 $\kappa$ 和 $\sigma$ ，它们控制利率的动态而非水平。

Hull-White 树

对依赖未来利率路径的利率衍生品（抵押贷款支持证券、可赎回债券、百慕大掉期期权）定价，Hull-White 通常实现为三叉树。树把短期利率动态离散化，在每个节点，债券价格用闭式公式计算。

树通过在每个节点存储路径信息来处理路径依赖收益。对美式或百慕大式执行特征，树可以通过反向归纳计算最优执行策略。

波动率 $\sigma$ 控制树如何分叉。均值回归 $\kappa$ 控制回归到 $\theta(t)$ 的趋势。树可以校准以同时拟合初始曲线（通过 $\theta$ ）和掉期期权波动率曲面（通过作为行权价和到期日函数的 $\sigma$ ，在扩展版本中）。

Hull-White 树快速、准确、在行业中被广泛使用。许多银行有专有变种，带更多因子或时变波动率。

Heath-Jarrow-Morton 框架

Heath, Jarrow, and Morton (1992) 采取了不同路径。不是对短期利率 $r_t$ 建模然后推导远期曲线，他们直接对瞬时远期利率 $f(t, T)$ 建模。远期利率 $f(t, T)$ 是时刻 $t$ 能锁定的、用于时刻 $T > t$ 交割的合约利率。

HJM 模型对每个到期日 $T$ 指定远期利率满足

df(t, T) = \alpha(t, T) \, dt + \sigma(t, T) \, dW_t

这里 $\alpha(t, T)$ 是漂移， $\sigma(t, T)$ 是波动率，两者都可以依赖于 $t$ 和 $T$ 。HJM 框架让你自由指定波动率并从无套利推出漂移。

远期利率满足一个关键关系：

r_t = f(t, t)

即短期利率等于同一时刻的瞬时远期利率。这把 HJM 框架和我们的短期利率模型连起来。

HJM 无套利漂移条件

HJM 的重要结果是无套利漂移条件。让模型无套利，每个远期利率的漂移必须满足

\alpha(t, T) = \sigma(t, T) \int_t^T \sigma(t, u) \, du

对一维布朗运动情形。在带布朗运动向量 $\mathbf{W}_t$ 和波动率向量 $\boldsymbol{\sigma}(t, T)$ 的多因子情形，

\alpha(t, T) = \boldsymbol{\sigma}(t, T) \cdot \int_t^T \boldsymbol{\sigma}(t, u) \, du

这说明：远期利率的漂移是其瞬时波动率与累积波动率积分的内积。这不是自由选择，它由无套利强制。

直觉：如果你想要到期日 $T$ 的远期利率有波动率 $\sigma(t, T)$ ，漂移必须补偿风险溢价。风险溢价是远期利率和贴现债券的协方差，由无套利等于波动率平方的积分。所以漂移是波动率和积分波动率的内积。

这是个漂亮的结构性结果。它说：选你喜欢的任何波动率结构，模型配上正确的漂移就是无套利的。然后你可以校准波动率以拟合掉期期权价格或其他工具，模型将是一致的。

为什么 HJM 推广了 Hull-White

Hull-White 是 HJM 的特例。在 Hull-White 中，短期利率是常数波动率 $\sigma$ 的高斯。远期利率波动率由下式和短期利率波动率关联

\sigma(t, T) = \sigma e^{-\kappa(T-t)}

这就是产出 Hull-White 短期利率动态的 HJM 波动率。代入无套利漂移条件：

\alpha(t, T) = \sigma(t, T) \int_t^T \sigma(t, u) \, du = \sigma e^{-\kappa(T-t)} \cdot \frac{\sigma}{\kappa}(1 - e^{-\kappa(T-t)})

= \frac{\sigma^2}{\kappa} e^{-\kappa(T-t)} (1 - e^{-\kappa(T-t)})

然后远期利率动态是

df(t, T) = \frac{\sigma^2}{\kappa} e^{-\kappa(T-t)} (1 - e^{-\kappa(T-t)}) \, dt + \sigma e^{-\kappa(T-t)} \, dW_t

短期利率 $r_t = f(t, t)$ 满足 $df(t, t) = \alpha(t, t) \, dt + \sigma(t, t) \, dW_t$ ，给出 Hull-White SDE，其中 $\theta(t)$ 被选择以匹配曲线。

所以 Hull-White 是带特定波动率结构 $\sigma(t, T) = \sigma e^{-\kappa(T-t)}$ 的 HJM 模型。 $\sigma(t, T)$ 的其他选择给出其他单因子高斯短期利率模型。HJM 框架是最通用的高斯期限结构模型。

多因子 HJM

实际中，你需要多个因子来拟合波动率曲面。多因子 HJM 模型使用 $d$ 个布朗运动和波动率向量 $\boldsymbol{\sigma}_i(t, T)$ 。漂移条件变成

\alpha(t, T) = \sum_{i=1}^d \sigma_i(t, T) \int_t^T \sigma_i(t, u) \, du

一个流行的选择是用收益率曲线的主成分作为因子。前三个 PC 通常解释超过 95% 的收益率曲线变化：水平、斜率、曲率。带这些因子的三因子 HJM 模型捕捉到大多数经验动态。

校准：把因子载荷拟合到历史收益率变化上，因子波动率拟合到历史因子变化上。然后模型有显式动态，可以用来模拟收益率曲线。

对利率衍生品定价，模拟方法常常比树方法更容易。在风险中性测度下生成许多收益率曲线路径，在每条路径上计算衍生品收益，然后平均。这是 HJM 的标准 Monte Carlo 方法。

Musiela 参数化

HJM 的一种常见重参数化用 Musiela 参数化，它把状态变量保持在固定到期时间而非固定到期日。定义

x_t(\tau) = f(t, t + \tau)

对到期时间 $\tau \geq 0$ 。 $x_t(\tau)$ 的动态是

dx_t(\tau) = \frac{\partial x_t}{\partial \tau} d\tau + \alpha(t, t+\tau) \, dt + \sigma(t, t+\tau) \, dW_t

优点： $x_t(\tau)$ 是由固定变量 $\tau$ 索引的过程，像一个泛函的状态。这对无穷维分析以及某些数值方法（特别是在函数空间上的 PDE 定价）方便。

Musiela 参数化也是 Brace-Gatarek-Musiela (BGM) 模型对 LIBOR 利率的基础，它是用于奇异利率衍生品（掉期期权、cap、floor）定价的行业标准。

Hull-White 下 Cap 和 Floor 定价

对浮动利率的 cap 在每个重设日支付浮动利率减去行权价的差额，下限为零。cap 的价格是一组 caplet 的组合，每个 caplet 是对未来短期利率的看涨期权。

在 Hull-White 下，短期利率是高斯的，所以在第 $i$ 个重设日的 $r_{T_i}$ 的分布是高斯的。Caplet 价格因此是带 Hull-White 波动率参数的 Black 风格公式：

\text{Caplet}_i = P(0, T_i) \cdot \text{BlackCall}(K, F_i, \sigma_i \sqrt{T_i - T_{i-1}})

其中 $F_i$ 是该期间的远期利率， $\sigma_i$ 和 Hull-White 波动率相关。精确的关系涉及一个调整因子。

这和 Black 公式有同样形式，Hull-White 波动率扮演 Black 波动率的角色。实际中，你从市场 cap 报价反推隐含波动率，然后拟合 Hull-White 参数到波动率曲面。

Ho-Lee 特例

Ho and Lee (1986) 提出最简单的 HJM 模型： $\sigma(t, T) = \sigma$ （常数）。这对应没有均值回归的短期利率：

dr_t = \theta(t) \, dt + \sigma \, dW_t

漂移 $\theta(t)$ 被选择以拟合初始曲线。模型是高斯的、没有均值回归，实践中很少用，因为它产生不真实的利率动态（利率可以无界漫游）。

Ho-Lee 主要有历史意义。它是拟合任意初始曲线的第一个无套利模型。它是 Hull-White 的父亲，加上了均值回归。

一个校准配方

这里是校准 Hull-White 到贴现曲线和掉期期权波动率曲面的工作配方。

拟合初始曲线。 用市场贴现债券价格 $P^M(0, T_i)$ 对一组到期日。模型通过 $\theta(t)$ 函数自动拟合这些。
选 $\kappa$ 。 这控制均值回归。典型值是 0.01 到 0.5 年化。 $\kappa$ 高意味着利率回归更快。校准到 ATM 掉期期权价格：ATM 波动率依赖于 $\kappa$ 。
选 $\sigma$ 。 这是短期利率波动率。校准到 ATM 掉期期权价格或历史利率变化时间序列。典型值是 0.005 到 0.02 年化。
时变波动率（可选）。 对非 ATM 掉期期权，你可能需要 $\sigma(t)$ 随时间变化。这破坏了闭式债券价格但允许拟合波动率曲面。

对 vanilla 实现， $\kappa$ 和 $\sigma$ 就够了。

import numpy as np
from scipy.optimize import brentq

def hw_bond_price(r0, kappa, sigma, t, T, theta):
    B = (1 - np.exp(-kappa * (T - t))) / kappa
    integral = theta * (T - t) - (theta/kappa) * (1 - np.exp(-kappa * (T - t)))
    var_term = (sigma**2 / (2 * kappa**2)) * (T - t + (1/(2*kappa))*(1 - np.exp(-2*kappa*(T-t))) - (2/kappa)*(1 - np.exp(-kappa*(T-t))))
    return np.exp(integral + 0.5 * var_term - B * r0)

这是个结合时变 $\theta$ 的数值实现。对实际使用，你会通过下式从初始曲线计算 $\theta(t)$ ：

\theta(t) = \frac{\partial f^M(0, t)}{\partial t} + \kappa f^M(0, t) + \frac{\sigma^2}{2\kappa}(1 - e^{-2\kappa t})

其中 $f^M(0, t)$ 是市场瞬时远期利率。这个公式确保模型拟合初始曲线。

HJM 作为通用框架

HJM 框架是带马尔可夫短期利率动态的最通用高斯期限结构模型。每个高斯短期利率模型（Vasicek、CIR、Hull-White、Ho-Lee、扩展 CIR）都是带特定波动率结构 $\sigma(t, T)$ 的 HJM 特例。

对非高斯模型（CIR、跳跃扩散、体制切换），HJM 不直接适用。但无套利的想法（漂移由波动率强制）延伸下去。一般地，对任何 $df(t, T) = \alpha \, dt + \sigma \, dW$ 的远期利率模型，无套利意味着

\alpha(t, T) = \sum_i \sigma_i(t, T) \int_t^T \sigma_i(t, u) \, du

不管波动率是高斯还是跳跃驱动的。

这就是 Brace-Gatarek-Musiela 推广，它是 LIBOR 市场模型的基础。我们不展开细节，但原则相同：选波动率结构，漂移被强制。

为什么均值回归重要

Hull-White 的均值回归 $\kappa$ 对价格和风险有真实影响。 $\kappa$ 更高：

利率更快回归 $\theta$ ，所以长期利率波动率较低。
债券价格对当前利率的敏感度更低（因为利率更可能回归）。
期权价格（cap、floor）对长期限有更低隐含波动率。

经验上，利率中的均值回归适中。2-5 年的半衰期是典型的。忽略均值回归的校准（Ho-Lee、BGM 带 $\kappa = 0$ ）高估长期波动率。

均值回归也影响风险管理。长期限债券头寸在 Hull-White 下比 Ho-Lee 下风险更低，因为利率更可能回归合理水平。对资产负债匹配（养老金、保险），均值回归是保持长期预测合理的必要条件。

需要带走的要点

Hull-White 通过加入拟合任何初始贴现曲线的时变漂移扩展 Vasicek。模型有闭式债券价格和可处理动态。HJM 框架推广到任意远期利率波动率结构，漂移由无套利条件决定。Hull-White 是最流行的从业者模型；HJM 是最通用的高斯框架。

两者都依赖一个漂亮的结构性结果：远期利率的漂移是其波动率与累积波动率积分的内积。选任何波动率，得到一致模型。校准是容易的部分。无套利条件做了重活。

参考文献：Hull and White (1990, 1993)；Heath, Jarrow, and Morton (1992)；Brigo and Mercurio (2006)，第 3-4 章；Hull (2018)，第 32 章（Hull-White 单因子模型）和第 33 章（HJM 框架）。HJM 论文获得了 Journal of Financial Econometrics 杰出作者奖。它配得上这个奖。

对债券定价，关键事实是 $P(t, T)$ 对 $r_t$ 是指数仿射的，系数随时间吸收初始曲线。对无套利，关键事实是漂移-波动率关系。其他一切从这两个事实衍生。掌握它们，你就有了所有高斯期限结构模型的基础。

Ho-Lee 树，简述

Ho-Lee 是拟合初始曲线的第一个无套利模型。模型使用 $\sigma(t, T) = \sigma$ （常数波动率）。对应的短期利率 SDE 是

dr_t = \theta(t) \, dt + \sigma \, dW_t^{\mathbb{Q}}

其中 $\theta(t)$ 被选择以拟合曲线。原论文用二项树给债券期权定价。

树通过把时间离散成步长 $\Delta t$ 的步来构建。在每个节点，短期利率可以以 $\sigma \sqrt{3 \Delta t}$ 上升或下降。终端树值被设置为拟合每个到期日的债券价格。树是重新组合的（先上后下等于先下后上）。

Ho-Lee 树容易实现，但对长期限权益准确性差，因为离散误差累积。Hull-White 树通过加入均值回归来改进，让利率保持在合理范围。

Brace-Gatarek-Musiela (BGM) 模型

Ho-Lee/Hull-White 框架对瞬时短期利率建模。BGM 模型 (1997) 采取不同路径：直接对远期 LIBOR 利率建模。这对给 LIBOR 上的衍生品定价更有用，LIBOR 是浮动利率票据和利率掉期的标准参考利率。

LIBOR $L(t, T_i, T_{i+1})$ 在区间 $[T_i, T_{i+1}]$ 上的 BGM 动态是

\frac{dL(t, T_i, T_{i+1})}{L(t, T_i, T_{i+1})} = \mu_i(t) \, dt + \sigma_i(t) \, dW_t

其中 $\mu_i(t)$ 是由无套利决定的漂移， $\sigma_i(t)$ 是波动率。波动率通常被参数化为 $\sigma_i(t) = \phi_i L(t, T_i, T_{i+1})$ 或某类似函数。模型足够丰富来拟合掉期期权波动率曲面。

BGM 模型已经成为给利率衍生品定价的行业标准，特别是在金融危机之后，当时 LIBOR 市场模型是估值奇异产品的默认工具。它把 HJM 推广到离散 tenor 设定（特定重设日而非连续时间）。

远期利率和债券价格

远期利率 $f(t, T)$ 和债券价格 $P(t, T)$ 由下式关联

f(t, T) = -\frac{\partial \log P(t, T)}{\partial T}

对无套利模型，这个关系必须成立。HJM 框架指定 $f$ 的动态，债券价格通过积分推出：

P(t, T) = P(t, T_0) \exp\left(-\int_{T_0}^T f(t, u) \, du\right)

对某个参考到期日 $T_0$ 。短期利率是 $T \to t$ 时的极限：

r_t = f(t, t) = \lim_{T \to t} f(t, T)

实际中，你没有连续远期利率。你有特定 tenor（1m、3m、6m、1y 等）的离散远期利率。HJM 模型的离散形式就是 BGM 模型。

实践中的多因子模型

对准确给路径依赖或波动率敏感权益定价，你需要多因子 HJM。标准方法：

估计历史收益率变化的主成分。
用 3 个因子（水平、斜率、曲率）作为可处理模型。
从历史数据指定因子波动率。
从数据校准因子相关性。

得到的模型有 3-6 个自由参数（因子波动率、相关系数、均值回归速率）。它拟合波动率曲面比单因子模型更好，对路径依赖权益给出合理价格。

多因子 HJM 是大多数银行用来定价奇异产品的 LIBOR 市场模型的基础。实现可以是 Monte Carlo（最常见）、PDE（对低维情形）、或求积（对解析近似）。

离散时间的漂移条件

对一组离散 tenor $T_i$ 的远期利率 $L_i(t)$ ，离散时间的 HJM 漂移条件是

\mu_i(t) = \sum_{j \geq i} \frac{\delta_j \sigma_i(t) \sigma_j(t) L_j(t)}{1 + \delta_j L_j(t)}

其中 $\delta_j = T_{j+1} - T_j$ 是天数计分数，求和遍历时刻 $t$ 时可观测的所有 tenor $T_j$ 。这是 HJM 漂移条件的离散版本。

这个公式说：第 $i$ 个远期利率的漂移依赖于第 $i$ 个利率的波动率和所有后续利率的波动率，按它们的久期加权。直觉：后续远期利率的变动影响该 tenor 债券的价值，通过贴现因子影响第 $i$ 个远期利率的定价。

在 Monte Carlo 中实现直接：用每个远期利率的漂移和波动率模拟它们，无套利条件保证价格是一致。

一段历史闲话

Heath, Jarrow, Morton 的 1992 年论文是突破，因为它把所有早期期限结构模型统一在一个框架中。HJM 之前，每个模型（Vasicek、CIR、Ho-Lee）是独立构造，有自己的动态和局限性。HJM 之后，每个模型都是通用框架的特例，焦点转向指定波动率结构。

HJM 漂移条件是金融里最通用的无套利结果之一。它适用于高斯模型、跳跃扩散模型、体制切换模型，甚至一些随机波动率模型。只要底层噪声是鞅，漂移由无套利强制。

这种通用性是 HJM 成为 LIBOR 市场模型基础以及大多数现代利率衍生品定价依据的原因。