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GARCH 家族扩展:不对称、幂与多元

负收益推高波动率比正收益更狠，普通 GARCH 看不见这件事。讲 GJR、EGARCH、APARCH 怎么把符号塞回方差方程，长记忆和成分模型补什么，DCC 怎么把波动率建模推到多资产。

第 10 篇 · 共 12 篇 约 13 分钟

普通 GARCH 对正负冲击一视同仁：2% 的下跌和 2% 的上涨，对次日方差的影响完全相同。数据不同意。自 Black (1976) 以来我们就知道，负收益推高波动率比同幅度的正收益更多。这个不对称性真实存在、跨市场稳健，而且有经济后果——期权市场的波动率偏斜背后就有它。

方差方程只吃 εt−12\varepsilon_{t-1}^2，冲击的符号在平方那一步就丢了——这是 GARCH(1,1) 结构里写死的盲区。类似的盲区还有：平方收益的自相关衰减得比 GARCH 允许的慢得多（长记忆），以及资产之间的相关性会动、尤其在危机里动得凶（多元问题）。GARCH 家族的各路扩展就是围着这几个缺口长出来的。这篇文章按缺口挨个讲，每个扩展都要过同一道关：加的参数在样本外挣不挣得回来。教科书出处是 Tsay (2010, 第 3、7 章) 和 Francq & Zakoian (2010, 第 7-10 章)，原始论文用到哪篇引哪篇。

杠杆效应

Black (1976) 观察到股票波动率在股价下跌时上升，并给了一个字面解释：股价跌，债务权益比升，公司风险变大，波动率跟着变大——所以叫杠杆效应。名字流传了下来，解释却没有完全站住：股指波动率里同样有这个效应，而指数没有资产负债表可加杠杆。波动率反馈、风险溢价变化、行为效应都被提出来补位，机制之争至今没有定论。但经验事实本身没有争议：负收益之后的波动率系统性地高于同幅度正收益之后的波动率。

要抓这个不对称，就得把符号重新塞回方差方程。下面三个模型给了三种塞法。

GJR-GARCH:给负冲击加一个开关

Glosten, Jagannathan & Runkle (1993) 的做法最直接——加一个只在负冲击时开启的项：

σt2=ω+αεt−12+γεt−121[εt−1<0]+βσt−12\sigma_t^2 = \omega + \alpha \varepsilon_{t-1}^2 + \gamma \varepsilon_{t-1}^2 \mathbb{1}[\varepsilon_{t-1} < 0] + \beta \sigma_{t-1}^2

指示变量 1[εt−1<0]\mathbb{1}[\varepsilon_{t-1} < 0] 在上期冲击为负时取 1，否则取 0。于是负冲击在方差递推里的权重是 (α+γ)(\alpha + \gamma)，正冲击只有 α\alpha；估出 γ>0\gamma > 0，就是杠杆效应的量化表达。参数约束 ω>0\omega > 0、α≥0\alpha \geq 0、α+γ≥0\alpha + \gamma \geq 0、β≥0\beta \geq 0 保证方差为正。

平稳性条件有个容易记错的地方：GJR(1,1) 的持续性参数不是 α+γ+β\alpha + \gamma + \beta，而是 α+γ/2+β\alpha + \gamma/2 + \beta。那个 1/2 来自对称创新分布下负冲击恰好占一半的概率——杠杆项平均只有一半时间在工作。这个量小于 1，过程协方差平稳。

把 E[σt+12∣εt]E[\sigma_{t+1}^2 \mid \varepsilon_t] 画成 εt\varepsilon_t 的函数，就得到新闻冲击曲线，它现在是不对称的：εt>0\varepsilon_t > 0 一侧是 ω+αεt2+βσ2\omega + \alpha \varepsilon_t^2 + \beta \sigma^2，关于 εt2\varepsilon_t^2 线性；εt<0\varepsilon_t < 0 一侧斜率抬高到 (α+γ)(\alpha + \gamma)。曲线在零点有个扭折，负侧更陡——坏消息对明天方差的边际影响更大，这正是数据要求的形状。

代码上这个模型几乎不增加成本，arch 包里加一个参数就有：

from arch import arch_model


model = arch_model(r, mean='Constant', vol='GARCH', p=1, o=1, q=1, dist='t')
# o=1 加杠杆项(gamma)
result = model.fit()
print(result.summary())

# 条件波动率
vol = result.conditional_volatility

# 新闻冲击曲线:代入各种大小的冲击
import numpy as np
shocks = np.linspace(-0.05, 0.05, 21)
params = result.params
omega, alpha, gamma, beta = params['omega'], params['alpha[1]'], params['gamma[1]'], params['beta[1]']
long_run_var = omega / (1 - alpha - gamma/2 - beta)
nic = omega + alpha * shocks**2 + gamma * shocks**2 * (shocks < 0) + beta * long_run_var

EGARCH:换到对数尺度

Nelson (1991) 走另一条路：不给方差打补丁，直接建模对数方差。

log⁡σt2=ω+∑j=1qαjg(zt−j)+∑i=1pβilog⁡σt−i2\log \sigma_t^2 = \omega + \sum_{j=1}^q \alpha_j g(z_{t-j}) + \sum_{i=1}^p \beta_i \log \sigma_{t-i}^2

其中 g(z)=θz+γ[∣z∣−E∣z∣]g(z) = \theta z + \gamma [|z| - E|z|]，zt=εt/σtz_t = \varepsilon_t / \sigma_t 是标准化残差。函数 gg 在 zz 上天然不对称：正 zz 贡献 θz+γ(z−2/π)\theta z + \gamma(z - \sqrt{2/\pi})，负 zz 贡献 θz+γ(−z−2/π)\theta z + \gamma(-z - \sqrt{2/\pi})（标准正态下 E∣z∣=2/πE|z| = \sqrt{2/\pi}）。这个构造把两种不对称拆开了：θ<0\theta < 0 是符号效应——负收益比正收益更抬对数方差；γ>0\gamma > 0 是大小效应——大冲击比小冲击更抬方差，与符号无关。GJR 把两种效应混在一个 γ\gamma 里，EGARCH 各给一个参数。

对数尺度带来的方便是实打实的。log⁡σt2\log \sigma_t^2 可以取任何实数，指数变换自动保证 σt2>0\sigma_t^2 > 0，于是不需要任何正性约束；MLE 优化在无约束参数空间里跑，比在 ≥0\geq 0 的边界附近爬要省心；平稳性也只要求 ∑βi<1\sum \beta_i < 1，对 α\alpha 没有限制。但方便有对价：当 log⁡σt2\log \sigma_t^2 走到很负的区域，指数变换会把小扰动放大成极端值，递推在数值上是脆弱的；多步预测因为对数变换的 Jensen 项，可能跟 GARCH 的预测差得很远；而且它不如 GARCH 或 GJR 直观，方差方程里的系数没有”权重”那种直接读法。

经验上，EGARCH 和 GJR-GARCH 的样本内拟合经常不相上下，样本外预测却可能分道扬镳。两者之间的选择，实践里往往取决于你熟悉哪个软件包，而不是什么深层理论考量——这不是讽刺，是描述现状。

APARCH:连幂次也交给数据

Ding, Granger & Engle (1993) 的 APARCH（Asymmetric Power ARCH，非对称幂 ARCH）问了一个更激进的问题：凭什么建模的对象一定是方差（二次幂）？让数据自己选幂：

σtδ=ω+∑i=1qαi(∣εt−i∣−γiεt−i)δ+∑j=1pβjσt−jδ\sigma_t^\delta = \omega + \sum_{i=1}^q \alpha_i (|\varepsilon_{t-i}| - \gamma_i \varepsilon_{t-i})^\delta + \sum_{j=1}^p \beta_j \sigma_{t-j}^\delta

其中 δ>0\delta > 0 是幂，γi\gamma_i 是不对称参数。这个框架把前面的模型都装了进去：δ=2\delta = 2、γi=0\gamma_i = 0 退化为标准 GARCH；δ=1\delta = 1、γi≠0\gamma_i \neq 0 是绝对值尺度上的门限式非对称模型（Zakoian, 1994 的 TGARCH，与 GJR 同族）；δ=1\delta = 1、γi=0\gamma_i = 0 是绝对偏差上的 GARCH（少见）；一般的 δ≠2\delta \neq 2 相当于对波动率做 Box-Cox 变换。

有意思的是估出来的 δ\delta：日度股票收益上通常落在 1 到 2 之间，而且偏向 1。这在说，用绝对偏差建模比用平方偏差更接近数据想要的形状。但知识上的有趣没有兑换成预测上的优势——实践中 APARCH 在样本外很少胜过 GJR 或 EGARCH。这是本文的判断标准第一次开铡：多出来的自由度，样本内吃得饱，样本外挣不回来。

用非对称 GARCH 做预测

不对称模型的多步预测比对称 GARCH 多一个环节：杠杆项是否触发取决于未来冲击的符号，预测时只能用它的概率。对 GJR(1,1)，hh 步条件方差预测是

E[σT+h2∣FT]=σ2+(α+γ⋅P(ε<0)+β)h−1(α+γ/2+β)(σ^T+12−σ2)E[\sigma_{T+h}^2 \mid \mathcal{F}_T] = \sigma^2 + (\alpha + \gamma \cdot P(\varepsilon < 0) + \beta)^{h-1} (\alpha + \gamma/2 + \beta) (\hat{\sigma}_{T+1}^2 - \sigma^2)

其中 P(ε<0)P(\varepsilon < 0) 是负冲击的无条件概率，对称创新下就是 1/2。只要 α+γ⋅P(ε<0)+β<1\alpha + \gamma \cdot P(\varepsilon < 0) + \beta < 1，预测就几何收敛到无条件方差 σ2\sigma^2。注意预测依赖分布假设：Student-tt 创新对称，P(ε<0)P(\varepsilon < 0) 仍是 1/2，收敛速率与高斯情形相同，但无条件方差的公式变了，σ2\sigma^2 的水平不同。

要的是收益的预测区间而不是方差点预测，就前向模拟：每步从拟合的分布抽 zt∼tνz_t \sim t_\nu，按递推算 σt2\sigma_t^2，产出 r^t=μ+σtzt\hat{r}_t = \mu + \sigma_t z_t，重复 10000 条路径，取模拟分布的 5% 和 95% 分位数得 90% 预测区间。别忘了这套区间没算参数不确定性——把估计参数当真值用，区间会偏窄，在意的话用 bootstrap 或贝叶斯方法。

长记忆:FIGARCH 与它的麻烦

不对称补完了，看第二个盲区。标准 GARCH(1,1) 隐含的平方收益自相关是几何衰减的，而数据里它们双曲衰减，慢得多：日度股票收益 rt2r_t^2 的自相关函数看起来像 ρh∼h−d\rho_h \sim h^{-d}，dd 大约在 0.3 到 0.5。几何衰减的模型追不上双曲衰减的数据，高阶滞后的信息就丢了。

FIGARCH（Baillie, Bollerslev & Mikkelsen, 1996）把分数差分引入方差递推来补这个缺口，FIGARCH(1,dd,1) 写作

σt2=ω+[1−βL−(1−ϕL)(1−L)d]εt2+βσt−12\sigma_t^2 = \omega + [1 - \beta L - (1 - \phi L)(1 - L)^d] \varepsilon_t^2 + \beta \sigma_{t-1}^2

算子 (1−L)d(1 - L)^d（0<d<10 < d < 1）展开成无穷阶滞后多项式，系数双曲衰减，正好制造出想要的长记忆。Davidson (2004) 的 HYGARCH 是它的推广。

但 FIGARCH 在估计上声名狼藉：似然理论非标准（极限情形涉及无穷方差过程），标准误不可靠、经常得靠 bootstrap，似然曲面还有多个局部极值。所以对它有一个清醒的看法：FIGARCH 本质上是高阶 GARCH（比如系数受约束的 GARCH(50,50)）的精简近似。如果你能拟合高阶 GARCH，就不需要 FIGARCH；不能（参数太多），FIGARCH 用少得多的参数给出类似的拟合。它是参数预算紧张时的工程方案，不是新的真理。

长记忆和不对称可以合并。FIEGARCH（Bollerslev & Mikkelsen, 1996）把分数差分算子搬到 EGARCH 的对数方差递推上，示意形式是

log⁡σt2=ω+[1−βL−(1−ϕL)(1−L)d]g(zt−1)+βlog⁡σt−12\log \sigma_t^2 = \omega + [1 - \beta L - (1 - \phi L)(1 - L)^d] g(z_{t-1}) + \beta \log \sigma_{t-1}^2

同时捕捉长记忆和杠杆效应。文献里有证据显示它在日度股票收益上样本外好于标准 GARCH 和 FIGARCH，但结论依赖样本和损失函数，别当定律。

成分 GARCH:把长记忆拆成快慢两层

处理慢衰减还有一条不用分数差分的路。Engle & Lee (1999) 的成分 GARCH（CGARCH）把波动率拆成永久和暂时两个成分：

σt2=qt+st,qt=ω+ρ(qt−1−ω)+ϕ(εt−12−st−1−qt−1)\sigma_t^2 = q_t + s_t, \quad q_t = \omega + \rho (q_{t-1} - \omega) + \phi (\varepsilon_{t-1}^2 - s_{t-1} - q_{t-1}) st=αεt−12+βst−1s_t = \alpha \varepsilon_{t-1}^2 + \beta s_{t-1}

永久成分 qtq_t 以持续性 ρ\rho 慢慢走（金融序列上 ρ\rho 通常接近 1），暂时成分 sts_t 以速率 α+β\alpha + \beta 几何衰减。两个速率叠加出来的自相关衰减比单一几何衰减慢，近似出长记忆的样子。冲击的半衰期可以直接算：永久成分 log⁡(0.5)/log⁡(ρ)\log(0.5)/\log(\rho)，暂时成分 log⁡(0.5)/log⁡(α+β)\log(0.5)/\log(\alpha + \beta)。日度股票收益上典型的估计量级是 ρ≈0.99\rho \approx 0.99（半衰期约 70 个交易日）、α+β≈0.9\alpha + \beta \approx 0.9（约 7 天）——具体数字随样本变，量级是稳的。

这个分解的实际价值在于把”长期波动率水位在移动”（qtq_t 变）和”暂时聚集”（sts_t 变）区分开。做长期预测时，只有永久成分要紧。

GARCH-X:把外部信息接进来

方差方程也可以直接吃外生预测子：

σt2=ω+αεt−12+βσt−12+γ′xt−1\sigma_t^2 = \omega + \alpha \varepsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2 + \gamma' \mathbf{x}_{t-1}

xt\mathbf{x}_t 装什么取决于你有什么：VIX 这类隐含波动率是最常用的（高 VIX 预测高实现波动率），成交量常与高波动率同现，计划中的宏观公告（FOMC、CPI）会造成波动率尖峰，跨资产信号（股票波动率溢出到外汇）也有人用。GARCH-MIDAS（Engle, Ghysels & Sohn, 2013）是这条路的精致版本：短期用 GARCH 成分，长期用由低频外生变量驱动的 MIDAS 成分，月度或季度的宏观预测子影响日度波动率时用它。注意它和上一节的成分 GARCH 是亲戚——都是快慢两层，只是慢的那层一个由数据内生、一个由外生变量驱动。

多元:从 CCC 到 DCC

第三个盲区最实际：组合风险不只取决于每个资产的方差，还取决于它们之间的协方差。完整的多元 GARCH 有 K(K+1)/2K(K+1)/2 个方差-协方差方程，参数量随 KK 爆炸，朴素的参数化（VECH、BEKK）在 K>5K > 5 时就不可行了。多元 GARCH 的历史就是一部和维数灾难讨价还价的历史。

第一笔交易是 CCC-GARCH（Bollerslev, 1990）：常数条件相关。每个资产走自己的单变量 GARCH，相关矩阵不随时间变：

Ht=DtRDt,Dt=diag(σ1,t,…,σK,t)\mathbf{H}_t = \mathbf{D}_t \mathbf{R} \mathbf{D}_t, \quad \mathbf{D}_t = \text{diag}(\sigma_{1,t}, \ldots, \sigma_{K,t})

其中 σi,t2\sigma_{i,t}^2 是资产 ii 的 GARCH 方差，R\mathbf{R} 是常数相关矩阵。估计极其省事：拟合 KK 个单变量 GARCH，再从标准化残差算 R\mathbf{R}。但常数相关这个假设，恰恰在你最需要模型的时候失效。平静市场里股指之间的相关大致在 0.4-0.6 一带，危机时期（2008、2020）跳到 0.8-0.95 的量级。算组合 VaR 的人对此不能装看不见：低估危机相关，就是在风险最高的时刻低估组合风险。

DCC-GARCH（Engle, 2002; Engle & Sheppard, 2001）把 R\mathbf{R} 换成时变的 Rt\mathbf{R}_t，让相关自己有一套类 GARCH 的递推：

Qt=(1−a−b)Qˉ+azt−1zt−1′+bQt−1\mathbf{Q}_t = (1 - a - b) \bar{\mathbf{Q}} + a \mathbf{z}_{t-1} \mathbf{z}_{t-1}' + b \mathbf{Q}_{t-1}

其中 zt=(ε1t/σ1t,…,εKt/σKt)′\mathbf{z}_t = (\varepsilon_{1t}/\sigma_{1t}, \ldots, \varepsilon_{Kt}/\sigma_{Kt})' 是标准化残差，Qˉ\bar{\mathbf{Q}} 是 zt\mathbf{z}_t 的无条件协方差。再归一化成相关矩阵：

Rt=diag(Qt)−1/2Qtdiag(Qt)−1/2\mathbf{R}_t = \text{diag}(\mathbf{Q}_t)^{-1/2} \mathbf{Q}_t \text{diag}(\mathbf{Q}_t)^{-1/2}

参数 aa、bb 决定相关的动态，估计走两步 QML：先拟合各单变量 GARCH，再估 (a,b)(a, b)。整套东西的参数量线性于 KK，这就是它能上量的原因。要预测 RT+h\mathbf{R}_{T+h}，把递推向前迭代即可，预测收敛到长期相关矩阵；相关冲击的半衰期是 log⁡(0.5)/log⁡(a+b)\log(0.5)/\log(a+b)，日度股票相关上 a+ba + b 的典型估计在 0.95 到 0.99 之间，对应半衰期从两三周到三个来月，随样本变化。

DCC 也有已知的毛病：Qt\mathbf{Q}_t 接近奇异时，有限样本里相关可能越出 (−1,1)(-1, 1)，cDCC、ADCC 这些变种就是冲着修这个来的。至于其他多元形式，知道名字和定位就够了：VECH 是方差-协方差矩阵的完整参数化，参数太多；BEKK（Engle & Kroner, 1995）通过构造保证 Ht\mathbf{H}_t 正定，但计算重；RiskMetrics 是平方收益的指数平滑，当简单基准用；GO-GARCH（van der Weide, 2002）走因子路线，用少量潜在波动率因子降维。手上有 K=50K = 50 个资产要管风险，DCC 是实际默认；要研究新的相关动态，GO-GARCH 或随机波动率类模型可能更合适。

该用哪个

把全文的判断收拢一下。单资产、不确定要不要不对称，先跑带 Student-tt 创新的 GARCH(1,1) 打底，再上 GJR(1,1) 和 EGARCH(1,1) 比 AIC/BIC——如果杠杆系数（GJR 的 γ^\hat{\gamma}、EGARCH 的 θ^\hat{\theta}）显著，不对称就该留下。持续性 α^+γ^/2+β^\hat{\alpha} + \hat{\gamma}/2 + \hat{\beta} 顶着 1 走，考虑 IGARCH 或 FIGARCH。收工前看两样：标准化残差要接近 iid（z^t2\hat{z}_t^2 上的 Ljung-Box 不拒绝），以及一定要跑样本外比较，用 MSE 或 QLIKE 损失，因为样本内拟合在这个家族里几乎不提供区分度。多资产、相关要紧，CCC 起步、DCC 是主力，危机相关的不对称也要抓就上 ADCC。软件方面 R 的 rugarch 最灵活，Python 的 arch 覆盖大多数变种，MATLAB 有 garch 工具箱。

拟合时的几个坑值得单独点名。边界附近的参数估计（α+β\alpha + \beta 顶到 1、α\alpha 压到 0）不可靠，换约束或换起始值；优化可能停在局部极值，多试几组起点；忽略参数不确定性的预测区间偏窄，前面说过了。

最后是节制。如果你发现自己在伸手够”FIGARCH-FIEGARCH-MIDAS 带 Student-tt 和外生回归子”，停下来问一句：加的复杂度改善样本外预测了吗？经验文献的答案相当一致（Hansen & Lunde, 2005 的大规模赛马是代表）：带 Student-tt 的 GJR-GARCH(1,1) 难以被击败，更复杂的模型偶尔在预测损失上小胜，但幅度撑不起复杂度。多元场景 DCC 是主力；数据频率高到有日内信息时，实现波动率类模型（HAR、HEAVY）经常反超整个 GARCH 家族。

还要记住整个家族的天花板：GARCH 是简化型模型，它复现风格化事实，不提供结构性经济机制。想知道波动率为什么高——信息流、杠杆、流动性还是风险溢价——得换模型类；想给期权定价，GARCH 隐含波动率可以当输入，但匹配期权价格不如专用定价模型（随机波动率、局部波动率、跳跃扩散）。GARCH 是时间序列的工具，不是衍生品定价的工具。

参考文献

  • Baillie, R. T., Bollerslev, T., & Mikkelsen, H. O. (1996). Fractionally integrated generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 74(1), 3-30.
  • Bollerslev, T. (1990). Modelling the coherence in short-run nominal exchange rates: A multivariate generalized ARCH model. Review of Economics and Statistics, 72(3), 498-505.
  • Bollerslev, T., & Mikkelsen, H. O. (1996). Modeling and pricing long memory in stock market volatility. Journal of Econometrics, 73(1), 151-184.
  • Davidson, J. (2004). Moment and memory properties of linear conditional heteroscedasticity models, and a new model. Journal of Business & Economic Statistics, 22(1), 16-29.
  • Ding, Z., Granger, C. W. J., & Engle, R. F. (1993). A long memory property of stock market returns and a new model. Journal of Empirical Finance, 1(1), 83-106.
  • Engle, R. F. (2002). Dynamic conditional correlation: A simple class of multivariate generalized autoregressive conditional heteroskedasticity models. Journal of Business & Economic Statistics, 20(3), 339-350.
  • Engle, R. F., & Lee, G. (1999). A permanent and transitory component model of stock return volatility. In R. F. Engle & H. White (Eds.), Cointegration, Causality, and Forecasting: A Festschrift in Honour of Clive W. J. Granger. Oxford University Press.
  • Engle, R. F., & Sheppard, K. (2001). Theoretical and empirical properties of dynamic conditional correlation multivariate GARCH. NBER Working Paper 8554.
  • Engle, R. F., Ghysels, E., & Sohn, B. (2013). Stock market volatility and macroeconomic fundamentals. Review of Economics and Statistics, 95(3), 776-797.
  • Francq, C., & Zakoian, J.-M. (2010). GARCH Models: Structure, Statistical Inference and Financial Applications. Wiley.
  • Glosten, L. R., Jagannathan, R., & Runkle, D. E. (1993). On the relation between the expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks. Journal of Finance, 48(5), 1779-1801.
  • Hansen, P. R., & Lunde, A. (2005). A forecast comparison of volatility models: Does anything beat a GARCH(1,1)? Journal of Applied Econometrics, 20(7), 873-889.
  • Nelson, D. B. (1991). Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach. Econometrica, 59(2), 347-370.
  • Tsay, R. S. (2010). Analysis of Financial Time Series (3rd ed.). Wiley. Ch. 3, 7.
  • van der Weide, R. (2002). GO-GARCH: A multivariate generalized orthogonal GARCH model. Journal of Applied Econometrics, 17(5), 549-564.
  • Zakoian, J.-M. (1994). Threshold heteroskedastic models. Journal of Economic Dynamics and Control, 18(5), 931-955.