从二叉树到 Black-Scholes PDE:一个极限论证

Black-Scholes PDE 如何作为 Cox-Ross-Rubinstein 二叉模型的连续时间极限出现。期权定价的鞅论证。

第 3 篇 · 共 12 篇约 13 分钟

前一篇文章通过构造复制组合并讨论其收益推导了 Black-Scholes PDE。那个论证很干净,但它留下一个不舒服的问题: $S_t$ 的连续时间 SDE 一开始是从哪来的?如果市场以离散 tick 移动,什么证明了一个它们连续移动的模型?

这篇文章通过从零构建 Black-Scholes PDE 来回答这个问题。我们从单期二叉模型开始,扩展到 $n$ 期,取 $n \to \infty$ 的极限。那个极限是几何布朗运动,沿途离散的复制组合坍缩成 Black-Scholes PDE。这是金融里少数几次简单东西的极限给你回一些真正深刻东西的情形。

单期二叉模型

Cox、Ross 和 Rubinstein (1979) 提出了以他们命名的二叉模型。在单期版本,股票可以在时间 $\Delta t$ 内以因子 $u$ 上涨或以因子 $d$ 下跌:

S_u = uS_0, \quad S_d = dS_0

其中 $u > 1 > d > 0$ 。在时间 $\Delta t$ 支付收益 $f(S)$ 的衍生品今天有值 $V$ ,在上涨分支支付 $f_u$ ,在下跌分支支付 $f_d$ 。

构造一个组合, $\Delta$ 股股票加上 $-V$ 空头衍生品。组合今天值 $\Delta S - V$ 。在上涨分支期末值 $\Delta u S_0 - f_u$ ,在下跌分支期末值 $\Delta d S_0 - f_d$ 。

选 $\Delta$ 让这些相等:

\Delta = \frac{f_u - f_d}{S_0(u - d)}

现在组合无风险,所以它必须赚无风险利率。把债券腿定价为 $1 + r\Delta t$ :

\Delta S_0 - V = \frac{\Delta u S_0 - f_u}{1 + r\Delta t}

解 $V$ :

V = \frac{1}{1 + r\Delta t} \left[\frac{1 + r\Delta t - d}{u - d} f_u + \frac{u - 1 - r\Delta t}{u - d} f_d\right]

定义风险中性概率:

p = \frac{1 + r\Delta t - d}{u - d}, \quad 1 - p = \frac{u - 1 - r\Delta t}{u - d}

那么:

V = \frac{1}{1 + r\Delta t} \left[ p \, f_u + (1 - p) f_d \right] = e^{-r\Delta t} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[f]

这是核心洞见:期权价格等于风险中性测度下收益的折现期望。上涨的实际概率从来不出现(Cox & Ross, 1976)。

多期二叉树

现在堆 $n$ 期,每期长度 $\Delta t = T/n$ 。每一步股票以 $u$ 上涨或 $d$ 下跌,同样的风险中性概率 $p, 1-p$ 适用。终值股票价格:

S_T = S_0 u^j d^{n-j}

其中 $j$ 是上涨步数。由中心极限定理,当 $n \to \infty$ 时, $S_T$ 按分布收敛到对数正态, 即 $\ln S_T$ 变成正态分布。

节点 $(i, j)$ 的价格, 意思是 $i$ 个上涨和 $j$ 个下跌,总共 $i + j = k$ , 是:

V_{k}^{i,j} = e^{-r\Delta t} \left[p V_{k+1}^{i+1, j} + (1-p) V_{k+1}^{i, j+1}\right]

在终值节点 $V_n^{i,j} = f(S_0 u^i d^j)$ 。

这正是从叶子向后倒推的动态规划(Press et al., 2007, 第 20.0 节)。它是任何人用”反向蒙特卡洛”这个词之前的原版”反向蒙特卡洛”。

用正确的方式选 $u$ 和 $d$

我们需要 $S_T$ 在极限下的矩匹配波动率 $\sigma$ 的几何布朗运动的矩。带 $\Delta t = T/n$ ,标准 Cox-Ross-Rubinstein (CRR) 参数化是:

u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}, \quad d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}} = 1/u

这给出 $ud = 1$ (“recombining tree”性质),在极限下树价格收敛到 Black-Scholes(Hull, 2018, 第 21.5 节)。

其他选择也存在。Jarrow-Rudd、Tian, 但它们都收敛到同样的极限,因为那个极限只依赖于对数收益分布的前两矩。具体地,你需要:

\mathbb{E}[S_T] = S_0 e^{rT}, \quad \text{Var}[\ln S_T] = \sigma^2 T

磨完代数,风险中性概率变成:

p = \frac{e^{r\Delta t} - d}{u - d} \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\frac{(r - \tfrac{1}{2}\sigma^2)\sqrt{\Delta t}}{\sigma}

(这里我用对称 CRR 参数化。) 重要的一点:当 $\Delta t \to 0$ ,漂移项消失, $p \to \frac{1}{2}$ 。在极限下随机游走是对称的。

$n \to \infty$ 的极限

取终值价格的对数。带 $j$ 个上涨和 $n-j$ 个下跌:

\ln S_T = \ln S_0 + j \ln u + (n-j) \ln d = \ln S_0 + (j - n/2) \cdot 2\ln u + (n/2)\ln(ud)

带 $ud = 1$ 和 $2\ln u = 2\sigma\sqrt{\Delta t} + O(\Delta t^{3/2})$ :

\ln S_T \approx \ln S_0 + (j - n/2) \cdot 2\sigma\sqrt{T/n}

定义 $X = (j - n/2)/\sqrt{n}$ 。由中心极限定理它近似标准正态:

\ln S_T \approx \ln S_0 + 2\sigma \sqrt{T} X

所以 $\ln S_T$ 渐近正态,均值 $\ln S_0$ ,方差 $\sigma^2 T$ 。这就是(风险中性测度下的)零漂移几何布朗运动。

完整极限定理比单步边际收敛更强。Donsker 不变原理说重标度的随机游走路径按分布收敛到布朗运动,股票价格过程收敛到对数布朗运动(Wilmott, 2007, 第 1 卷,第 5 章)。收敛在 Skorokhod 拓扑下位于 $D[0,T]$ ;如果你信我这是对的,可以跳过形式泛函 CLT。

PDE 怎么出现

这是最巧妙的部分。考虑一个 recombining tree 的三个连续节点:

              (i+1, j+1)
            /
    (i, j). (i+1, j)
            \
              (i, j+1)

这些节点的期权值是 $V_{i,j}$ 、 $V_{i+1,j}$ (从中心上涨)和 $V_{i,j+1}$ (从中心下跌)。中心节点在股票价格 $S$ ,上涨节点在 $S u = S + \Delta S$ ,其中 $\Delta S = S(u-1)$ ,下跌节点在 $S - \Delta S (d-1)/...$ , 小心符号,是 $-S(1-d)$ 。

在时间 $\Delta t = T/n$ 内,期权值从 $V_{i+1, j}$ 和 $V_{i, j+1}$ 后向移动到 $V_{i, j}$ :

V_{i,j} = e^{-r\Delta t} \left[ p V_{i+1, j} + (1-p) V_{i, j+1} \right]

泰勒展开一切到 $\Delta S$ 和 $\Delta t$ 的一阶。两个相关展开:

V_{i+1,j} \approx V + \frac{\partial V}{\partial S} \Delta S + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \Delta S^2

V_{i,j+1} \approx V - \frac{\partial V}{\partial S} \Delta S + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \Delta S^2

这里 $V$ 和它的导数在中心节点取值。代入:

V_{i,j} = e^{-r\Delta t} \left[ V + \frac{\partial V}{\partial S}\Delta S(2p - 1) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \Delta S^2 \right]

现在展开折现因子 $e^{-r\Delta t} \approx 1 - r\Delta t$ 并用风险中性期望公式 $2p - 1 \approx (r - \tfrac{1}{2}\sigma^2) \cdot 2\sqrt{\Delta t}/\sigma$ (这来自 $p$ 接近 $\frac{1}{2}$ )。代入并收集 $O(\Delta t)$ 项:

V = V + \left[\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS \frac{\partial V}{\partial S} - rV\right] \Delta t + O(\Delta t^2)

括号必须等于零。这就是 Black-Scholes PDE。离散二叉求和在极限下变成了导数。

这也是为什么二叉模型价格对任何平滑收益都收敛到 Black-Scholes, 每个平滑函数满足泰勒展开, $V$ 的二阶项只在价格过程的方差以正确方式缩放时存活,在 CRR 里就是这样。

鞅论证

有个平行的推导,在某些方面更优雅、其他方面更丑,不需要泰勒展开。它用风险中性测度下折现股票价格是鞅这个思想(Hull, 2018, 第 15.6 节;Wilmott, 2007, 第 1 卷,第 7 章)。

风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 下折现股票价格 $D_t = e^{-rt} S_t$ 满足:

dD_t = \sigma D_t \, dW_t^{\mathbb{Q}}

其中 $W^{\mathbb{Q}}$ 是 $\mathbb{Q}$ -布朗运动。等价地, $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[D_T \mid \mathcal{F}_t] = D_t$ 。

对任何在 $T$ 支付 $V_T$ 的或有债权,无套利价格是:

V_t = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[V_T \mid \mathcal{F}_t]

这就是风险中性定价公式。它是当且仅当:在完全市场,这是唯一无套利价格。在不完全市场,你得到一个无套利价格范围,但上下界仍然由等价鞅测度上的上下确界给出。

把 Itô 引理施加到 $D_t = e^{-rt} S_t$ 和 $V_t$ 来推导 PDE:

dV_t = \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \mu S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right) dt + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} dW_t

要折现价格 $V^*_t = e^{-rt}V_t$ 是鞅,它的漂移必须消失:

\frac{\partial V}{\partial t} + (\mu - r) S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = 0

这几乎是 Black-Scholes PDE,但 $\mu$ 出现。我们需要 Girsanov 测度变换去掉它。Radon-Nikodym 导数:

\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} = \exp\left(-\frac{(\mu - r)}{\sigma} W_T^{\mathbb{P}} - \frac{1}{2}\frac{(\mu-r)^2}{\sigma^2} T\right)

是把现实世界布朗运动 $W^{\mathbb{P}}$ 转换成风险中性布朗运动 $W^{\mathbb{Q}}$ 的变换。漂移修正吸收 $\mu - r$ 项,留下 $r$ 代替 $\mu$ 的 Black-Scholes PDE。

这是为什么漂移不进期权价格的严格陈述。机制是测度变化,不是从一开始就没有漂移。

为什么二叉树仍然重要

如果你能写下闭式,为什么还要跟树打交道?三个原因。

美式期权。美式看跌可以提前行权。闭式 Black-Scholes 公式假设欧式行权。二叉树自然处理美式特性, 每个节点你比较继续价值跟立即行权价值。格子定价递推变成:

V_{i,j} = \max\left(\text{行权价值}, \; e^{-r\Delta t}[pV_{i+1,j} + (1-p)V_{i,j+1}]\right)

美式定价闭式不存在,除了永久期权和少数特殊情况。树用 $O(n^2)$ 操作处理它们,够快以至于五位数的二叉树仍然进入生产。

路径依赖期权。亚式和障碍期权需要股票路径,树可以显式追踪。重启型期权、回望期权、任何有状态的, 树是合适的锤子。

偏差诊断。二叉价格有已知收敛率:标准参数化是 $O(1/n)$ ,带 Peizer-Pratt 反演的 Leisen-Reizer 参数化是 $O(1/n^2)$ (Hull, 2018, 第 21.6 节)。如果你的有限差分或 PDE 求解器给出不同偏差,你就知道求解器错了。

数值检查:用 $r=0.05$ 、 $\sigma=0.20$ 、 $S=K=100$ 给 1 年 ATM 看涨价。Black-Scholes 给出 $C = 10.4506$ 。50 步二叉给出 $C \approx 10.45$ 加减一个基点。500 步树让你达到四位精度。

import math

def crr_call(S, K, r, sigma, T, n):
    dt = T / n
    u  = math.exp(sigma * math.sqrt(dt))
    d  = 1.0 / u
    p  = (math.exp(r * dt) - d) / (u - d)
    disc = math.exp(-r * dt)
    # 终值
    prices = [max(S * u**n * d**(2*i - n) - K, 0.0) for i in range(n + 1)]
    # 后向归纳
    for k in range(n - 1, -1, -1):
        prices = [disc * (p * prices[i] + (1 - p) * prices[i+1])
                  for i in range(len(prices) - 1)]
    return prices[0]

这大约 30 行,不需要 SciPy,几百步的 $n$ 给你跟 Black-Scholes 四位一致。大部分生产台在某个地方还藏着这个副本,以防量化的图书管理员走了没人知道那个花哨库怎么用。

收获

Black-Scholes PDE 是二叉模型的连续时间影子。复制论证、鞅论证和 PDE 本身都是用不同语言表达的同一个结果。一旦你把它们看作关于一个事实的视角, 在完全市场,衍生品价格是风险中性测度下的折现期望, 你就不再把它们当作竞争理论,而是看哪个对当前问题最方便就用哪个。

对欧式香草闭式,泰勒展开或特征函数论证赢。对美式特性或路径依赖,树赢。对大账簿或非香草收益,你最终要做蒙特卡洛,我们在另一个模块覆盖。但一切从这里开始:单步二叉,堆到 $n$ ,取极限。

值得知道的定理:Donsker 不变性

从二叉到几何布朗运动的极限不只是挥手。它是 Donsker 不变原理,说重标度的随机游走在连续函数空间 $C[0, T]$ 上按 sup-范数拓扑按分布收敛到布朗运动。

应用到这里:如果你堆 $n$ 个大小 $\Delta t = T/n$ 的二叉步, $n$ 步后累计对数收益除以 $\sqrt{n}$ 有联合分布收敛到布朗运动。具体地,定义:

W^{(n)}(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{\lfloor nt / T \rfloor} (R_i - r\Delta t / \text{something})

其中 $R_i$ 是步 $i$ 的对数收益,漂移减法让它变成零均值随机游走。当 $n \to \infty$ , $W^{(n)}$ 按分布收敛到 $W$ 布朗运动。

这是二叉模型收敛到 Black-Scholes 的更深原因, 不只对终值价格,对整个路径。二叉模型下路径依赖期权的隐含波动率收敛到 Black-Scholes 的隐含波动率加上适当修正。

重要推广:不完全市场

鞅论证假设完全市场:期权的风险可以用基础资产完美对冲。现实中市场是不完全的。不完全性的来源:

随机波动率。一旦 $\sigma$ 自身随机,你有比基础资产覆盖的更多的风险。波动率是额外的不可对冲风险源。
跳跃。交易之间股票可以跳空。你的对冲断了。
带非交易相关性的多个基础资产。你可以交易每个基础资产但不能交易相关性。
交易成本。高频对冲受成本限制。

在不完全市场,多个风险中性测度跟同样的基础资产观察到的漂移和波动率一致。每个测度给出不同的期权价格。可接受价格的集合有界:

V_{\min} \leq V \leq V_{\max}

其中 $V_{\min}$ 是”最悲观”测度(基础资产最坏未来)下的价格, $V_{\max}$ 是”最乐观”测度下的价格。对带非随机波动率的流动单股票欧式期权,界很紧, 几个百分点内。对更奇异的收益,它们能宽 50%+。

自然的补救是加一个模型:对未观测部分(随机波动率、跳跃结构)做假设,然后你拿回一个价格。这是本模块其他几篇文章的主题。

不完美的市场现实:交易成本

每次再平衡在现实世界都花钱。有交易成本的最优对冲策略不是每个 tick 做 delta 对冲, 而是带缓冲的 delta 对冲(Whalley & Wilmott, 1997)。

定义每股票交易的半价差 $\delta_b$ , $w$ 为每笔交易摩擦。围绕目标 delta 的最优对冲宽度:

\Delta^*_{\text{no-trade}} = \sqrt{\frac{2 w}{\Gamma}} \cdot |\Delta_G - \Delta|

其中 $\Delta_G$ 是无约束 delta。这是”无交易带”, 当 delta 足够接近目标时,你不交易。直觉:每笔交易有固定成本,但以交易大小的平方缩小方差。交易太频繁成本超过节省;交易太频繁少留下对冲误差。

实际数字:对 SPX 带 $\sigma = 0.20$ 、 $T = 0.25$ 、往返交易成本 1bp,无交易带大约是头寸名义的 1-2%。低于这个带,无交易;高于它,部分再平衡。

这是为什么零售”delta 对冲”策略不太有效的原因之一:他们的交易成本是机构率的 30-50 倍,所以无交易带要宽 5-7%。

二叉的数值收敛

CRR 二叉树以 $O(1/n)$ 速率收敛到 Black-Scholes,标准参数化。用 Leisen-Reizer 树带 Peizer-Pratt 反演,你可以得到 $O(1/n^2)$ 收敛。

算出来:用 $S_0 = K = 100$ 、 $r = 0.05$ 、 $\sigma = 0.20$ 、 $T = 0.5$ 给 ATM 看涨价。Black-Scholes 给出 $C = 6.8887$ :

$n$	CRR 价格	CRR 误差
25	6.9419	0.77%
50	6.9147	0.38%
100	6.9018	0.19%
250	6.8940	0.08%
500	6.8914	0.04%

CRR 误差当 $n$ 加倍时大致减少四倍,这是预期的 $O(1/n)$ 行为。Leisen-Reizer 改进这个, 通常对 OTM 期权在同 $n$ 下误差减半, 以 $O(1/n^2)$ 收敛。改进对 OTM 行使价最显著,CRR 在实值和虚值分支之间的振荡最尖锐。对 ATM,两种方法都快速收敛,差异小。

对 1bp 精度要求,你通常需要 CRR 的 $n \sim 1000$ ,L-R 的 $n \sim 500$ 。现代机器上每个期权 CPU 成本微秒。内存对非重组树按 $n^2$ 缩放;重组树是 $O(n^2)$ 时间 $O(n)$ 内存。

为什么有些书仍然用 PDE 形式

如果你有解析公式,为什么还要在 PDE 上跑有限差分?三个原因:

稳定性分析。PDE 比树更清晰地暴露奇点和边界问题。研究接近到期的边界行为告诉你有限差分哪里会有问题。
更高维度。多资产期权(篮子、彩虹)需要 2D 或 3D PDE;树在计算上不可行。PDE 在计算成本上按 $n_1 \cdot n_2 \cdot n_3$ 缩放,网格上,管理上最多 4 维。
美式特性。LCP(线性互补问题)形式化通过 PDE 给美式期权干净的数值方案。树处理美式特性但有不同的数值伪影。

PDE 形式化也连接到整个最优停止文献:美式期权是最优停止问题,PDE 给你满足变分不等式的价值函数:

\min\left(-rV + \mathcal{L}V, \; V - \text{行权}\right) = 0

带适当边界条件。这是定义域每点的一个 max/min 问题(变分不等式,不只是 PDE),在每个时点把期权价格投影到两者中较大的那个。

阅读清单。 Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 第 10 版,第 13、21 章(2018)。Wilmott, Paul Wilmott on Quantitative Finance, 第 2 版,第 1 卷,第 5-7 章(2007)。Cox, Ross & Rubinstein, “Option Pricing: A Simplified Approach,” Journal of Financial Economics 7 (1979)。Luenberger, Investment Science, 第 2 版,第 12 章(2013)。Numerical Recipes, 第 3 版,第 20 章(2007)关于同一故事的 PDE 一侧。