随机变量与概率分布

随机变量为随机过程的每个结果分配一个数值。理解随机变量及其分布对于建模金融收益和风险很重要。

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从结果到数字

当你抛硬币时，结果是”正面”或”背面”，这是文字，不是数字。随机变量将这些结果转换为数值，这样我们才能用数学方法处理它们。

随机变量 $X$ 是一个函数，它为样本空间中的每个结果分配一个实数。你可以把它想象成测量随机事物的规则。符号 $X = x$ 表示”随机变量 $X$ 取值为 $x$ ”。

随机变量有两大类。

离散随机变量取有限可数集合中的值——通常是整数。10次硬币抛掷中正面的数量是离散的。一天执行交易的数量是离散的。这些变量有一个概率质量函数（PMF），告诉我们每个可能值的 $P(X = x)$ 。

连续随机变量可以取某个范围内的任何值。股票的日收益率、明天的温度、期权的价格——这些都是连续的。对于连续变量，落在任何精确值的概率在技术上为零；相反，我们使用区间并借助概率密度函数（PDF）。

概率质量函数

对于离散随机变量，概率质量函数（PMF）给出每个结果的概率：

P(X = x) = p(x)

该函数必须满足两个性质：所有 $x$ 有 $p(x) \geq 0$ ，且所有可能值的 $p(x)$ 之和等于1。

例子：掷一枚公平的六面骰子。对于 $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，PMF 为 $p(x) = \frac{1}{6}$ ，其他情况 $p(x) = 0$ 。

概率密度函数

对于连续随机变量，概率密度函数（PDF） $f(x)$ 与 PMF 有不同的解释。落在区间 $[a, b]$ 内的概率为：

P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx

PDF 必须满足所有 $x$ 有 $f(x) \geq 0$ 且 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$ 。关键的是， $f(x)$ 本身不是概率——它在某些区域可以大于1。只有在区间上积分后，它才产生有效的概率。

累积分布函数

离散和连续随机变量都有累积分布函数（CDF）：

F(x) = P(X \leq x)

CDF 给出变量小于或等于某个值的概率。它总是非递减的，范围从0到1。对于离散变量， $F(x) = \sum_{t \leq x} p(t)$ 。对于连续变量， $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$ 。

CDF 很有用，因为它适用于任何类型的随机变量，而且可以轻松回答”股票收益低于-5%的概率是多少？“这类问题。

期望值

期望值（或均值）是随机变量的长期平均值——即分布的重心。

对于离散随机变量：

E[X] = \sum_{x} x \cdot P(X = x)

对于连续随机变量：

E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx

可以把 $E[X]$ 想象成分布的平衡点。如果你无限次重复底层随机过程并平均结果，你就会得到 $E[X]$ 。

期望值有一个非常有用的线性性质： $E[aX + b] = aE[X] + b$ ，无论 $X$ 和 $a$ 是否独立。

方差与标准差

期望值告诉你分布的中心在哪里。方差告诉你数据有多分散：

\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2]

其中 $\mu = E[X]$ 。方差是到均值距离平方的平均值。因为我们对距离进行了平方，所以方差总是非负的，并且以原始变量的平方单位来衡量——这通常很不方便。

标准差 $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ 让我们回到原始单位。对于正态分布，大约68%的观测值落在均值的一个标准差内，95%在两个标准差内，99.7%在三个标准差内。

离散例子：三次抛掷中的正面数

假设你抛三次公平的硬币，设 $X$ 为正面的数量。样本空间有8个等可能的结果（HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT）， $X$ 可以取0、1、2或3。

PMF 为：

$x$	$P(X = x)$
0	$\frac{1}{8}$
1	$\frac{3}{8}$
2	$\frac{3}{8}$
3	$\frac{1}{8}$

期望值为 $E[X] = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{12}{8} = 1.5$ 。平均而言，三次抛掷中你期望有1.5个正面——这是合理的，因为每次抛掷有50%的概率是正面，且有三次抛掷，所以 $3 \times 0.5 = 1.5$ 。

连续例子：资产收益

在量化金融中，日资产收益被建模为连续随机变量。一个常见的模型是假设收益 $R \sim N(\mu, \sigma^2)$ ——服从均值为 $\mu$ 、方差为 $\sigma^2$ 的正态分布。我们会在下一篇文章中详细研究正态分布。

在这个模型下， $P(R < -0.05)$ 是损失超过5%的概率。这类风险问题正是量化模型所要回答的问题。

用 Python 模拟随机变量

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

np.random.seed(42)


mu = 0.0005      # 日均收益率（例如 ~12% 年化）
sigma = 0.02     # 日波动率（例如 ~32% 年化）
n_days = 10_000

returns = np.random.normal(mu, sigma, n_days)

# 绘制模拟收益率的直方图
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.hist(returns, bins=50, density=True, alpha=0.6, label='Simulated returns')

# 叠加理论正态 PDF
x = np.linspace(mu - 4*sigma, mu + 4*sigma, 100)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, mu, sigma), 'r-', label='Theoretical N(μ, σ²)')
plt.xlabel('日收益率')
plt.ylabel('密度')
plt.title('模拟与理论的日收益率正态分布对比')
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()

# 计算样本统计量
sample_mean = np.mean(returns)
sample_std = np.std(returns)
print(f"样本均值: {sample_mean:.6f} (理论值: {mu:.6f})")
print(f"样本标准差:  {sample_std:.6f} (理论值: {sigma:.6f})")

提示词

用 numpy 和 matplotlib 演示正态分布:模拟 1 万个日收益率,用直方图和理论正态曲线对比,验证样本均值和标准差。

注意模拟收益率的直方图是如何紧密跟随理论正态曲线的。随着模拟次数的增加，这种吻合度会提高，这是大数定律的结果，我们在这个系列的后续文章中会进一步展开。

参考文献

Ross, S. M. A First Course in Probability, Chapters 2–3. Pearson. Papoulis, A. and Pillai, S. U. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, Chapter 5. McGraw-Hill.