学习路线 03：缩减 Sharpe 比率 — 获得诚实的业绩估计

7步学习路线：从理解为什么你最佳的 Sharpe 很可能是被高估的，到为多重检验压缩，到报告诚实的数字。

第 3 篇 · 共 7 篇约 4 分钟

目标：完成后，你将理解为什么回测报告的 Sharpe 几乎肯定太高，Deflated Sharpe Ratio 如何对此进行校正，以及如何报告诚实的业绩数字。

前置知识：基本统计（Sharpe 比率、p 值）和多重检验概念（从许多中选最佳）。

第 1 步：这是什么？

你运行了 30 个策略变体。最佳的一个 Sharpe 是 1.8。你的投资者很兴奋。你应该担心。

原因：你测试了 30 个策略。在 5% 显著性水平，你会期望 1.5 个仅凭运气显示”显著”正收益。你 30 个中的最佳可能只是最幸运的。

你看到的 Sharpe——1.8——是 30 次从均值为零的分布中抽取的最大值。最大值是有偏估计。Deflated Sharpe Ratio（DSR）修正了这个偏差。

DSR 告诉你：“考虑到你测试了 N 个策略，你最佳的 Sharpe 是真实的概率是多少，什么是被压缩后的估计？”

第 2 步：为什么这很重要？

一个真实场景。一个量化基金公布业绩：5 年 3.2 Sharpe。营销看起来很专业。回测文档很详尽。

然后策略开始表现不佳。不剧烈——但持续。到第 3 年，Sharpe 是 1.1。到第 5 年，是 0.8。

发生了什么？该基金多年来测试了数百个策略变体。他们报告了最佳的。他们报告的 3.2 Sharpe 是数百次试验的最大值。在零技能原假设下，报告最大值的期望可能约为 1.5。

3.2 Sharpe 的 DSR 可能是 1.2——仍然好，但不是 3.2。

如果你不压缩，你在对自己和你的投资者撒谎——关于真实预期表现。

第 3 步：核心机制

DSR 公式根据以下因素向下调整观察到的 Sharpe：

试验次数（m）：你测试的策略越多，最大值因运气的膨胀越大。
样本量（T）：数据越多，Sharpe 估计量的方差越低，期望最大值越低。
收益分布（偏度、峰度）：非正态收益使 Sharpe 估计量更波动，膨胀期望最大值。

压缩后的 Sharpe 是：

SR_{deflated} = \frac{SR_{observed} - E_{max}[SR | m, T, \gamma]}{\hat{\sigma}_{SR}}

其中 $E_{max}[SR | m, T, \gamma]$ 是在原假设（真实 Sharpe = 0）下，给定 m 次试验、T 个观测值和观察到的收益分布偏度（γ）的期望最大 Sharpe。

在零假设下，期望最大值随 √(2 ln(m) / T) 增长，对于厚尾收益增长更快。

第 4 步：关键公式

对于正态分布收益： $E_{max}[SR] = \sqrt{\frac{2 \ln(m)}{T}}$

对于 m=30 策略，T=756（3 年日频数据）： $E_{max} = \sqrt{\frac{2 \ln(30)}{756}} = \sqrt{\frac{6.9}{756}} = \sqrt{0.0091} = 0.095$

对于非正态收益（考虑峰度 γ）： $E_{max}[SR] \approx \sqrt{\frac{2 \ln(m)}{T}} \cdot (1 + \gamma^2/4)$

如果收益是尖峰态（γ² > 0），期望最大值更高。

压缩 Sharpe： $SR_{D} = \frac{SR_{max} - E_{max}[SR]}{\hat{\sigma}_{SR}}$

例如：观察最大 Sharpe = 1.8，E_max = 0.095，Sharpe 估计的样本标准差 = 0.3： $SR_D = \frac{1.8 - 0.095}{0.3} = \frac{1.705}{0.3} = 5.68$

这太高了。如果标准误非常小，DSR 可能超过观察 Sharpe。有意义的比较是相对于其他策略的 DSR，不是相对于原始 Sharpe。

第 5 步：实现

import numpy as np
from scipy import stats

def deflated_sharpe_ratio(returns_matrix, risk_free=0.0, periods_per_year=252):
    """
    计算一组策略的 Deflated Sharpe Ratio。
    """
    n_samples, n_strategies = returns_matrix.shape

    # 观察 Sharpe 比率
    excess = returns_matrix - risk_free / periods_per_year
    mean_excess = np.mean(excess, axis=0)
    std_excess = np.std(excess, axis=0, ddof=1)

    osr = np.zeros(n_strategies)
    valid = std_excess > 0
    osr[valid] = mean_excess[valid] / std_excess[valid] * np.sqrt(periods_per_year)

    T = n_samples
    m = n_strategies

    # 零假设下的期望最大 Sharpe
    e_max_normal = np.sqrt(2 * np.log(m) / T)

    # 根据峰度调整
    kurtosis = np.zeros(n_strategies)
    for j in range(n_strategies):
        ret = returns_matrix[:, j]
        if np.std(ret) > 0:
            ret_standardized = (ret - np.mean(ret)) / np.std(ret)
            kurtosis[j] = np.mean(ret_standardized**4)

    gamma_sq = np.maximum(kurtosis - 3, 0)
    adjustment = 1 + gamma_sq / 4
    e_max_adjusted = e_max_normal * adjustment

    # 标准误
    se_sharpe = 1 / np.sqrt(T)

    # Deflated Sharpe
    dsr = np.zeros(n_strategies)
    valid = (std_excess > 0) & (se_sharpe > 0)
    dsr[valid] = (osr[valid] - e_max_adjusted[valid] * np.sqrt(periods_per_year)) / (se_sharpe * np.sqrt(periods_per_year))

    return {
        'dsr': dsr,
        'osr': osr,
        'e_max': e_max_adjusted * np.sqrt(periods_per_year),
        'n_strategies': m,
        'n_observations': T
    }

第 6 步：如何解读结果

比较 DSR，不是原始 Sharpe。 如果你从 30 个策略变体中选择，按 DSR 排名，不是按原始 Sharpe。DSR 考虑了你选择了最大值这一事实。

DSR > 1.0 意味着策略可能是真实的。 更准确地说，对于 T 个观测值，DSR > 1.96 意味着在多重检验压缩后策略在 5% 水平显著。

两者都报告。 “我们最佳策略观察 Sharpe 1.8，在 30 次试验调整后压缩 Sharpe 1.2。“这是诚实的和有信息的。

注意负 DSR。 如果你最佳策略的 DSR 为负，意味着即使压缩后，最佳策略看起来比零假设下的期望最大值还差。这是红旗——要么你最佳策略是无价值的，要么你需要更多数据。

第 7 步：常见陷阱 + 在知识体系中的位置

陷阱：假装你只测试了一个策略。 如果你测试了 100 个变体但只报告最佳的，你必须压缩。在这种情况下 DSR 是不可协商的。

陷阱：使用 m = 1（一个策略）。 m=1 的 DSR 得到标准 Sharpe。可以——DSR 推广到单一策略情况。

陷阱：忽略非正态性。 如果收益是厚尾，E_max 高于正态公式。建议的。使用正态公式会低估膨胀，你的 DSR 会太高。总是根据峰度调整。

陷阱：跨不同 m 比较 DSR。 来自 10 次试验的 DSR = 1.5 的策略比来自 100 次试验的 DSR = 1.5 更令人印象深刻。m 很重要。

在知识体系中的位置：

当从许多策略变体中选择时
当向投资者报告业绩记录时
每当进行多重检验时作为标准 Sharpe 的校正

DSR 是更广泛框架的一部分：多重检验校正和 PBO。它们一起给你一个关于策略真实预期表现的诚实画面。

下一步

准备好下一级了吗？→ 学习路线 04：回测过拟合（PBO）

想要百科参考卡片？→ 多重检验（百科词条）