GARCH 模型:从 ARCH 到积分 GARCH

如果你奇怪为什么日收益率本质上不可预测、风险模型却那么复杂，答案是：收益率不可预测，但波动率可以。波动率聚集，一波一波来——一次大涨或大跌之后，下一次波动更可能大；一段平静之后，下一次波动更可能小。这个经验事实在所有被研究过的资产类别和市场都有记录，GARCH（Bollerslev, 1986）就是为它而生的。

这篇文章从 ARCH 的原始想法推起，扩展到 GARCH，一直推到持续性参数顶到 1 的边界情形 IGARCH。一路上有一个量会反复出现：$\alpha + \beta$，今天的波动冲击有多少活到明天。它决定拟合的样子、预测的形状、风险数字的大小，最后决定你站在平稳世界还是积分世界。教科书出处是 Hamilton (1994, 第 21 章)、Tsay (2010, 第 3 章)、Campbell, Lo & MacKinlay (1997, 第 2 章)。

先说清楚要建模什么

写模型之前，把日度收益率 $r_t$ 的经验规律摆在桌面上。均值近零：多数资产 $E[r_t] \approx 0$，漂移相对波动率小到可以忽略。$r_t$ 本身几乎没有自相关——这是”收益不可预测”的统计表述——但 $|r_t|$ 和 $r_t^2$ 有明显的正自相关，而且衰减很慢，双曲线式而不是几何式。这一对事实合起来就是波动率聚集：条件方差 $\text{Var}(r_t \mid \mathcal{F}_{t-1})$ 依赖过去的平方收益。此外标准化收益比正态肥尾（日度股票收益的超额峰度落在个位数到几十的量级），负收益推高波动率比同幅度正收益更狠（杠杆效应，Black, 1976）。

这张清单同时是 GARCH 家族的路线图：基本 GARCH 抓波动率聚集，非高斯创新补肥尾，不对称扩展（GJR、EGARCH，下一篇讲）补杠杆效应，$r_t^2$ 自相关的慢衰减则是 IGARCH 和 FIGARCH 的动机。还有一个反面事实：标准 ARMA 假设条件方差恒定，$\text{Var}(r_t \mid \mathcal{F}_{t-1}) = \sigma^2$ 对所有 $t$ 成立——收益数据压倒性地拒绝它，ARMA 拟合的平方残差自己就是高持续的自相关序列。所以需要一个新东西。

ARCH:把方差本身变成被建模的对象

Engle (1982) 的想法简单而绝妙：既然平方残差有自相关，就直接把条件方差建成过去平方残差的函数。ARCH($q$)：

完整模型是：

条件均值 $\mu_t$ 通常就是常数（日度股票收益的 $\mu$ 本质上是零），也可以是 ARMA、一个因子回归的截距加载荷（$r_t = a + b\, r_{t,\text{market}} + \varepsilon_t$，GARCH 放在 $\varepsilon_t$ 上），甚至可以让均值依赖波动率本身——GARCH-M 设定 $r_t = \mu + \lambda \sigma_t + \varepsilon_t$，用来估风险溢价。方差建模的重心始终在 $\sigma_t^2$ 的方程上。

参数约束 $\alpha_0 > 0$、$\alpha_i \geq 0$ 保证方差为正；$\varepsilon_t$ 协方差平稳要求 $\sum_{i=1}^q \alpha_i < 1$。平稳时无条件方差是

“截距除以一减持续性”——这个形式后面还会见到。分母里的和一旦接近 1，温和的截距也能撑出巨大的无条件方差，这是持续性第一次露出獠牙。

数据里到底有没有 ARCH 效应，Engle (1982) 给了一个 Lagrange 乘数检验：先估均值方程拿到残差 $\hat{\varepsilon}_t$，把 $\hat{\varepsilon}_t^2$ 对常数和自己的 $q$ 个滞后回归，取辅助回归的 $TR^2$——零假设”无 ARCH”下它服从 $\chi^2_q$，大就拒绝。这个检验对几乎任何高频收益序列（股票、外汇、加密）都压倒性拒绝，做一遍主要是仪式感，但仪式感有它的用处：它告诉你不建波动率模型的那条路是走不通的。

GARCH:用两个滞后干三十个滞后的活

ARCH 的实际问题是滞后不够用。日度股票收益的平方收益自相关显著延伸到滞后 30 甚至更远，照 ARCH 的写法就得放 30 个参数。Bollerslev (1986) 和 Taylor (1986) 各自独立想到同一个修法：像 ARMA 压缩 AR(∞) 那样，往方差方程里加滞后方差项。GARCH($p, q$)：

这个”像 ARMA”不只是比喻。定义 $v_t = \varepsilon_t^2 - \sigma_t^2$（一个鞅差序列），代入整理，$\varepsilon_t^2$ 恰好服从一个 ARMA(max($p,q$), $p$) 过程：AR 系数是 $\alpha_i + \beta_i$，MA 系数是 $-\beta_j$。GARCH 就是平方残差的精简 ARMA，几何衰减的记忆用两三个参数写完。

约束照旧：$\omega > 0$、$\alpha_i \geq 0$、$\beta_j \geq 0$，平稳性要求 $\sum \alpha_i + \sum \beta_j < 1$。而实践里的绝对主角是 GARCH(1,1)：

三个参数捕捉波动率聚集，对日度股票收益拟合得出奇地好，信息准则通常也选它而不是更高阶的形式。

现在正式引出主角。$\alpha + \beta$ 是持续性参数，日度股票收益的典型估计落在 0.95 到 0.99 之间。它直接换算成波动率冲击的半衰期：$0.5 = (\alpha+\beta)^h$ 给出 $h = \log(0.5)/\log(\alpha+\beta)$，$\alpha + \beta = 0.97$ 对应约 23 天，$0.99$ 对应约 69 天。无条件方差仍是那个形式：$\sigma^2 = \omega / (1 - \alpha - \beta)$，分母又一次盯着持续性看。

估计:高斯似然当工具用

GARCH 用极大似然估计。高斯准极大似然（QML）的对数似然是

对 $\theta = (\mu, \omega, \alpha, \beta)$ 求极大，$\sigma_t^2$ 通过递推依赖 $\theta$。这里有个值得停一秒的点：即便创新 $z_t$ 根本不是高斯的，QML 在正确设定下仍然一致且渐近正态——高斯似然只是估计的载具，不是实质假设。代价是标准误必须用 Bollerslev & Wooldridge (1992) 的稳健三明治形式，直接用 Hessian 逆在非高斯创新下会错。

但载具归载具，肥尾终究要认账。数据的尾巴比高斯厚，直接把创新分布换成 Student-$t$ 拟合会好得多：

自由度 $\nu > 2$ 保证方差有限，$\nu$ 和其他参数一起估。带 Student-$t$ 的 GARCH 对股票收益的拟合远好于高斯版本，原因就一个：尾巴对上了。

新闻冲击曲线

新闻冲击曲线把 $E[\sigma_{t+1}^2 \mid \varepsilon_t]$ 画成 $\varepsilon_t$ 的函数，其他滞后量固定在无条件均值上。对 GARCH(1,1)：

一条关于 $\varepsilon_t$ 的抛物线：零点处斜率为零，曲率由 $\alpha$ 定，正冲击和负冲击对下期方差的影响完全相同。这条曲线是模型的”表情”——对称 GARCH 的表情是对称抛物线，而数据（杠杆效应）想要的是负侧更陡的不对称曲线。这个落差就是 GJR-GARCH 和 EGARCH 的出发点，下一篇文章讲。

预测:持续性决定预测长什么样

拟合好了往前看。GARCH(1,1) 的 $h$ 期方差预测有闭式：

结构一目了然：从明天的条件方差出发，以速率 $(\alpha+\beta)$ 几何地衰减回无条件方差。于是持续性直接决定预测的形状。$\alpha + \beta$ 接近 1 时，中等 $h$ 内

预测几乎不收敛，停在 $\hat{\sigma}_{T+1}^2$ 附近——高持续性意味着当前波动率本身就是长期波动率的好预测。这也和经验事实对得上：GARCH 的波动率预测在长达数月的期限上都压得住朴素预测和多数替代模型。

IGARCH:走到边界上

估计做多了你会注意到 $\hat{\alpha} + \hat{\beta}$ 老往 1 贴，有限样本里甚至偶尔越过 1（那是估计误差，但它提示真值可能就在 1 上）。干脆把 $\alpha + \beta = 1$ 当约束写进去，就是 Engle & Bollerslev (1986) 的 IGARCH：

先看 $\omega = 0$ 的特例，递推化成

这正是平方收益的指数加权移动平均——RiskMetrics 的波动率公式就是它。这个特例下方差预测对所有期限持平在当前水平；$\omega > 0$ 时预测则随期限线性增长，永不收敛。无论哪种，波动率冲击都是永久的，过程没有有限的无条件方差。

把 IGARCH 类比成”方差的单位根”直觉上有用，但别推得太远：Nelson (1990) 证明了 IGARCH 过程仍然严格平稳、$\sigma_t^2$ 不会像真的随机游走那样发散到处乱飘——它只是没有有限二阶矩。积分 GARCH 和积分均值过程是两种不同的”积分”。实践判断则简单：$\hat{\alpha} + \hat{\beta}$ 稳稳压在 0.99 以上时，IGARCH（或 EWMA）是更诚实的设定；否则用平稳 GARCH，让预测老老实实回归均值。

代码与诊断

三行拟合：

import pandas as pd
import numpy as np
from arch import arch_model


r = pd.Series(..)

model = arch_model(r, mean='Constant', vol='GARCH', p=1, q=1, dist='t')
result = model.fit()
print(result.summary())

# 条件方差(sigma_t^2)
vol = result.conditional_volatility

# 向前预测 10 天
forecast = result.forecast(horizon=10)
print(forecast.variance.iloc[-1])

拟合之后的检查围绕一个问题展开：模型把该吸收的动态吸收干净了吗？标准化残差 $\hat{z}_t = \hat{\varepsilon}_t / \hat{\sigma}_t$ 应该接近 iid——看 $\hat{z}_t$ 和 $\hat{z}_t^2$ 的 ACF，对 $\hat{z}_t^2$ 跑 Ljung-Box，拒绝就说明还有 ARCH 效应没吃掉。把 $\hat{z}_t^2$ 对 $\hat{z}_{t-1}$ 及其负值指示变量回归做符号偏差检验，系数显著说明波动率响应不对称，该换 GJR 或 EGARCH 了。Nyblom 稳定性检验查 $(\omega, \alpha, \beta)$ 是否在时变，显著就要怀疑结构突变。最后把新闻冲击曲线画出来，用眼睛确认对称性假设配不配得上你的数据。

从方差预测到风险数字

GARCH 给的是 $\hat{\sigma}_{T+h}^2$，风险管理要的是收益的分布。补上创新分布假设就有了预测密度：高斯下 $r_{T+h} \sim N(\hat{\mu}, \hat{\sigma}_{T+h}^2)$；Student-$t$ 下用缩放到单位方差的 $t_\nu$。一期 1% 风险价值是

其中 $z_{0.01}$ 是标准化创新分布（单位方差）的 1% 分位数。高斯下 $z_{0.01} = -2.33$；$\nu = 5$ 的单位方差 Student-$t$ 下约 $-2.61$——注意这是把原始 $t_5$ 分位数（约 $-3.36$）除以 $\sqrt{\nu/(\nu-2)}$ 缩放后的值，直接拿原始分位数配 $\hat{\sigma}$ 会重复计算尾部厚度。方向性的结论不变：对肥尾收益用高斯 VaR，尾部风险被低估，大损失出现得比模型说的频繁，这就是风险管理把 Student-$t$ 创新当标配的原因。VaR 算出来还要回测：数实际损失超过 VaR 的次数，正确设定下命中率应该等于 VaR 水平（99% VaR 对应约 1% 的日子），覆盖度用 Kupiec (1995) 检验。

高频数据进场:实现波动率

到目前为止模型只吃日度数据。现代数据里有 tick 级或亚分钟级的价格，能算实现波动率（RV）——一天内日内平方收益之和：

采样频率够高时（在一定假设下）$RV_t \to \int_t^{t+1} \sigma^2(s)\, ds$，即当天积分方差的一致估计。这和 GARCH 的 $\hat{\sigma}_t^2$ 是两个相关但不同的对象：前者是日 $t$ 期间实际实现的方差，后者是日 $t$ 开始时的条件预期。既然 RV 是对当天波动率一个远比单个平方日收益干净的测量，自然的想法是喂给方差方程：

实现波动率项带进了日度 GARCH 看不到的高频信息，对预测的改善通常是实打实的（这条线的基础工作见 Andersen, Bollerslev, Diebold & Labys, 2003）。HEAVY 模型（Shephard & Sheppard, 2010）走得更彻底：让收益方差的递推完全由滞后实现测度驱动，

再配一条实现测度自身的递推。对捕捉积分方差的持续动态，这套结构比只看日度平方收益的标准 GARCH 更稳健——数据频率够高时，这条路往往反超。

还有一个自然的追问：条件方差自己波动吗？和 RV 对照看，GARCH 预测有不可忽略的残差方差，答案是肯定的。随机波动率模型正面处理这件事，把 $\log \sigma_t^2$ 建成有自己冲击的 AR(1)，在 GARCH 结构上再加一层随机性。但实践的裁决颇为冷淡：带 Student-$t$ 的 GARCH 在样本外预测上常常和随机波动率打平，简单模型靠可用性赢。

全景

GARCH 是单变量波动率建模的主力。要一个”明天这只资产的波动率”的数字，带 Student-$t$ 创新的 GARCH(1,1) 是默认起点。从这里出发有三条延伸路线：不对称扩展（GJR-GARCH、EGARCH、APARCH）修新闻冲击曲线的对称性缺陷，多元扩展（CCC、DCC、BEKK）处理资产之间的协方差，长记忆扩展（FIGARCH、HYGARCH）追平方收益自相关的双曲衰减。下一篇文章讲第一条路线，顺带把后两条也铺开。

参考文献

• Andersen, T. G., Bollerslev, T., Diebold, F. X., & Labys, P. (2003). Modeling and forecasting realized volatility. Econometrica, 71(3), 579-625.
• Black, F. (1976). Studies of stock price volatility changes. Proceedings of the 1976 Meetings of the American Statistical Association, 171-181.
• Bollerslev, T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31(3), 307-327.
• Bollerslev, T., & Wooldridge, J. M. (1992). Quasi-maximum likelihood estimation and inference in dynamic models with time-varying covariances. Econometric Reviews, 11(2), 143-172.
• Campbell, J. Y., Lo, A. W., & MacKinlay, A. C. (1997). The Econometrics of Financial Markets. Princeton University Press. Ch. 2.
• Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation. Econometrica, 50(4), 987-1007.
• Engle, R. F., & Bollerslev, T. (1986). Modelling the persistence of conditional variances. Econometric Reviews, 5(1), 1-50.
• Hamilton, J. D. (1994). Time Series Analysis. Princeton University Press. Ch. 21.
• Kupiec, P. H. (1995). Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models. Journal of Derivatives, 3(2), 73-84.
• Nelson, D. B. (1990). Stationarity and persistence in the GARCH(1,1) model. Econometric Theory, 6(3), 318-334.
• Shephard, N., & Sheppard, K. (2010). Realising the future: Forecasting with high-frequency-based volatility (HEAVY) models. Journal of Applied Econometrics, 25(2), 197-231.
• Taylor, S. J. (1986). Modelling Financial Time Series. Wiley.
• Tsay, R. S. (2010). Analysis of Financial Time Series (3rd ed.). Wiley. Ch. 3.