描述性统计：均值、中位数、众数

在做出推断之前，你首先要描述你所看到的。均值、中位数、众数、方差和标准差是数据汇总的基本词汇。

第 3 篇 · 共 5 篇约 4 分钟

描述性统计的目的

在你能够从数据中推断任何东西之前，在你能够检验假设或拟合模型之前，你必须首先理解数据实际看起来是什么样的。描述性统计是这一初步探索的工具。它们将大型数据集汇总为少数几个数字，抓住基本特征：数据集中在哪里、分散程度如何、呈什么形状。

总体与样本

总体和样本之间有一个重要的区别。

总体是你感兴趣研究的整个群体。标普500成分股、過去20年的所有日收益率、某只股票的所有交易——这些都是总体。原则上，你可以测量总体的每个元素，但通常总体太大甚至无限。

样本是你实际观察和测量的总体子集。我们用样本统计量来估计总体参数。样本均值和样本方差的公式与总体对应公式略有不同，我们会仔细区分这两者。

均值

算术均值（通常简称”平均值”）是最常见的集中趋势度量。对于 $n$ 个观测值 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的样本：

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i

均值具有许多吸引人的数学性质。它是分布的平衡点——高于均值的偏差之和等于低于均值的偏差之和。在平方误差损失下，它是总体均值的最佳无偏估计量。它是可加的：合并数据集的均值是各个均值的加权平均。

然而，均值对极端值很敏感。平均收益率为12%的投资组合，可能是一贯的12%收益，也可能是20%的赢家与偶尔40%亏损的混合。仅仅靠均值无法区分这些情况。

中位数

中位数是当数据按顺序排列时的中间值——第50百分位。如果 $n$ 是奇数，中位数是单一的中间值。如果 $n$ 是偶数，它是两个中间值的平均值。

中位数对异常值是稳健的。如果某一天因闪崩亏损30%，中位数几乎不受影响，而均值会大幅下降。这种稳健性使中位数成为高度偏斜数据（如收入分布或偶尔有极端波动的资产收益）首选的集中趋势度量。

众数

众数是数据集中出现频率最高的值。它是唯一适用于分类（非数值）数据的集中趋势度量——你投资组合中最常见的板块、最频繁的交易模式。

对于连续数据，每个值都是唯一的（没有重复），所以众数在其原始形式下用处不大。相反，从业者通常看直方图的众数——分布的峰值，也称为众数区间。

方差与标准差

集中趋势告诉你数据在哪里。方差和标准差告诉你数据有多分散。

对于均值为 $\bar{x}$ 的 $n$ 个观测值样本：

\text{Var}(X) = s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2

样本方差在分母中使用 $n-1$ （而不是 $n$ ），这使其成为总体方差的无偏估计量。这就是贝塞尔校正。

标准差 $s = \sqrt{s^2}$ 是方差的平方根。因为方差是平方单位，标准差回到数据的原始单位，使其更易于解释。对于金融收益，标准差被称为波动率——这是量化金融中如此核心的概念，以至于它有了自己的名字。

极差与四分位距

极差是最大值和最小值之间的差异： $\text{range} = \max(x) - \min(x)$ 。它计算简单，但受异常值影响很大。

四分位距（IQR）是中间50%数据的范围：

\text{IQR} = Q_3 - Q_1

其中 $Q_1$ 是第25百分位， $Q_3$ 是第75百分位。IQR 对异常值稳健，告诉你”典型”数据的分散程度。一个常见的经验法则是：超出 $Q_1 - 1.5 \times \text{IQR}$ 和 $Q_3 + 1.5 \times \text{IQR}$ 的值可能是异常值。

偏度与峰度

偏度衡量分布的不对称性：

\text{Skewness} = \frac{E[(X - \mu)^3]}{\sigma^3}

正偏度意味着右尾更长——可能获得极端收益但损失有界。资产收益通常呈正偏，因为存在大幅收益的可能性。
负偏度意味着左尾更长——可能发生崩盘但收益有上限。这描述了许多保险型支付结构。
零偏度意味着对称，如正态分布。

峰度衡量相对于正态分布的尾部厚度：

\text{Kurtosis} = \frac{E[(X - \mu)^4]}{\sigma^4}

正态分布的峰度为3。超额峰度是峰度减去3。正超额峰度（“尖峰分布”）意味着比正态分布更肥的尾部——比正态分布更尖锐的峰值——这正是我们在金融收益中观察到的现象。这就是为什么市场中的4西格玛事件比正态模型预测的发生得更频繁。

五数概括与箱线图

五数概括用五个数字捕捉数据集：最小值、 $Q_1$ 、中位数、 $Q_3$ 和最大值。箱线图（或箱须图）将这五个数字可视化。箱体从 $Q_1$ 延伸到 $Q_3$ ，箱内的线是中位数，须延伸至最极端的值（在1.5倍 IQR 范围内）。

Python：探索标普500收益

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats


np.random.seed(42)
n = 1_000
daily_returns = np.random.normal(0.0003, 0.01, n)  # ~8% 年化收益, ~16% 年化波动率

returns_series = pd.Series(daily_returns)

print("描述性统计：")
print(returns_series.describe())

print(f"\n偏度: {returns_series.skew():.4f}")
print(f"超额峰度: {returns_series.kurtosis():.4f}")
print(f"中位数: {returns_series.median():.6f}")
print(f"IQR: {returns_series.quantile(0.75) - returns_series.quantile(0.25):.6f}")

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# 带均值和中位数标记的直方图
axes[0].hist(daily_returns, bins=50, density=True, alpha=0.7)
axes[0].axvline(returns_series.mean(), color='red', linestyle='--', lw=2, label=f'Mean: {returns_series.mean():.4f}')
axes[0].axvline(returns_series.median(), color='green', linestyle=':', lw=2, label=f'Median: {returns_series.median():.4f}')
axes[0].set_xlabel('日收益率')
axes[0].set_ylabel('密度')
axes[0].set_title('模拟日收益率分布')
axes[0].legend()
axes[0].grid(alpha=0.3)

# 箱线图
axes[1].boxplot(daily_returns, vert=True)
axes[1].set_ylabel('日收益率')
axes[1].set_title('日收益率箱线图')
axes[1].grid(alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

提示词

用 numpy 模拟收益率,用 pandas 算描述性统计(五数概括、偏度、峰度、IQR),画带均值中位数标记的直方图和箱线图。

在真实的标普500数据中，你通常会看到轻微的负偏度和正超额峰度。模型中通常假设的正态分布只是一个近似——实际收益分布比高斯钟形曲线有更肥的尾部和一个更尖锐的峰值。

参考文献

Moore, D. S. and McCabe, G. P. Introduction to the Practice of Statistics, Chapter 1. Freeman. Ross, S. M. A First Course in Probability, review of statistics. Pearson.