合成数据生成：Ornstein-Uhlenbeck 回测

历史只走出了一条路径，你的回测数字是那条路径的产物。用 OU 过程造一千条统计性质相同的路径，你拿到的是一个分布而不是一个数——以及它会在哪些地方骗你。

第 2 篇 · 共 12 篇约 14 分钟

你的回测只见过一条路径

历史回测有一个藏得很深的偏倚：你测的是策略在市场碰巧走出的那一条路径上的表现。策略在这条路径上赚钱，不等于它在另一条路径上也赚钱。市场完全可以走出另一条统计性质完全相同的路径，而你的策略在那条路径上亏掉本金。

这不是哲学抬杠。你的回测输出一个夏普，比如 1.6。这个数字的不确定性有多大？单条路径的回测不回答这个问题——它连问都没法问，因为它只有一个样本点。

修正办法很直接：造一批统计性质相同的合成路径，在每一条上跑同一个策略。你得到的不是一个夏普，是一个夏普的分布。分布的均值是你的期望表现估计，分布的宽度是你对这个估计的信心。这个东西比单一数字诚实得多。

这套做法的参考是 AFML 第 13 章（“Backtesting on Synthetic Data”），基础模块是 Ornstein-Uhlenbeck 过程。

（López de Prado, M., Advances in Financial Machine Learning, 第 13 章。ISBN 978-1119482086。）

OU 过程：一块可以随便复制的积木

OU 是均值回归的随机过程：

dX_t = \kappa (\mu - X_t) dt + \sigma dW_t

其中 $\kappa$ 是均值回归速度， $\mu$ 是长期均值， $\sigma$ 是波动率， $W_t$ 是标准布朗运动。漂移项 $\kappa(\mu - X_t)$ 就是全部的机制：偏离越远，往回拉的力越大。

用 Euler-Maruyama 离散化，写成能直接进循环的形式：

X_{t+\Delta t} = X_t + \kappa (\mu - X_t) \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \cdot \epsilon_t

其中 $\epsilon_t \sim N(0, 1)$ 。

OU 是平稳的：常数均值 $\mu$ 、常数方差 $\sigma^2 / (2\kappa)$ ，滞后 $\tau$ 处的自相关是 $e^{-\kappa \tau}$ ，指数衰减。这三条性质决定了它能用在哪儿——价差、基差、波动率、期限结构，这些量本身就有一个”该在的位置”。价格没有。对趋势量硬套 OU，你会生成一堆围着历史均值打转的假路径，然后得出一个”策略在任何路径上都能均值回归赚钱”的结论，而这个结论完全是你自己的模型设定造出来的。趋势量用几何布朗运动或者别的带漂移的过程。

（Uhlenbeck, G. E., & Ornstein, L. S., “On the Theory of the Brownian Motion,” Physical Review, 36(5), 1930, pp. 823–841。）

把参数校准出来（以及一个容易写错的地方）

给定一段历史序列，要把 $\kappa, \mu, \sigma$ 估出来。长期均值就是样本均值：

\hat{\mu} = \bar{X}

回归速度来自滞后 1 的样本自相关 $\hat{\rho}$ 。离散观测下 OU 就是一个 AR(1)，其自回归系数等于 $e^{-\kappa \Delta t}$ ，反解得到：

\hat{\kappa} = -\frac{\log(\hat{\rho})}{\Delta t}

这里有个前提： $\hat{\rho}$ 必须为正。如果你的序列滞后 1 自相关是负的或接近零， $\log$ 要么没定义要么爆出一个巨大的 $\kappa$ ，意思是这段数据根本不像 OU，该换模型而不是硬算。

波动率这一步是最容易写错的。 $\sigma$ 要从残差里估，而不是从增量里估：

\hat{\sigma}^2 = \frac{2\hat{\kappa} \cdot \hat{s}_\varepsilon^2}{1 - e^{-2 \hat{\kappa} \Delta t}}

其中 $\hat{s}_\varepsilon^2$ 是 AR(1) 残差 $\hat{\varepsilon}_t = (X_{t+\Delta t} - \hat{\mu}) - \hat{\rho}(X_t - \hat{\mu})$ 的样本方差。分母 $1 - e^{-2\kappa\Delta t}$ 正是把残差方差换算回 $\sigma^2$ 的因子，它和残差配对才成立。如果你在分子上放的是一阶差分 $X_{t+\Delta t} - X_t$ 的方差，那你多算了一份均值回归拉回来的位移， $\hat{\sigma}$ 会系统性偏大——而且 $\kappa$ 越大偏得越多。这个错误在实现里很常见，因为”增量的方差”听起来天经地义。

Python 里的一个最简校准：

import numpy as np

def calibrate_ou(series, dt=1.0):
    """Calibrate OU parameters from a time series."""
    mu = series.mean()
    rho = np.corrcoef(series[:-1], series[1:])[0, 1]
    kappa = -np.log(rho) / dt
    resid = (series[1:] - mu) - rho * (series[:-1] - mu)
    s_eps_sq = np.var(resid, ddof=1)
    sigma_sq = s_eps_sq * 2 * kappa / (1 - np.exp(-2 * kappa * dt))
    sigma = np.sqrt(sigma_sq)
    return {'mu': mu, 'kappa': kappa, 'sigma': sigma}

给个量级感：一个日频序列，滞后 1 自相关 0.95，算出来 $\kappa \approx 0.051$ /天，按 252 个交易日折算大约 13/年。半衰期是 $\log 2 / \kappa \approx 13.5$ 天——价差偏离之后大约两周半回到一半。这个数你应该对着原序列看一眼是否说得通；对不上，多半是校准窗口跨了不同的市场状态。

一千条路径长什么样

参数有了，生成路径就是把离散化公式塞进循环：

def generate_ou_path(mu, kappa, sigma, x0, n_steps, dt=1.0, seed=None):
    """Generate one OU path."""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    path = np.zeros(n_steps)
    path[0] = x0
    for t in range(1, n_steps):
        path[t] = path[t-1] + kappa * (mu - path[t-1]) * dt + sigma * np.sqrt(dt) * rng.standard_normal()
    return path

换 seed 反复调用，就得到一族路径：均值、方差、自相关都一样，具体实现各不相同。回测时通常生成 1000 条以上，在每条上跑一遍策略，收集夏普。用 10 条也能出图，但那张图的形状主要是抽样噪声，不是策略的性质。

AFML 第 13 章的框架比这块积木走得远。它想让合成数据在三个层面上贴住历史：边际分布要有相同的均值、方差、偏度、峰度；序列依赖要有相同的自相关结构；多资产时横截面依赖要有相同的相关结构。做法是把边际分布和依赖结构拆开各自校准，再用 copula 拼回去——边际通常用核密度估计拟合经验分布，依赖结构用经验相关矩阵。

不想上 copula 的话，有一个够用的简化版：

把历史数据经经验 CDF 做边际变换之后，拟合成多元正态。
用相同的协方差矩阵生成合成多元正态样本。
通过经验逆 CDF 变换回原始边际分布。

出来的合成数据边际分布和相关结构都和历史数据对得上。代价是它把依赖结构简化成了线性相关，尾部相关那部分丢了——这一点后面还会咬回来。

把历史那个数放回分布里读

有了分布，历史回测那个孤零零的夏普就不再是结论，而是分布上的一个点。最严谨的用法是两个都跑，然后比位置：跑历史回测拿到夏普估计，生成 1000 条合成路径拿到夏普分布，看历史值落在哪儿。

落在分布主体里，说明策略表现和它的统计性质所允许的差不多，没有明显的路径过拟合。落在上尾，两种解释都成立——可能是过拟合到了那条特定路径，也可能真抓到了合成模型没建模的优势，这时候需要下一节的工具来分。落在中位数以下，可能是运气差，也可能是策略压根没利用上这些统计性质，反而被自己的规则拖累。

这就是合成回测真正解决的问题。它把”一条路径”的偏倚换成了”很多路径”的不确定性——后者你至少能量化。历史回测给你一个点估计而不告诉你误差棒，合成回测给你误差棒。

还有个便宜的诊断：把历史回测的净值曲线和十几条合成回测的曲线画在同一张图上。如果历史那条混在里面看不出来，策略稳健；如果它一眼就是最漂亮的那条，怀疑过拟合。这比看统计量直观，而且能看出形状上的异常——比如历史曲线光滑得不像话。

（AFML, 第 13 章。）

搜索过的夏普要先去膨胀

上面这套有一个可以整个失效的方式：你在合成数据上回测了 100 个策略，挑出夏普 2.5 的那个，宣布策略很好。这个结论忽略了多重检验——100 个毫无优势的策略里，本来就该有几个凭运气拿到高夏普。合成数据不能豁免这条，它只是把搜索的战场换了个地方。

去膨胀夏普比率（DSR）就是干这个的。它把多重检验、收益的非正态性和记录长度一起算进去，是评估”搜出来的”策略的正确指标：

\widehat{DSR} = Z\!\left[\frac{(\widehat{SR} - SR_0)\sqrt{T-1}}{\sqrt{1 - \hat{\gamma}_3 \widehat{SR} + \frac{\hat{\gamma}_4 - 1}{4}\widehat{SR}^2}}\right]

其中 $\widehat{SR}$ 是观测夏普（与 $T$ 同频率，不年化）， $T$ 是收益观测数， $\hat{\gamma}_3$ 是偏度， $\hat{\gamma}_4$ 是峰度， $Z[\cdot]$ 是标准正态 CDF。分母里的偏度和峰度项是关键：负偏、厚尾会放大夏普估计本身的方差，同一个 $\widehat{SR}$ 在厚尾收益上的证据强度更低。

阈值 $SR_0$ 不是 0，而是 $N$ 次试验下纯噪声能达到的期望最大夏普：

SR_0 = V\left[(1-\gamma)\,Z^{-1}\!\left(1 - \frac{1}{N}\right) + \gamma\,Z^{-1}\!\left(1 - \frac{1}{N e}\right)\right]

其中 $V$ 是这 $N$ 次试验的夏普估计的横截面标准差， $\gamma \approx 0.5772$ 是 Euler-Mascheroni 常数。 $N$ 进对数量级，所以试 100 个和试 10000 个的门槛差不了几倍——但和试 1 个差很多。DSR 读作”在校正多重检验之后，真实夏普高于该阈值的概率”，0.95 以上才算这个策略大概站得住。

关键是 $N$ 得老实填。你自己心里清楚试过多少个变体；填 1 的话这个公式什么也纠正不了。

（Bailey, D. H., & López de Prado, M., “The Deflated Sharpe Ratio,” Journal of Portfolio Management, 40(5), 2014。）

一个完整的例子

设定：两个协整资产的价差上的均值回归策略。价差大致服从 OU， $\mu = 0$ 、 $\kappa = 0.05$ 、 $\sigma = 1$ 。历史数据 5 年，1250 个日观测。

校准到历史价差，拿到 $\hat{\mu} = 0.02$ （略为正）、 $\hat{\kappa} = 0.048$ （约 12/年）、 $\hat{\sigma} = 1.05$ 。然后生成 1000 条路径，每条 1250 天长，参数相同、随机种子不同。

策略规则很简单：价差偏离均值 2 个标准差时入场，回归时出场。在每条合成路径上跑一遍，记录夏普。

出来的分布大致正态，均值 1.3、标准差 0.4；按正态分位算，5 百分位约 0.64，95 百分位约 1.96。这一步就已经有信息了：即便策略、参数、统计性质全部固定，纯粹因为路径不同，夏普也能在 0.64 到 1.96 之间晃。任何把回测夏普报到小数点后两位的做法，在这个宽度面前都是自欺。

历史回测给出的夏普是 1.6，在分布的第 77 百分位左右——偏上，但远不到异常。DSR 算出来 0.92，低于 0.95 的线，意思是策略大概率是真的，但还留着一点不确定性没被排除。

合起来读：这个策略的期望夏普在 1.3 附近，实际拿到多少很大程度上取决于市场走哪条路径；历史那个 1.6 和这个范围一致，不需要用过拟合来解释。这个结论比”回测夏普 1.6”信息量大得多，也保守得多。

（AFML, 第 13 章。）

同一根杠杆反过来用：压力测试

生成路径的参数是你填的，这意味着你可以填历史没出现过的参数。这是合成数据除了不确定性量化之外的第二个用途，而且往往更有价值——历史数据回答不了”如果波动率翻倍会怎样”，因为样本里可能压根没有那种时期。

沿用上面的例子，三个方向各推一把：把 $\sigma$ 设成 2（校准值是 1.05），模拟高波动状态，看策略还能不能用；把 $\kappa$ 设成 0.01（校准值是 0.048），模拟均值回归明显变弱的状态，看优势还在不在；把 $\mu$ 设成 1（校准值是 0.02），模拟价差出现持续偏移的状态——这一档往往最致命，因为”回归到均值”的策略在均值本身漂移时会一直加仓错误方向。

每个压力场景生成 100 条以上路径再评估。一个常见的结果是：在校准状态下表现很好的策略，在压力状态下直接失效。这基本就是对历史状态过拟合的信号。稳健的策略不需要在压力状态下同样赚钱，但应该在大多数压力状态下夏普仍然为正，或者至少亏得有限、可预期。

模型会在哪里骗你

合成数据的诚实是有边界的，而且边界的位置由你选的模型决定。

最根本的一条：合成路径不是未来。它们由校准出来的统计性质生成，如果未来的状态和历史状态不一样，这些路径就对不上。合成回测告诉你的是”策略在可信的替代历史上会怎样”，不是”策略在实际未来会怎样”。这两件事的差距，就是你对市场结构稳定性的假设有多强。

尾部是第二个漏洞，而且是 OU 特有的。OU 的增量是高斯的，真实金融收益是厚尾的——极端事件出现的频率比高斯预测的高。所以 OU 生成的路径系统性地低估尾部事件，任何靠尾部行为吃饭或者被尾部行为杀死的策略（卖期权是最典型的）在这套框架下会被严重错估，而且是往好的方向错估。上一节那个用经验 CDF 做边际变换的简化版能补回一部分边际的厚尾，但多资产的尾部相关——危机时什么都一起跌——线性相关矩阵是抓不住的。

第三，路径相关的策略难评估。基于回撤的仓位管理、持有到目标价才平仓这类规则，依赖的是事件的具体顺序。统计性质完全相同的两条路径，回撤序列可以差得很远，策略结果自然也不同。这不算是缺陷——合成分布的宽度本来就该把这种波动包进去——但它意味着这类策略的分布会比看起来更宽，你需要更多路径才能把分位数估稳。

最后，横截面相关会变。历史相关矩阵在未来不一定成立，而合成数据忠实地保留了它。你保留的可能正是那个即将失效的东西。

模型选错是把上面所有问题一次性放大的做法。OU 适合均值回归量；趋势量用随机游走或几何布朗运动；波动率用 GARCH；多资产用带合适依赖结构的多元模型。用 OU 生成股价路径然后发现”均值回归策略很赚钱”，你测的是你的模型，不是你的策略。

（AFML, 第 13 章。）

不是均值回归量怎么办：马尔可夫链

对离散信号——订单簿状态、状态标签、离散化后的信号档位——OU 完全不适用，连续过程在离散状态上没有意义。这时候用马尔可夫链。

马尔可夫链由转移矩阵 $P$ 定义， $P_{ij}$ 是一个时间步内从状态 $i$ 转到状态 $j$ 的概率。校准就三步：

把历史信号编码为状态序列。
统计转移次数： $n_{ij}$ = 状态 $i$ 之后出现状态 $j$ 的次数。
估计 $P_{ij} = n_{ij} / \sum_k n_{ik}$ 。

生成时从状态的实证分布开始，每一步按 $P$ 转移即可。这样保留下来的是离散信号该有的东西：平稳分布、转移概率、自相关结构。对牛市/熊市/震荡这类多状态标签，马尔可夫链还会以正确的概率生成状态切换——这是 OU 给不了的，OU 只有一个状态。

局限在阶数上。1 阶链的当前状态只依赖前一个状态，长记忆依赖捕捉不到；如果你的信号有”连续三天同向之后更可能继续”这种结构，1 阶链会把它抹平。要更长的记忆就上高阶链（2 阶、3 阶……），或者用隐马尔可夫模型——代价是参数个数随阶数指数增长，样本很快就不够了。

（用于状态检测的隐马尔可夫模型在 Hamilton, J. D., “Analysis of Time Series Subject to Changes in Regime,” Journal of Econometrics, 53(1-3), 1990, pp. 7–33 中讨论。）

块自助法：便宜的那条路

OU 和马尔可夫都要求你先承诺一个模型。块自助法不用：

从历史序列中提取长度为 $L$ 的重叠块。
有放回地重采样这些块。
把重采样的块拼接起来形成合成序列。

块内结构（自相关、分布性质）被保留，块间结构被打散。合成序列本质上是历史片段的随机重排。取 $L = 21$ （一个交易月），月度尺度的模式留着，年度尺度的没了——生成出来的东西像是从历史里随机抽月份拼成的一年。

它的好处是实现只要几行、不需要任何分布假设，而且偏度和峰度这些高阶矩是从数据里直接带过来的，不像 OU 那样被高斯假设抹掉。厚尾问题在这条路上基本不存在。

代价也清楚。合成序列被历史块封死了，出不了新模式——历史上没发生过的组合，自助法造不出来。块的接缝处会出现不真实的跳变， $L$ 越小接缝越多。长记忆结构跨不过块边界，所以跟 1 阶马尔可夫链一样丢长依赖。

所以它适合做快速的健全性检查，严谨度不如基于模型的路线。当补充用，不当替代用。

（Künsch, H. R., “The Jackknife and the Bootstrap for General Stationary Observations,” Annals of Statistics, 17(3), 1989, pp. 1217–1241。）

三种方法不一致的时候，信息量最大

三条路都摆出来了，稳妥的做法是三条都走：OU 生成 1000 条、块自助法生成 1000 条、马尔可夫链生成 1000 条，然后比三个夏普分布。

分布形状接近，说明策略表现对合成方法的选择不敏感，结论可以放心用。分布明显不同，说明你的结论其实取决于建模选择，这时候真正该做的是搞清楚哪个假设在起作用——通常是尾部、长记忆或者状态切换三者之一。

有一个几乎每次都会出现的现象值得先知道：OU 的夏普分布比另外两个紧，因为 OU 路径本身比自助法或马尔可夫路径平滑；块自助法的分布最宽，因为它能把历史上不相邻的异常时期拼在一起，造出比真实历史更难看的序列。

这个差异不是谁对谁错，是用途不同。做风险管理，取宽的那个（块自助法）更保守，你想知道的是坏情况能有多坏。做期望表现估计，紧的那个（OU）可能更准，因为它没有把人为拼接产生的不连续算进去。两个都看，用途决定你信哪个。

值多少钱

拿到手的是一个更诚实的表现估计。跨合成路径的平均夏普比历史夏普更接近期望表现，路径间的标准差直接给了你不确定性。

方向上你该预期估计值往下走。历史夏普是在一条被你反复看过的路径上算出来的，合成均值会明显低于它——打掉两三成到一半是常见的量级，但这个幅度随策略、样本长度和你搜索过多少变体变化很大，不该当成固定折扣用。上面那个例子里，历史 2.0 的策略对应合成均值 1.3、标准差 0.5 的分布是完全正常的：2.0 太乐观，1.3 更现实，而 0.5 的标准差告诉你连 1.3 都别当成确定的数。

代价是工程量。生成合成数据、在每条路径上跑一遍回测、再分析分布，需要写代码也需要算力，1000 条路径 × 1250 天的回测不是随手跑跑。简单策略、参数少、逻辑透明的，历史回测加一点常识可能就够了。参数多、经过大量搜索、你自己都说不清为什么这套参数最好的复杂策略，合成回测的投入回报率最高——因为那正是最可能骗到你的情形。

放到整个评估链条里看，合成回测只是一环。历史回测是基线，告诉你在实际发生过的那条路径上会怎样；合成回测给出一批可信的替代历史，把结论从点变成分布；压力测试用极端参数逼出策略的失效边界；walk-forward 优化在滚动窗口上重拟合重评估，检验策略跟不跟得上条件变化；模拟盘是唯一能暴露滑点、成交和延迟这些现实摩擦的一环，前面四种全都假设你能按理论价成交。

五种方法各有各的盲区，也各自补上前一种的盲区，所以严谨的评估是全跑一遍。全通过的策略才是实盘部署的候选；任何一环不过，回去查为什么，而不是绕过去。

（López de Prado, M., Advances in Financial Machine Learning, 第 13 章。ISBN 978-1119482086。）