CVaR 优化，以线性规划的方式

Rockafellar & Uryasev (2000) 把一个看似要先知道分位数才能算的量，写成了一个凸最小化——于是尾部风险优化塌成一个线性规划。以及为什么真正的难点从来不在优化器。

第 11 篇 · 共 12 篇约 12 分钟

方差在高斯世界里是个不错的风险度量。我们不在高斯世界。股票收益有肥尾，债券收益分布不对称，加密货币的下行几乎无界。方差把这些全部错过。

条件在险价值（CVaR），也叫预期短缺、预期尾部损失，或者干脆读作”最差 α% 情形下的平均损失”，是机构给出的答案。它是一致风险度量，它盯着损失真正发生的那一段分布。但让它从一个漂亮的定义变成一件能用的工具的，是 Rockafellar 和 Uryasev 2000 年那篇论文：他们证明这个看上去必须先知道分位数才能算的量，可以写成一个凸最小化问题——代入历史情景之后，整件事塌成一个线性规划。

下面先说清楚 CVaR 是什么、为什么它比方差站得住，然后把 LP 一步步搭出来。搭完之后你会发现真正的难点根本不在优化器那一侧。

方差错在哪

方差对上行和下行同等惩罚。一个 30% 上行波动、0% 下行波动的组合，与一个 0% 上行、30% 下行的组合方差相同——对拿着钱的人来说，这两件事完全不是一回事。

更麻烦的是它是二次度量，捕捉不到尾部形状。一个低方差、但有 5% 概率损失 50% 的组合，和一个没有尾部风险、日常波动中等的组合，可以有相同的”方差”。真实投资者关心的是前者那 5%。

Kritzman、Page 和 Turkington 在 Financial Analysts Journal (2012) 的 “Regime Shifts: Implications for Dynamic Strategies” 里给这件事做过实证：波动率在不同状态之间的差别，远小于尾部风险在状态之间的差别。用波动率去代理风险，你会觉得两个状态差不多；用尾部度量去看，它们不是一个东西。

CVaR 同时修掉这两处。它不对称，只看损失；它是尾部的度量，只看最差的 α% 情景。

定义，以及一个容易写反的下标

设 $X$ 为组合损失， $X$ 越大越糟， $F_X(x) = P(X \leq x)$ 为其累积分布函数， $\alpha \in (0, 1)$ 为尾部概率（ $\alpha = 0.05$ 表示最差的 5%）。

水平 $\alpha$ 下的在险价值（VaR）是这个阈值：

\text{VaR}_\alpha(X) = \min \{ x : F_X(x) \geq 1 - \alpha \}

注意右边是 $1 - \alpha$ 而不是 $\alpha$ 。因为 $X$ 是损失，“最差 5%“落在分布的上尾，所以取的是 95% 分位数。这个下标反过来写是文献里最常见的笔误之一，一旦写反，后面所有 $1/\alpha$ 的系数都会失去意义。

CVaR（即水平 $\alpha$ 的预期短缺）是 $X$ 在超过 VaR 条件下的条件期望：

\text{CVaR}_\alpha(X) = \mathbb{E}[X \mid X \geq \text{VaR}_\alpha(X)]

取最差 α% 的情形，对损失求平均。就这么简单。

对连续分布还有一个干净的积分表示：

\text{CVaR}_\alpha(X) = \frac{1}{\alpha} \int_0^\alpha \text{VaR}_u(X) du

即把尾部概率从 0 扫到 $\alpha$ ，对沿途所有 VaR 求平均。对 $\alpha = 0.05$ ，这就是最差 5% 结果的平均值。

一致性：四条公理和两个失败者

一致风险度量（Artzner et al., 1999）要满足四条公理。单调性：若在所有状态下 $X \leq Y$ ，则 $\rho(X) \leq \rho(Y)$ 。平移不变性：对任意常数 $c$ ， $\rho(X + c) = \rho(X) + c$ 。次可加性： $\rho(X + Y) \leq \rho(X) + \rho(Y)$ ，也就是分散化不该增加风险。正齐次性：对 $\lambda \geq 0$ ， $\rho(\lambda X) = \lambda \rho(X)$ 。

方差一上来就挂在第一条和第二条：它根本不度量损失，而且给所有结果加一个常数它纹丝不动。VaR 挂在第三条，这是个著名结论——两个各自 VaR 为 $10 的组合，合并之后 VaR 可以超过 $20。这不是病态构造，两笔尾部不重叠的违约敞口就能做出来。一个会因为你分散而变大的风险数字，没法拿来做限额。

CVaR 四条全过。这就是它在机构风险管理里成为数学上站得住的那个选择的原因。

Rockafellar-Uryasev 公式

上面的定义有个实操上的麻烦：要算 CVaR，你得先知道 VaR，而 VaR 是个分位数——分位数关于权重 $w$ 既不连续也不凸，直接塞进优化器是灾难。

Rockafellar 和 Uryasev 的做法是把分位数从”要先求出来的东西”变成”顺带解出来的东西”：

\text{CVaR}_\alpha(X) = \min_{\zeta} \left\{ \zeta + \frac{1}{\alpha} \mathbb{E}[(X - \zeta)^+] \right\}

其中 $(X - \zeta)^+ = \max(X - \zeta, 0)$ ， $\zeta$ 是一个自由变量。对 $\zeta$ 求最小，最优的 $\zeta^\star$ 恰好等于 $\text{VaR}_\alpha(X)$ ，而最优目标值恰好等于 $\text{CVaR}_\alpha(X)$ 。你不必事先知道分位数，优化会把它交出来。

这个结果之所以关键，是因为 $\mathbb{E}[(X - \zeta)^+]$ 是 $X$ 的分布的线性泛函，而 $\max(\cdot, 0)$ 是分段线性的。凸性有了，线性结构也有了。

搭成 LP

把它接到组合上。设 $w$ 为权重， $r_j$ 为资产 $j$ 的收益， $L_j = -r_j$ 为损失，组合损失是

X(w) = -w^\top r = \sum_j w_j L_j

在目标收益约束下最小化 CVaR：

\begin{aligned} \min_{w, \zeta} \quad & \zeta + \frac{1}{\alpha T} \sum_{t=1}^T u_t \\ \text{s.t.} \quad & u_t \geq -w^\top r^{(t)} - \zeta, \quad \forall t \\ & u_t \geq 0, \quad \forall t \\ & \mathbf{1}^\top w = 1, \quad w \geq 0 \\ & w^\top \bar{r} \geq \bar{r}_{\min} \end{aligned}

$T$ 是历史情景数 $r^{(1)}, \ldots, r^{(T)}$ ， $\bar{r}_{\min}$ 是目标预期收益。变量有三组： $w$ 是资产权重， $\zeta$ 是 VaR 估计， $u_t$ 每个情景一个，用来捕捉超出 VaR 的那部分损失。 $u_t \geq 0$ 和 $u_t \geq \text{损失} - \zeta$ 两条约束合起来就是 $\max(\cdot, 0)$ ——这是把分段线性函数塞进 LP 的标准手法。

目标和约束对所有变量都是线性的，所以这是个货真价实的线性规划。矩阵规模约为 $(T + N + 1) \times (N + T + 1)$ ，情景数在一万以内都很轻松。

这件事的好处有三层，值得分开说。第一层是凸：它是 LP，所以现成求解器就能上，拿到的是全局最优，不必像 Sharpe 比率优化（分数规划、非凸）那样操心局部极小。第二层是无分布假设：你在一组离散历史情景上优化，不假设任何参数分布，情景有肥尾它就尊重肥尾，情景来自压力时期它就捕获那段压力。第三层是读得懂： $\zeta$ 的最优值就是 VaR，目标的最优值就是 CVaR，权重就是配置，没有隐藏的正则化项，没有变换。

具体地，用 cvxpy 的一个可工作实现：

import cvxpy as cp
import numpy as np

# Historical return scenarios: shape (T, N)
returns_scenarios = returns_hist.values  # T scenarios, N assets

T, N = returns_scenarios.shape
alpha = 0.05  # Worst 5%
target_return = 0.008  # 0.8% monthly

# Variables
w = cp.Variable(N)
zeta = cp.Variable()  # VaR estimate
u = cp.Variable(T)    # Excess losses

# Portfolio losses (positive = loss)
losses = -returns_scenarios @ w  # shape (T,)

# Objective: minimize CVaR
objective = cp.Minimize(zeta + 1.0 / (alpha * T) * cp.sum(u))

# Constraints
constraints = [
    u >= losses - zeta,    # u_t = max(loss_t - VaR, 0)
    u >= 0,
    cp.sum(w) == 1,        # Fully invested
    w >= 0,                # Long-only
    returns_scenarios.mean(axis=0) @ w >= target_return
]

problem = cp.Problem(objective, constraints)
problem.solve()

print("CVaR-optimal weights:", w.value.round(4))
print("Estimated VaR:", zeta.value)
print("Estimated CVaR:", problem.value)

典型规模下毫秒级出解，输出是一个不做空的组合，权重偏向在历史最差 5% 情景里表现好的资产。

把这个组合和同一批数据上的方差最优组合摆在一起，差别是有规律的。CVaR 最优组合的左尾风险更低，这是它被优化的方向；它在防御性资产上更集中，这是同一件事的另一种说法；而它的平均收益通常更低，因为方差会惩罚右尾的爆发，CVaR 不惩罚右尾，却也不会去追它。至于中位数收益谁高，取决于情景集合，别把它当成一条规律。这些都是定性方向而非定量结论——换一段情景，幅度会变，符号偶尔也会变。

你优化的其实是一个样本

上面这个 LP 里没有”真实分布”这个东西。目标里的 $\frac{1}{\alpha T}\sum u_t$ 是经验 CVaR，即最差 α% 的历史情景的平均。这是对真实 CVaR 的样本均值近似（SAA）。真实 CVaR 需要知道潜在的收益分布，而我们没有。

SAA 在 $T \to \infty$ 时收敛到真实 CVaR，有限 $T$ 下有差距，而且这个差距的大小可以估：

\text{Var}(\widehat{\text{CVaR}}) \approx \frac{\sigma_{\text{tail}}^2}{\alpha T}

$\sigma_{\text{tail}}^2$ 是尾部结果的方差。分母上的 $\alpha$ 是重点：真正参与估计的样本量不是 $T$ 而是 $\alpha T$ 。要把方差减半，需要 4 倍情景。

实践上这意味着：情景要够多。几百个够撑起一个稳定的 CVaR 估计，几千个更好；5 年日度收益约 1,260 个情景，通常够用。想更严格，可以对权重加一点显式正则化（比如 L2）来应付 SAA 噪声。但要清楚这只是在压噪声的方差，压不掉情景本身的偏差——那是下面那件事。

情景才是真正的输入

优化器给你的答案完全由你喂进去的情景决定。这句话在生产里的分量比前面所有数学都重：换一段样本窗口，最优权重会变得面目全非。用 2008-2009 的数据，你会得到一个防御性组合；用 2017 的数据，你会得到一个动量倾斜的组合。情景窗口的选择和风险度量的选择同等重要，而前者通常没人写进方法论文档。

所以情景应当反映未来收益的分布，而不只是复述历史。常见的生成方式有五种，各有各的破绽。历史情景直接取一段历史收益，依赖结构真实，但情景数量有限且默认未来长得像过去。过滤后的历史情景在历史收益上套一层 GARCH 之类的模型以加入波动率聚集，能捕获状态条件动态，代价是引入模型依赖。蒙特卡洛情景从拟合好的模型（多元正态、t 分布、偏 t）模拟，情景要多少有多少，代价是模型误设风险。Bootstrap 情景有放回地重抽样历史收益，非参数，但受制于和历史情景一样的局限。压力情景为已知风险（金融危机、衰退、通胀飙升）手工构造，风险覆盖是显式的，代价是主观。

多数机构系统是混着用的：以过滤后历史为底，加上针对已知风险的压力情景。结果是一个既捕获统计规律、又不假装尾部不存在的情景集合。

加约束几乎不要钱

CVaR 优化和其他约束天然兼容，因为大部分现实约束本身就是线性的。交易成本 $c^\top |w - w_{\text{current}}|$ 关于权重变化线性，可以进约束也可以进目标；行业上限 $\sum_{j \in \text{sector}} w_j \leq b_{\text{sector}}$ 线性；杠杆限制 $\sum_j |w_j| \leq L$ 线性（带绝对值，但权重全非负时它就是普通求和）；换手率上限 $\sum_j |w_j - w_{j,\text{current}}| \leq T_{\max}$ 同理。

唯一跳出去的是基数约束 $\sum_j \mathbb{1}[w_j > 0] \leq K$ ，它非凸，需要混合整数规划或松弛。带基数约束的 MILP 版本计算昂贵，所以大部分生产系统干脆丢掉它，改用”软”版本：在目标里对非零权重施加惩罚。

多期再平衡也接得上。把交易成本写进目标：

\min_{w, \zeta, u, v} \quad \zeta + \frac{1}{\alpha T} \sum_t u_t + c \sum_t v_t

约束为

\begin{aligned} & u_t \geq -w^\top r^{(t)} - \zeta, \quad \forall t \\ & u_t \geq 0, \quad \forall t \\ & v_t = \sum_i |w_i^{(t)} - w_i^{(t-1)}| \\ & \text{budget and other constraints} \end{aligned}

这仍然是 LP（允许离散再平衡决策时变成 MILP）， $c \sum_t v_t$ 就是线性交易成本惩罚。一些机构资产管理人在用这个公式，它的实际效果是抑制过度再平衡：即使 CVaR 最优的再平衡建议你大额调仓，成本项会先问一句值不值。

至于真正的多期问题——不同时期收益相关、财富过程复利——有两条路。一条是模拟路径再在路径上优化：生成 $K$ 条多期收益路径，对每条算给定权重下的终端财富，对终端财富算 CVaR，然后优化。计算昂贵但灵活，CVaR 可以针对任何量（终端财富、回撤等等）。另一条是把它写成带补偿的随机规划，通过 Benders 分解或 progressive hedging 求解，理论上更干净但需要专门求解器。多数机构系统为省事走第一条。

α 不是可以随便填的

$\alpha$ 是尾部概率，越小越厌恶风险（盯更极端的尾），越大越接近均值-方差（盯不那么极端的尾）。这个敏感性比方差优化对参数的敏感性大得多： $\alpha = 0.01$ 时优化器极度规避风险， $\alpha = 0.25$ （最差四分之一）时它的行为已经很接近均值-方差。理论上没有哪个值有特权，但四个常用刻度各有出处： $\alpha = 0.01$ 极度厌恶风险； $\alpha = 0.025$ 是 Basel III 市场风险资本的标准； $\alpha = 0.05$ 是机构最常用的默认值； $\alpha = 0.10$ 明显更宽松。多数机构应用取 0.05，风险资本计算取 0.025 或 0.01。机构通常会跑多个 $\alpha$ 再混合，因为单点取值本身就是一个未经检验的假设。

$\alpha = 0.05$ 之所以成为默认，是因为它对应的”最差 5% 结果”在日度数据上大致是每月 1-2 天、或每 5 年一个季度，和大多数机构的观察期限对得上——你得能在合理时间内积累到足够多的尾部事件，才谈得上验证。

读论文时留一个心眼：这里的 $\alpha$ 是下尾概率，有些作者把 $\alpha$ 定义为置信水平（上尾），数字就整个反过来。这和前面 VaR 定义里那个 $1-\alpha$ 是同一个坑。

回测：这套东西最薄的地方

均值-方差有一个干净的样本外评价指标：实现 Sharpe 比率。CVaR 没有干净的等价物，因为实现 CVaR 依赖于未来最差 α% 的结果，而那是个极小的样本。日度收益、 $\alpha = 0.05$ ，一年大约只有 20 个尾部观测——用 20 个点去检验一个尾部平均值，能做的推断很有限。

标准流程仍然要走：

样本内跑 CVaR 优化。
样本外持有组合。
计算实现损失。
计算水平 $\alpha$ 下的实现 VaR，检查突破率（应该约等于 $\alpha$ ）。
计算实现 CVaR（突破期的平均损失），与样本内 CVaR 对照。

突破率远高于 $\alpha$ ，说明 VaR 模型不行；实现 CVaR 远高于样本内 CVaR，说明模型校准不当。VaR 的检验用 Christoffersen (1998) 是标准做法，要检验完整分布则 Berkowitz (2001) 更严格。

诚实的说法是：多数机构并不严格回测 CVaR。他们回测 VaR（容易得多），然后假设 VaR 没问题 CVaR 就没问题。这个假设在尾部形状变化时会失效，而尾部形状变化恰恰是你用 CVaR 的原因。知道自己在做这个妥协，比假装没做要好。

同一个 LP 结构还能换个损失定义重用。CVaR 度量的是固定时间窗内的损失，条件回撤（CDaR）度量的是相对峰值的回撤。对财富过程 $W_t$ ，设运行最大值 $M_t = \max_{s \leq t} W_s$ ，回撤为 $D_t = M_t - W_t$ ，则

\text{CDaR}_\alpha = \mathbb{E}[D_t \mid D_t \geq \text{DaR}_\alpha]

其中 DaR 是回撤在险值，即回撤分布的相应分位数。对退休组合这类真正在意回撤路径的应用，CDaR 比 CVaR 更贴题，而它的优化同样是一个带辅助变量的线性规划——Rockafellar-Uryasev 那个技巧对任何这种”尾部条件期望”都管用。

它已经是监管语言

CVaR 现在是央行、主权财富基金和多数大型机构资产管理人的主导风险度量，Basel III 用预期短缺（CVaR 的一个变体）计算市场风险资本。这一步跨过去之后，用不用 CVaR 就不再是品味问题：如果你在搭机构风险系统，你需要它。

真正需要提醒自己的是分工。LP 是最不容易出错的那一环——凸、全局最优、毫秒级、库很成熟。会出错的是它上游的那些东西：你选的情景窗口、你选的 $\alpha$ 、你没能力严格回测的那个尾部。优化器不会替你承担这些选择，它只会把它们放大成权重。

参考文献

Rockafellar & Uryasev (2000). “Optimization of Conditional Value-at-Risk.” Journal of Risk 2(3): 21-41. LP 公式，开创性论文。
Rockafellar & Uryasev (2002). “Conditional Value-at-Risk for General Loss Distributions.” Journal of Banking & Finance 26(7): 1443-1471. 扩展到非正态分布。
Artzner, Delbaen, Eber & Heath (1999). “Coherent Measures of Risk.” Mathematical Finance 9(3): 203-228. 一致性公理。
Acerbi & Tasche (2002). “Expected Shortfall: A Natural Coherent Alternative to Value at Risk.” Economic Notes 31(2): 379-388.
Krokhmal, Palmquist & Uryasev (2002). “Portfolio Optimization with Conditional Value-At-Risk Objective and Constraints.” Journal of Risk 4: 43-68. 完整组合公式。
Sarykalin, Serraino & Uryasev (2008). “Value-at-Risk vs. Conditional Value-at-Risk: A Comparison.” In Risk Management: Value at Risk and Beyond. Cambridge University Press.
Kritzman, Page & Turkington (2012). “Regime Shifts: Implications for Dynamic Strategies.” Financial Analysts Journal 68(3). 状态切换下波动率与尾部风险的差异。
Basel Committee on Banking Supervision (2016). “Minimum Capital Requirements for Market Risk.” Bank for International Settlements. 监管采纳。

下一篇文章：重采样效率。Michaud 的 bootstrap 方法，被形式化为机构应用。