单位根检验:ADF、Phillips-Perron、KPSS

ADF、Phillips-Perron、KPSS 用的是不同的零假设，'非平稳'因此可以是不同的事。讲三种检验的构造、Dickey-Fuller 分布从哪来，以及为什么单位根检验出了名地功效低。

第 1 篇 · 共 12 篇约 12 分钟

有人说”这个序列不平稳”，你要反问：按哪个检验、什么零假设、对什么备择？答案不同，结论可以完全相反。三个常用检验——ADF（Said & Dickey, 1984）、Phillips-Perron（1988）、KPSS（Kwiatkowski, Phillips, Schmidt & Shin, 1992）——零假设根本不是同一个：前两个把单位根设为零假设，KPSS 把平稳设为零假设。把它们混着读，会得出荒唐结论。而且这还只是第一层麻烦；第二层麻烦更根本：不管零假设怎么摆，单位根和高持续性的平稳过程在有限样本里就是长得像，检验的功效天生就低。这两层麻烦贯穿这篇文章。

推导三种检验之前，先把参考文献放这：Hamilton (1994, 第 17-18 章)、Tsay (2010, 第 2 章)。

问题本身

给定序列 $y_t$ ，它平稳吗？建模成 AR(1)：

y_t = \mu + \phi y_{t-1} + \varepsilon_t

$\phi$ 的三个区间对应三种世界。 $|\phi| < 1$ ：平稳，冲击的影响是暂时的，ACF 几何衰减。 $\phi = 1$ ：单位根， $y_t = \mu + y_{t-1} + \varepsilon_t$ ，冲击永久留在水平里，样本 ACF 衰减极慢。 $|\phi| > 1$ ：发散过程，不构成长期均衡，是泡沫文献关心的对象。

单位根检验就是 $H_0: \phi = 1$ 对 $H_1: \phi < 1$ 的假设检验。听起来是个普通 $t$ 检验的活，麻烦在于：在 $H_0$ 下， $\hat{\phi}$ 的 $t$ 统计量不服从 $t$ 分布。这不是小样本修正能解决的事，是渐近性质上的不同——下面马上讲清楚它从哪来。

Dickey-Fuller 检验,以及那个非标准分布

基本 Dickey-Fuller 回归把模型改写成差分形式：

\Delta y_t = (\phi - 1) y_{t-1} + \varepsilon_t = \rho \, y_{t-1} + \varepsilon_t

其中 $\rho = \phi - 1$ ，于是 $H_0: \rho = 0$ （单位根）对 $H_1: \rho < 0$ （平稳）。检验统计量就是普通的

t_{\rho} = \frac{\hat{\rho}}{\text{SE}(\hat{\rho})}

普通的只是形式。在 $H_0$ 下，回归子 $y_{t-1}$ 本身是个随机游走，在发散，OLS 估计量 $\hat{\rho}$ 以 $T$ （而不是 $\sqrt{T}$ ）的速率收敛，极限不是正态。Dickey & Fuller (1979) 给出了极限分布：

t_{\rho} = \frac{\hat{\rho}}{\text{SE}(\hat{\rho})} \xrightarrow{d} \frac{\int_0^1 W(r) dW(r)}{\left( \int_0^1 W(r)^2 dr \right)^{1/2}}

其中 $W(r)$ 是标准布朗运动——分子是 $W$ 对自身增量的积分，分母是 $W$ 的 $L^2$ 范数，两者相关且都有非退化极限，比值就是 Dickey-Fuller 分布。临界值靠模拟布朗运动路径得到，而且比 $t$ 分布的临界值负得多：仅含常数项的情形，1%、5%、10% 临界值大约是 $-3.43$ 、 $-2.86$ 、 $-2.57$ ，对照 $t$ 分布的 $-2.58$ 、 $-1.96$ 、 $-1.64$ 。用 $-1.96$ 去判 ADF 统计量是最常见的错误之一，方向恰好是把不平稳的判成平稳。

临界值还依赖回归里放了什么确定性项。三种形式：不带常数不带趋势（ $\Delta y_t = \rho y_{t-1} + \varepsilon_t$ ，序列零均值时用）；带常数（序列有非零均值无趋势时用）；带常数和趋势（ $\Delta y_t = c + \beta t + \rho y_{t-1} + \varepsilon_t$ ，序列有线性趋势时用），后者的临界值更负——1%、5%、10% 下大约 $-3.96$ 、 $-3.41$ 、 $-3.13$ 。选错形式两头挨打：没趋势硬加趋势，功效下降；有趋势漏掉趋势，检验规模就错了。标准建议朴素到不像建议：先画图。

ADF:处理自相关的第一条路

基本 DF 检验假设 $\varepsilon_t$ 是白噪声，差分序列一有自相关，检验就设错了。Said & Dickey (1984) 的修法是往回归里加滞后差分：

\Delta y_t = c + \rho \, y_{t-1} + \sum_{j=1}^k \gamma_j \Delta y_{t-j} + \varepsilon_t

仍然检验 $H_0: \rho = 0$ ，单侧，大负 $t_{\rho}$ 拒绝。加滞后不改变 $H_0$ 下的渐近分布，所以临界值照用 DF 的。滞后个数 $k$ 要选到让残差白化，通常按 AIC 或 BIC，实操上可以按 Schwert (1989) 从 $k = \lfloor (T-1)^{1/3} \rfloor$ 起步再做 general-to-specific 精修。这个选择两边都是坑：滞后太少，残差有自相关，检验规模过大、拒绝太频繁；滞后太多，每个滞后吃一个自由度，功效往下掉。还有一个更阴的失效模式先记下——参数不变是 ADF 的前提，趋势或水平上的一次结构突变会让平稳序列看起来像单位根，这个坑大到值得单独一节，后面讲。

Phillips-Perron:处理自相关的第二条路

Phillips & Perron (1988) 对付同一个自相关问题，走的是修标准误而不是加回归子的路：对基本 DF 回归的统计量做非参数修正，用 Newey-West 风格的异方差自相关一致（HAC）长期方差估计：

t_{\rho}^{PP} = \frac{\hat{\rho}_{OLS}}{\hat{\sigma}_{\rho, HAC}}

修正后的统计量与 ADF 共享同一个 Dickey-Fuller 渐近分布。好处是不用选滞后阶数；代价是有限样本功效通常不如 ADF，中度持续性时尤其明显。序列表现良好时两者结论应该一致；强自相关或波动率聚集的序列上，它们可以打架——打架本身就是信息，说明结论对讨厌参数的处理方式敏感。

KPSS:把零假设倒过来

ADF 和 PP 都把单位根放在零假设的位置，这意味着”没拒绝”的默认结论是单位根。KPSS（Kwiatkowski et al., 1992）反过来：

H_0: y_t \text{ 平稳}

H_1: y_t \text{ 有单位根}

统计量基于 $y_t$ 对常数（可选趋势）回归残差的累积和：

\hat{u}_t = y_t - \bar{y}, \quad S_t = \sum_{i=1}^t \hat{u}_i

KPSS = \frac{\sum_{t=1}^T S_t^2}{T^2 \hat{\sigma}^2}

其中 $\hat{\sigma}^2$ 是 $\hat{u}_t$ 长期方差的 Newey-West 估计。直觉：平稳序列的残差累积和会在零附近晃，单位根序列的累积和会走远。 $H_0$ 下 KPSS 有明确的渐近分布（布朗运动的泛函），临界值有表，统计量大就拒绝平稳。

零假设反着摆不是花样，是互补。假设检验天然偏袒零假设——功效不足时你得到的是零假设的”无罪推定”，而不是它成立的证据。ADF 和 KPSS 一正一反跑一遍，四种组合各有各的读法：

ADF/PP	KPSS	解读
拒绝(平稳)	不拒绝(平稳)	强平稳
不拒绝(单位根)	拒绝(单位根)	强单位根
拒绝(平稳)	拒绝(单位根)	矛盾。可能是:近单位根加短样本,或结构突变,或趋势平稳序列被误判为单位根
不拒绝(单位根)	不拒绝(平稳)	两边功效都低。没法下结论

前两行皆大欢喜。后两行才是实务的日常：第三行是”不舒服的中间地带”，近单位根过程的典型症状——真相同时离纯平稳和纯单位根都不远，两个检验各自拒绝了对方的零假设；第四行是样本信息干脆不够。这两行的存在，把我们逼到功效问题面前。

功效:这门手艺的天花板

单位根检验功效低不是实现瑕疵，是问题本身的性质。备择假设 $\phi = 1 - c/T$ 是”单位根减去一个随样本量缩小的量”，这样的局部备择下，ADF 的渐近功效被压在远低于 1 的水平；离零假设更远的备择功效会改善，但慢。有限样本里更难看： $T = 100$ 、真实 $\phi = 0.95$ 时，正确拒绝单位根零假设的概率在文献的模拟里大致只有三成上下——比抛硬币好，但好得有限。具体数字随检验形式和设定变化，量级是稳的。

根源直白：单位根过程和 $\phi = 0.95$ 的平稳过程，在一百个观测里生成的样本路径几乎无法区分，都高度持续。由此得出这篇文章最重要的一句话：没能拒绝单位根零假设，不证明序列真有单位根。它完全可能是个高持续性的平稳过程，只是你的检验看不出来。所以应用工作在灰色地带通常要引入统计以外的裁判——经济理论。这个序列按机制更像冲击的累积（存货式的量、资产价格），还是长期均衡的产物（利差、估值比率）？前者先验偏单位根，后者先验偏平稳。理论先验不是免检金牌，但在功效低的地方，它比第三位小数的 $p$ 值有用。

结构突变:让平稳序列冒充单位根

Perron (1989) 的著名观点：带一次性趋势突变的平稳序列，在 ADF 眼里就是单位根。直觉不难——趋势或水平的突变造成一个永久性的移动，而”冲击永久留下”正是随机游走的签名，检验区分不了”单位根”和”平稳加一次突变”。他的例子是美国实际 GNP：1929 年和二战前后增长速度不同，突变让整条序列看起来非平稳，但条件化突变之后，它可能只是确定性趋势周围的平稳波动。方向上要记住：怀疑有突变时，标准 ADF 偏向不拒绝单位根。

对策是把突变放进备择假设里。Zivot-Andrews (1992) 检验 $H_0$ ：单位根，对 $H_1$ ：带一次突变的趋势平稳，突变日期内生选择——扫过所有候选日期，取让 $\rho$ 的 $t$ 统计量最负的那个。突变可以在水平（回归里加水平虚拟变量 $DU_t = \mathbb{1}[t > T_b]$ ）、在趋势（加趋势虚拟变量），或两者都有；临界值依赖突变形式，而且因为日期是搜出来的，比标准 DF 临界值更负。两次突变用 Lee-Strazicich (2003) 的最小 LM 检验。再多就别硬撑了——突变多于两次时功效垮掉、临界值不可靠，而一个你认为有很多突变的序列，本来就不该指望任何单位根检验给出干净答案。

顺带一个实务技巧，不用专门检验也能闻到突变的味道：分子样本跑检验。一段样本里是单位根、另一段里平稳，多半是结构突变在作怪，不是真单位根。

DF-GLS:能白拿的功效

功效低的另一个可攻击点在去趋势的方式上。Elliott, Rothenberg & Stock (1996) 指出，标准 ADF 用 OLS 去除常数和趋势的方式在近单位根区域是低效的，改用局部备择下的 GLS 去趋势能把功效往上抬一截：在局部备择 $\phi = 1 + \bar{c}/T$ 下 GLS 估计确定性项系数 $\bar{\beta}$ ，构造去趋势序列 $\tilde{y}_t = y_t - \bar{\beta}' x_t$ ，再对 $\tilde{y}_t$ 跑不带确定性项的 ADF。这就是 DF-GLS 检验，临界值有表。相对标准 ADF 的功效改善在近单位根备择处最明显——恰好是最疼的地方。做严肃应用工作，DF-GLS 当默认起点是明智的。

面板:用横截面买功效

单条序列买不到的功效，有时可以用多条序列凑。手上是多个国家的 GDP、多只股票的估值比率这类面板时，可以联合检验单位根，跨序列汇集信息。Im-Pesaran-Shin（IPS, 2003）对各序列的 ADF $t$ 统计量取平均、做合适的标准化，均值足够负就拒绝；Maddala-Wu (1999) 用 Fisher 方法合并各序列 ADF 的 $p$ 值，联合零假设下 $-2 \sum \log p_i \sim \chi^2_{2N}$ 。这两个都假设横截面独立——而”所有序列被同一个全球冲击驱动”恰恰是宏观金融面板的常态，独立性一破，检验规模就错。Pesaran (2007) 的 CIPS 处理这个：在每条序列的 ADF 回归里加入横截面均值作为公共因子的代理（CADF 回归），再平均 $t$ 统计量。用面板检验前先想清楚你的横截面像哪种。

方差比:换个角度问同一个问题

最后一个工具从完全不同的方向逼近。Lo & MacKinlay (1988) 的方差比检验用随机游走的一个标志性质： $q$ 期收益的方差应该恰好是 1 期方差的 $q$ 倍。定义

VR(q) = \frac{\text{Var}(r_t + r_{t-1} + \cdots + r_{t-q+1}) / q}{\text{Var}(r_t)} = 1

随机游走零假设下对所有 $q$ 都等于 1；均值回归压低长期方差， $VR(q) < 1$ ；正自相关放大它， $VR(q) > 1$ 。样本统计量

VR(q) = \frac{\hat{\sigma}^2(q)}{\hat{\sigma}^2(1)}

配上合适的标准误（异方差稳健版本也在原文里），显著偏离 1 就拒绝随机游走。它跟 ADF 是好搭档，因为看的维度不同：ADF 盯着回归系数，方差比盯着方差随期限的伸缩——而且偏离的方向直接告诉你动态偏哪边，这是 ADF 给不了的。

把这些工具排成一个流程

别把 ADF、PP、KPSS 各跑一遍然后”少数服从多数”——它们的零假设不同，票不能这么数。合理的顺序是：先画序列和 ACF，看趋势、水平移动、方差变化，据此定 DF 回归的确定性项；跑 ADF（滞后按前述规则选），再跑 KPSS 当互补，按上面那张表读组合结果；两者一致就带着功效警示报告，矛盾就往近单位根、结构突变、趋势平稳这三个方向排查；有理由怀疑突变就上 Zivot-Andrews 或 Lee-Strazicich，近单位根嫌疑重就换 DF-GLS；面板数据按横截面依赖与否选 IPS 或 CIPS；强趋势序列多问一句趋势是确定性的还是随机的——这是实质问题，不只是统计问题。

代码上 ADF 和 KPSS 都是现成的：

import pandas as pd
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, kpss

y = pd.Series(..)  # 你的时间序列


adf_stat, adf_p, adf_lags, adf_nobs, adf_crit, _ = adfuller(y, regression='c', autolag='AIC')
print(f"ADF stat: {adf_stat:.3f}, p-value: {adf_p:.3f}")
print(f"Critical values: {adf_crit}")
# adf_stat 小于给定水平的临界值就拒绝

# KPSS 检验:零假设 = 平稳性
kpss_stat, kpss_p, kpss_lags, kpss_crit = kpss(y, regression='c', nlags='auto')
print(f"KPSS stat: {kpss_stat:.3f}, p-value: {kpss_p:.3f}")
print(f"Critical values: {kpss_crit}")
# kpss_stat 大于给定水平的临界值就拒绝

流程走完仍然拿不准时，还有最后一招，也是被低估的一招：两头都建模。平稳假设下拟合 ARMA，单位根假设下拟合 ARIMA，比样本外预测，谁预测得好用谁。在一个检验功效天生不足的领域，样本外比较是评估哪个设定更适合你的用途的唯一诚实办法。也别忘了检验通过不是终点：确立了平稳或单位根之后，模型还是要估（平稳用 ARMA，单位根用 ARIMA 或 VECM）、突变还是要查、持续性背后的经济机制还是要想。单位根检验是分析的起点，从来不是结论。

参考文献

Dickey, D. A., & Fuller, W. A. (1979). Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root. Journal of the American Statistical Association, 74(366), 427-431.
Elliott, G., Rothenberg, T. J., & Stock, J. H. (1996). Efficient tests for an autoregressive unit root. Econometrica, 64(4), 813-836.
Hamilton, J. D. (1994). Time Series Analysis. Princeton University Press. Ch. 17-18.
Im, K. S., Pesaran, M. H., & Shin, Y. (2003). Testing for unit roots in heterogeneous panels. Journal of Econometrics, 115(1), 53-74.
Kwiatkowski, D., Phillips, P. C. B., Schmidt, P., & Shin, Y. (1992). Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root. Journal of Econometrics, 54(1-3), 159-178.
Lee, J., & Strazicich, M. C. (2003). Minimum Lagrange multiplier unit root test with two structural breaks. Review of Economics and Statistics, 85(4), 1082-1089.
Lo, A. W., & MacKinlay, A. C. (1988). Stock market prices do not follow random walks: Evidence from a simple specification test. Review of Financial Studies, 1(1), 41-66.
Maddala, G. S., & Wu, S. (1999). A comparative study of unit root tests with panel data and a new simple test. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 61(S1), 631-652.
Perron, P. (1988). Trends and random walks in macroeconomic time series. Journal of Economic Dynamics and Control, 12(2-3), 297-332.
Perron, P. (1989). The great crash, the oil price shock, and the unit root hypothesis. Econometrica, 57(6), 1361-1401.
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Schwert, G. W. (1989). Tests for unit roots: A Monte Carlo investigation. Journal of Business & Economic Statistics, 7(2), 147-159.
Tsay, R. S. (2010). Analysis of Financial Time Series (3rd ed.). Wiley. Ch. 2.
Zivot, E., & Andrews, D. W. K. (1992). Further evidence on the great crash, the oil-price shock, and the unit-root hypothesis. Journal of Business & Economic Statistics, 10(3), 251-270.