Avellaneda-Stoikov 做市：保留价和库存风险

做市看上去简单：双边报价、赚点差。难在库存会积累、价格会动、报价太紧会被打穿。Avellaneda-Stoikov (2008) 把这套权衡解成两条公式：保留价和最优价差。

第 8 篇 · 共 12 篇约 9 分钟

做市是金融里理论上最干净、实际上最难的策略。逻辑简单：挂买卖报价，赚点差，管理库存。现实是：你的成交是随机的，价格在动，库存会在你最不想要的方向上越积越多。做市商每一秒都在回答两个问题——报价中心放哪、点差开多宽——而这两个问题的答案互相纠缠。

数学上的现代处理是 Avellaneda-Stoikov (2008)。它的漂亮之处在于把这两个问题干净地解耦了：报价中心由一条保留价公式决定，点差由另一条公式决定，各管各的经济学。这是学术做市的标准参考，也是很多量化做市策略的骨架。Harris 在第 13 章专门讲了做市，对 dealer 行为有大量讨论。下面把模型和两条公式推出来，再讲怎么把它落到实盘。

做市商的问题

你在资产 $S$ 上做市。你挂买价 $S^b$ 和卖价 $S^a$ ，中间价 $S^m = (S^a + S^b) / 2$ ，半点差 $\delta = (S^a - S^b) / 2$ 。

流量是价格敏感的：买方以速率 $\lambda^b(S^b)$ 到达（你的买价越不激进，等得越久），卖方以速率 $\lambda^a(S^a)$ 到达（同理）。有人打你的买价，你买入，库存增加；有人抬你的卖价，你卖出，库存减少。你持有库存 $q$ （正 = 多，负 = 空）。中间价在最简版本里是无漂移布朗运动：

dS = \sigma dW

目标是最大化终点财富的期望效用。Avellaneda-Stoikov 用指数效用：

\max \; E\left[ -e^{-\gamma (X_T + q_T S_T)} \right]

其中 $X_T$ 是终点现金、 $q_T S_T$ 是终点库存按中间价的市值， $\gamma$ 是风险厌恶。指数效用不是随手选的：它让最优策略不依赖财富水平，问题才解得动。变体里也有人加库存的运行惩罚项，结构不变。

注意这个设定里没有知情交易者——价格是外生的，流量只对你的报价距离敏感。这一点等下对比 Glosten-Milgrom 时会变得重要。

Avellaneda-Stoikov 解

用值函数 $v(q, S, t)$ ——库存 $q$ 、中间价 $S$ 、时刻 $t$ 下的最优继续价值——写 HJB 方程求解，最优报价的结构是：

S^a = S^r + \delta_a, \quad S^b = S^r - \delta_b

报价不再围着中间价摆，而是围着一个新的中心 $S^r$ ——保留价——摆。这就是前面说的解耦：先定中心，再定宽度。

保留价是市商在买和卖之间无差异的价格：

S^r = S^m - q \cdot \gamma \sigma^2 (T - t)

其中 $q$ 是当前库存， $\gamma$ 是风险厌恶， $\sigma$ 是中间价波动率， $T - t$ 是剩余时间。读一下它的方向：你多仓（ $q > 0$ ）时，保留价压到中间价之下——你愿意便宜点卖（想降库存），买入则要求更低的价。空仓反过来。偏移量随波动率和剩余时间放大：仓位可能伤你越狠、你还要扛它越久，你就把整个报价结构挪得越狠。

宽度那半的答案是最优半点差：

\delta_a = \delta_b = \delta = \frac{\gamma \sigma^2 (T - t)}{2} + \frac{1}{\gamma} \log\left(1 + \frac{\gamma}{\kappa}\right)

其中 $\kappa$ 是到达速率对报价距离的弹性（流量模型里 $\lambda(\delta) = A e^{-\kappa \delta}$ 的那个 $\kappa$ ）。在 $\kappa \to \infty$ 的极限（很流动的市场，流量对价格极敏感）下：

\delta \approx \frac{\gamma \sigma^2 (T-t)}{2} + \frac{1}{\kappa}

两项各有各的经济学，值得分开看。

第一项 $\gamma \sigma^2 (T - t)/2$ 是库存风险的价码。风险厌恶越高、波动越大、剩余时间越长，它越宽。逻辑是：在波动的市场里持有库存有风险，点差是你收的风险补偿。点差开宽了，成交概率下降、流量变少，但每笔的利润变厚——这条公式就是在这个权衡上取的最优。

第二项 $(1/\gamma) \log(1 + \gamma/\kappa) \approx 1/\kappa$ 是基础点差：即使零库存你也要报的宽度。它由流量弹性定价—— $\kappa$ 大（流量对价格敏感，流动市场），你收不了多少租，点差紧； $\kappa$ 小（流量无弹性），你可以收宽点差。经验上流动市场的 $\kappa$ 更大，加密主流品种的 $\kappa$ 比小盘股高。要说清楚的是：在 AS 模型内部，这一项来自流量弹性，不是逆向选择——模型里根本没有知情交易者。现实中逆向选择当然存在，它是你在模型外要另外补的账，下面会回到这一点。

合起来

把保留价和半点差拼起来，最优报价是：

S^a = S^m - q \gamma \sigma^2 (T-t) + \frac{\gamma \sigma^2 (T-t)}{2} + \frac{1}{\gamma} \log(1 + \gamma/\kappa)

S^b = S^m - q \gamma \sigma^2 (T-t) - \frac{\gamma \sigma^2 (T-t)}{2} - \frac{1}{\gamma} \log(1 + \gamma/\kappa)

$q = 0$ 时报价关于中间价对称。 $q > 0$ （多仓）时，整个结构下移：买卖价都低，你在劝市场买你的货、别再卖给你。 $q < 0$ 时上移，反之。库存重到一定程度，你的卖价甚至会压到中间价以下——不是 bug，是模型在逼你降库存。

一个数值算例（含一个单位陷阱）

先踩坑。有人拿”看着顺眼”的参数直接算： $\gamma = 0.1$ ， $\kappa = 1.5$ 。基础点差 = $(1/\gamma)\log(1 + \gamma/\kappa) = 10 \cdot \log(1 + 0.0667) = 10 \cdot 0.0646 = 0.646$ ——每边 0.65 美元？对一只 $100 的股票这是 130 bp 的全点差，荒谬地宽。数字没算错，错在把 $\gamma $、$ \kappa$当成了无量纲数。它们都带单位（1/价格），跟$\sigma^2$（价格²/时间）、$T-t$（时间）必须配套。参数不配单位，这个模型给出的报价可以差出几个数量级——这是用 AS 时的第一检查项。

配好单位重来。股价 $S^m = 100.00$ ，日波动 2%（即 $\sigma = 2$ 美元/√天， $\sigma^2 = 4$ ），剩余水平期 $T - t = 0.1$ 天（约 40 分钟）， $\gamma = 0.001$ （1/美元）， $\kappa = 10$ （1/美元），库存 $q = +500$ 股多仓。

保留价偏移： $q \gamma \sigma^2 (T-t) = 500 \cdot 0.001 \cdot 4 \cdot 0.1 = 0.20$ 美元，所以 $S^r = 99.80$ 。

半点差：库存分量 $\gamma \sigma^2 (T-t)/2 = 0.0002$ ，可以忽略；基础分量 $(1/\gamma)\log(1 + \gamma/\kappa) = 1000 \cdot \log(1.0001) \approx 0.10$ 美元。半点差 $\approx 0.10$ 。

报价：买 $99.80 - 0.10 = 99.70$ ，卖 $99.80 + 0.10 = 99.90$ 。

看清楚发生了什么：你的卖价 $99.90 低于中间价 $100.00。500 股的多仓让模型宁可”亏”10 美分相对中间价出货，也不愿继续抱着库存赌方向。这就是保留价机制的全部意义——报价中心跟着库存走，点差只管宽度。实操的量级感： $\gamma \sigma^2 (T-t)$ （库存每股的报价偏移斜率）配出来后，主动做市商的总点差通常落在 1 bp 到 100 bp 之间，具体取决于资产波动率、风险容忍度和水平期。

跟 Glosten-Milgrom 和 Ho-Stoll 的关系

现代视角把做市拆成两个正交的问题：逆向选择（我的对手方是不是比我知道得多？）和库存管理（我的仓位风险怎么控？）。Glosten-Milgrom（第 4 篇）是前者的标准模型：dealer 报静态买卖价，点差纯粹补偿被知情者挑着打的损失，没有库存概念。Ho-Stoll (1981) 和 Avellaneda-Stoikov 是后者的模型：点差和报价倾斜管理库存风险，模型里没有知情者。

在 AS 里令 $\gamma \to 0$ ，库存项全部消失，只剩 $1/\kappa$ 的基础点差——结构上呼应了 Glosten-Milgrom 的核心洞见”零库存也要有点差”，但经济学不同：GM 的点差是信息租，AS 的基础点差是流量弹性租。真实做市商两种租都要收：AS 给你库存那半的公式，逆向选择那半要靠 GM 的思路在模型外补。两个模型不是竞争关系，是同一张账单的两行。

再加上 Almgren-Chriss（第 9 篇）——最优执行之于单边大单，正如 Avellaneda-Stoikov 之于双边报价，连风险厌恶参数的角色都平行。这三个模型都吃透，现代微观结构的骨架就齐了。

从模型到实盘：缺的那几块

AS 的报价是起点，不是终点。真实高频做市商在它上面至少要补这些账。

排队位置。模型假设你挂了就能成交；现实是你排在队尾，好成交轮不到你，坏成交（价格要穿过你了）你跑不掉。Harris 第 13 章和第 1 篇讲过这个。报价被狙击。HFT 检测到你的陈旧报价后反向成交——他们不是基本面意义上的知情者，这是报价变动上的统计套利，但对你的账本来说效果跟逆向选择一模一样。延迟。模型是连续时间的；你有毫秒级延迟，撤单永远慢半拍。Tick 网格。模型价格连续；现实报价必须落在离散 tick 上（美股 1 美分，加密随交易所和交易对而异），取整本身就会改变你的排队命运。借券成本。空头库存要付借券费，负库存一侧的报价要把它算进去。费用与返佣。maker-taker 收费结构直接进出每笔成交的损益。

一个生产做市系统在 AS 骨架上叠几百条这类调整。核心公式给结构，剩下的是工程。

标定与实现

要把模型跑起来，三个参数要估。 $\sigma$ 用中间价的已实现波动率，1–5 分钟滚动窗口。 $\kappa$ 从报价距离与成交强度的关系里估（报价更新数据回归）。 $\gamma$ 没法从数据里估——它是你的风险偏好，由交易授权设定，模型单位下常见量程 1 到 $10^4$ ；设太小，报价紧到被人打穿，设太大，你宽到没有流量。波动率飙升的市况下要么让 $\sigma$ 的估计快速跟上、要么直接调高 $\gamma$ ——总之别拿平静市况的参数硬扛崩盘，这个模型的所有输入都是市况的函数。

核心逻辑几行就写完了：

import numpy as np

def avellaneda_stoikov_quotes(mid, inventory, sigma, T_remaining,
                              gamma=1.0, kappa=1.0):
    """
    按 Avellaneda-Stoikov 计算最优买卖报价。
    mid: 当前中间价
    inventory: 当前库存（正 = 多）
    sigma: 中间价每期波动率
    T_remaining: 剩余时间水平期（跟 sigma 同单位）
    gamma: 风险厌恶
    kappa: 到达速率弹性
    """
    reservation = mid - inventory * gamma * sigma**2 * T_remaining
    half_spread = (gamma * sigma**2 * T_remaining) / 2 + \
                  (1 / gamma) * np.log(1 + gamma / kappa)
    return reservation - half_spread, reservation + half_spread

真实实现在这上面加 tick 取整、排队位置调整和库存硬限制——最后这条特别要强调：模型本身不约束库存，它只是温和地把你推回 $q = 0$ ；真实 desk 的硬限制必须在模型外面加，别指望倾斜项替你挡住极端行情里的单边积累。

Arithmion 把这套流程打包了。arithmion.marketmaking.AvellanedaStoikov 提供带标定参数的实时报价计算、库存跟踪与倾斜、每笔成交的 P&L 归因、用真实 L2 数据的回测，以及多资产、跳跃扩散中间价、借券成本这些扩展；MarketMaker 模块负责自动标定——你给历史 L2 数据，它估 $\sigma$ 、 $\kappa$ ，帮你选 $\gamma$ 。整条链接到 arithmion.execution 和 arithmion.tca 做完整绩效分析。

用它交易时真正要盯的东西

把模型当日常工具用的时候，几条经验值得写在屏幕边上。保留价是你的锚：库存一重，报价中心就该动，抗拒这个倾斜等于跟模型对赌方向。半点差是你的风险预算：紧一分，成交多一分，风险也多一分。如果你老老实实跟着模型走，库存会均值回复到零附近——反过来说，库存长期不回零，说明有什么东西（延迟、毒性流量、参数漂移）在模型外面漏水。最要紧的一条：AS 不检测逆向选择。就算点差挂对了，你还是会输给知情者；在多个水平期上监控你的已实现价差，如果它是负的，你有毒性问题，需要模型之外的一个独立信号（流量毒时干脆不报价）。

Harris 第 13 章有实战派的完整视角，Avellaneda-Stoikov 原文是正式参考，Cartea-Jaimungal-Penalva (2015) 把这个模型和它的各路扩展整理成了教科书。

参考文献

Harris, L. Trading and Exchanges: Market Microstructure for Practitioners. Oxford University Press, 2003. 第 13 章（dealers 和做市商）。ISBN: 978-0-19-514470-3.
Avellaneda, M., Stoikov, S. “High-Frequency Trading in a Limit Order Book.” Quantitative Finance, 2008.
Glosten, L., Milgrom, P. “Bid, Ask and Transaction Prices in a Specialist Market with Heterogeneously Informed Traders.” Journal of Financial Economics, 1985.
Ho, T., Stoll, H. “Optimal Dealer Pricing Under Transactions and Return Uncertainty.” Journal of Financial Economics, 1981.
Cartea, A., Jaimungal, S., Penalva, J. Algorithmic and High-Frequency Trading. Cambridge University Press, 2015.