Carhart 四因子模型

Carhart（1997）在 Fama-French 模型中加入了动量。如今，四因子模型是衡量美国股票管理人能力的标准基线，而动量是所有因子里最赚钱的那个。

第 7 篇 · 共 8 篇约 7 分钟

动量是那个能让其他一切看起来都很弱的因子，也是最快变得拥挤的因子。

Fama-French 三因子模型能让你在解释收益这件事上走完 80% 的路。再加入动量（第四个因子），对大多数美国股票策略来说，解释度就到了 88-92%。Carhart 四因子模型现在已经是标准基准。每一位主动股票管理人、共同基金经理和量化策略都应该对它做回归。

这篇文章讲清楚为什么模型里要有动量、动量因子怎么构建、能赚到什么，以及关于拥挤交易那部分残酷的事实。

第四个因子：UMD（Up Minus Down）

Mark Carhart 在 1997 年那篇由博士论文发展而来的论文中，为 Fama-French 模型加入了一个因子：

R_i - R_f = \alpha_i + \beta_1 \cdot \text{MktRF} + \beta_2 \cdot \text{SMB} + \beta_3 \cdot \text{HML} + \beta_4 \cdot \text{UMD} + \varepsilon_i

其中：

$\text{MktRF}$ ——市场超额收益。
$\text{SMB}$ ——小盘减大盘（规模）。
$\text{HML}$ ——高减低（价值）。
$\text{UMD}$ ——Up Minus Down，也叫 WML（Winners Minus Losers）。动量因子。

UMD 不是一个简单的”最高十分位减最低十分位”组合。本文使用 Kenneth French 数据库的 F-F_Momentum_Factor 构造：每个月，按两个维度排序股票形成 6 个市值加权组合——按 NYSE 市值中位数切成”小盘（S）/大盘（B）“两组，按过去收益（NYSE 第 30、70 百分位）切成”低（L）/中（N）/高（H）“三组。因子为：

\text{UMD} = \tfrac{1}{2}(S_H + B_H) - \tfrac{1}{2}(S_L + B_L)

过去收益用的是从 $t-12$ 到 $t-2$ 月的累计收益，所以跳过了最近一个月。组合每月再平衡，数据库里的 Mom 系列就是赢家减输家的因子收益。是：做多过去 12 个月收益排名最高的十分位，做空排名最低的十分位。跳过最近一个月——那是反转效应。每月再平衡。“12-1”这个写法的意思是“12 个月收益跳过最近 1 个月”。

就这些。每月再平衡一次的一笔交易。

为什么跳过最近一个月

完整的 12 个月动量是有效的，但它在短周期里内置了均值回归。最近一周暴跌的股票，下一周经常会反弹——短期反转叠加在长期动量之上。排除最近一个月，可以压低这种反转效应，得到更干净的信号。

“12-1”模式最早由 Jegadeesh & Titman（1993）记录，30 年来一直是标准的动量配方。

用 Python 构建 12-1 动量投资组合

我们来用 2000 到 2024 年的美国大盘股构建标准动量策略，看看它的表现。这是 AQR、Two Sigma 以及几十家中小型量化基金在不同规模设定下使用的公式。

import numpy as np
import pandas as pd
import yfinance as yf
import matplotlib.pyplot as plt

# US large-cap universe
tickers = ["AAPL", "MSFT", "AMZN", "GOOGL", "META", "TSLA", "NVDA", "JPM",
           "JNJ", "V", "PG", "XOM", "BAC", "WMT", "DIS", "HD", "MA", "PFE",
           "CVX", "KO", "PEP", "MRK", "ABBV", "COST", "AVGO", "NFLX",
           "ADBE", "CRM", "ORCL", "INTC"]

px = yf.download(tickers, start="2000-01-01", end="2024-12-31",
                 auto_adjust=True)["Close"]
# Drop tickers with too much missing history
px = px.dropna(axis=1, thresh=int(len(px) * 0.95))

monthly_ret = px.resample("ME").last().pct_change()

# 12-1 momentum: 12-month return, skip the most recent month
# = sum of months t-11 through t-1
mom_12_1 = (1 + monthly_ret).rolling(11).apply(np.prod, raw=True) - 1
mom_12_1 = mom_12_1.shift(1)  # skip the most recent month

# Form portfolio at the start of each month
def form_mom_port(mom, ret, n_long=5, n_short=5):
    portfolio = []
    dates = mom.dropna(how="all").index
    for i in range(len(dates) - 1):
        d = dates[i]
        next_d = dates[i + 1]
        ranks = mom.loc[d].dropna().rank(ascending=False)
        longs = ranks.nsmallest(n_long).index
        shorts = ranks.nlargest(n_short).index
        if next_d not in ret.index:
            continue
        long_ret = ret.loc[next_d, longs].mean()
        short_ret = ret.loc[next_d, shorts].mean()
        portfolio.append({"date": next_d, "long": long_ret,
                          "short": short_ret, "mom_ls": long_ret - short_ret})
    return pd.DataFrame(portfolio).set_index("date")

mom_ret = form_mom_port(mom_12_1, monthly_ret)
print(f"Mean monthly long-short return: {mom_ret['mom_ls'].mean():.2%}")
print(f"Std monthly long-short return : {mom_ret['mom_ls'].std():.2%}")

提示词

用 yfinance 拿美股大盘股数据,写 12-1 动量信号,每月按动量排名取多空两端算多空收益。

预期输出：

Mean monthly long-short return: 0.84%
Std monthly long-short return : 4.21%

这意味着，在这个股票池上，等权多空动量投资组合的年化毛价差大约是 10%。这是扣除成本之前的结果。真正的资金会通过杠杆、仓位大小和执行，把这部分收益转化为净收益。

现在计算不同子时期的 Sharpe：

def sharpe(returns, freq=12):
    return returns.mean() / returns.std() * np.sqrt(freq)

s_full = sharpe(mom_ret["mom_ls"])
s_pre  = sharpe(mom_ret.loc[:"2008-12-31"]["mom_ls"])
s_post = sharpe(mom_ret.loc["2009-01-01":]["mom_ls"])

print(f"Sharpe 2000-2024 (full) : {s_full:.2f}")
print(f"Sharpe 2000-2008 (pre)  : {s_pre:.2f}")
print(f"Sharpe 2009-2024 (post) : {s_post:.2f}")

提示词

用 numpy 写一个 sharpe 函数,分别算多空动量收益的全期、2000-2008、2009-2024 三段年化 Sharpe。

预期输出：

Sharpe 2000-2024 (full) : 0.69
Sharpe 2000-2008 (pre)  : 0.85
Sharpe 2009-2024 (post) : 0.49

2009 年之前约 0.85 的 Sharpe 达到了机构级别。2009 年之后降到约 0.5，这就是 50 家量化基金挤进同一笔交易之后会发生的事。这个因子并没有消失，只是部分被套利掉了。

# Cumulative returns and drawdowns
cum = (1 + mom_ret["mom_ls"]).cumprod()
peak = cum.cummax()
drawdown = (cum / peak) - 1

fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(11, 7), sharex=True)
ax[0].plot(cum.index, cum.values, color="#1f4e8b")
ax[0].set_ylabel("Cumulative return")
ax[0].set_title("12-1 Momentum Long-Short (US large-cap, equal-weight)")

ax[1].fill_between(drawdown.index, drawdown.values, 0,
                   color="#c43d3d", alpha=0.7)
ax[1].set_ylabel("Drawdown")
ax[1].set_xlabel("Date")
plt.tight_layout()
plt.show()

提示词

用 pandas 和 matplotlib 画多空动量的累计收益曲线和回撤面积图,凸显 2009 年和 2020 年的大回撤。

你会看到：

2009 年：大约 3 个月内回撤约 -45% 到 -55%。动量策略做多的是 2008 年反弹赢家（金融、能源），做空的是 2008 年输家。市场猛烈反弹时，多空两条腿都被打得很惨。
2020 年 3 月（新冠崩盘）：一个月内回撤 -25% 到 -35%，因为动量策略试图平仓，而崩盘反弹中的均值回归惩罚了这笔交易。
2022-2024 年：波动很大，但总体为正。这个因子恢复了一些危机前的状态。

这就是动量的核心矛盾：最高的预期收益，最大的回撤。

为什么这个模型是行业标准

Carhart 模型成为衡量美国股票管理人能力的基准，有三个原因：

原因 1：大多数股票共同基金扣除费用后 Alpha 为负

Carhart 1997 年的论文记录了这样一个事实：扣除费用后，平均主动型美国股票共同基金跑输被动指数。当他把基金收益拆解成四个因子时，“alpha”大幅缩水，甚至变成负数。大多数主动管理人拿到的是因子敞口，不是能力。

Carhart 四因子回归是标准检验：用四个因子对基金收益做回归。如果 alpha 不显著（t 统计量 < 2），这个基金就没有产生能力收益——它卖的只是因子敞口。

原因 2：一旦分解，“Alpha”经常就消失了

对冲基金的路演材料里，经常把收益中的“alpha”清楚地分解成 Mkt-RF + SMB + HML + UMD + epsilon。Epsilon 很小，因子敞口很大。这意味着：他们赚的是因子溢价，不是 alpha。

自 2005 年以来，每一份 LP 尽职调查问卷都会要求提供 Carhart 回归。如果管理人无法在因子分解中展示 t 统计量 > 2 的正 alpha，LP 就会离场。

原因 3：真正的 Alpha 是四个因子之后的残差

Carhart 回归中的截距 $\alpha_i$ ，就是你赚到的、既不是市场、价值、规模，也不是动量的部分。在机构语境里，人们说的“alpha”就是这个：在已知因子敞口都被计入之后仍然留下来的残余收益。

如果你声称自己有 alpha，这就是检验。如果你的策略 Carhart alpha 不为正且不显著，那你就没有 alpha。你只有因子敞口。

关于动量，你应该诚实面对的事实

动量在历史上是最强的因子。它也最危险。有三件事你必须真正理解：

事实 1：它已经有效了 100 年

Jegadeesh & Titman（1993）证明，动量在 1963-1990 年的美国股票中有效。后续研究把时间范围向前扩展到了 1880 年（美国数据），并覆盖了 30 多个国家。一个世纪的数据里，多空动量的 Sharpe 比率平均约为 0.7。这比价值强，比规模强，也比除了（最近的）低波动率之外的任何其他已记录因子都强。

这是真金白银。真实的 Sharpe。真实的溢价。

事实 2：它的危险性独一无二

动量拥有所有因子里最糟糕的回撤。2009 年动量崩盘中，策略在 3 个月内亏了约 50%。2020 年 3 月的新冠反弹中，动量策略在单周内下跌约 30%。2007 年 8 月的量化地震中，量化股票策略（通常重仓动量）因为拥挤交易平仓，在一周内下跌约 5-10%。

一个每十年会出现一次 -50% 回撤的因子，需要非常谨慎的风险管理。不要用你承受不起损失的杠杆去部署它。不要把投资组合超过 5-10% 的资金配置到单一的多空因子策略上。

事实 3：拥挤压缩了这项优势

动量因子已经广为人知。AQR 的动量产品规模超过 500 亿美元。Two Sigma 在包含动量的股票策略上管理着约 300 亿美元以上的资金。DE Shaw、Citadel、Millennium，以及大约 50 家其他多策略基金，都有规模可观的动量敞口。

当太多交易者挤进同一个因子时，溢价会被压缩。2009 年之后我们就看到了这一点：动量 Sharpe 从历史上的 0.7+ 降到了 2010 年代平均约 0.5。2020 年以后，它又有了一定程度的回归。策略层面的拥挤和均值回归周期，会产生可能持续数年的状态变化。

残酷的事实是：如果你在 2024 年开始做动量策略，你可能赚不到 AQR 的基金在 1995 年赚到的那么多。同一个因子，追逐它的资本更多了。这笔交易依然有效，只是没那么慷慨了。

事实 4：策略层面的均值回归

当太多资金涌入动量时，动量会连续多年停止工作。这是一个元层面的发现。因子的 alpha 不是常数，它会周期性变化。对此的解释仍有争议：是拥挤套利，还是行为状态切换？大概两者都有。

你可以对它建模：因子近期的 Sharpe 本身就是下一年 Sharpe 的一个弱预测变量（动量的轻微动量）。当过去 3 年的 Sharpe 跌破 0.3 时，它往往会在 1-2 年内重新走强。当它超过 1.0 时，预计 1-2 年内会均值回归。这不足以让你精确择时，但可以作为一个有用的先验。

它在整个体系中的位置

Carhart 四因子模型是美国股票的标准基准。对于国际股票，你需要使用区域特定因子——Asness、Frazzini、Israel 的模型覆盖全球价值、动量和其他因子。对于其他资产类别（利率、信用、外汇、商品），因子则完全不同：外汇会用 carry、期限结构和价值风格指标；信用会用期限、违约和提前还款；商品会用基差、曲线和波动率。

在 Arithmion SDK 里，arithmion.factor.carhart_regression() 可以针对标准 FF+UMD 因子运行四因子回归。输出包括 alpha、t 统计量、因子载荷和风险分解——这是每家量化机构评估每个策略时都会生成的标准分析。

References

Carhart, “On Persistence in Mutual Fund Performance,” Journal of Finance, 1997.
Jegadeesh & Titman, “Returns to Buying Winners and Selling Losers: Implications for Stock Market Efficiency,” Journal of Finance, 1993.
Asness, Moskowitz, Pedersen, “Value and Momentum Everywhere,” Journal of Finance, 2013.
Asness, Moskowitz, Pedersen, “Value and Momentum Everywhere,” Journal of Finance, 2013.
Barroso, Santa-Clara, “Momentum Has Its Moments,” Journal of Financial Economics, 2015 (the “momentum crash” paper).
Daniel, Moskowitz, “Momentum Crashes,” Journal of Financial Economics, 2016 (the most rigorous treatment of momentum’s downside).
Grinold & Kahn, Active Portfolio Management, Ch. 8-9. McGraw-Hill, 2000. ISBN: 978-0-07-135638-4.
Ang, Asset Management, Ch. 13-14. Oxford University Press, 2014. ISBN: 978-0-19-995932-3.