Fama-French 三因子模型

Fama 和 French（1993）证明，另外两个因子——价值和规模——可以解释 CAPM 漏掉的大部分收益。他们的三因子模型是现代量化投资的主力模型。

第 8 篇 · 共 8 篇约 7 分钟

如果你只学一个因子模型，就学这个。它已经是默认基准 30 年了，现在仍然有效。

原因是：它捕捉到了美国股票数据中四种最持久的收益模式里的三种：市场敞口、价值和规模。再加上动量（下一篇文章会讲），对大多数多头和多空策略来说，你就有了一个能解释平均收益横截面变动 80-90% 的模型。再往上找到的东西，才真正算新东西。

这是每一位主动管理人、对冲基金和量化策略都会拿来做绩效衡量的基准。

模型说了什么

Fama-French 三因子模型在 CAPM 的基础上又加了两个因子：

R_i - R_f = \alpha_i + \beta_1 \cdot \text{MktRF} + \beta_2 \cdot \text{SMB} + \beta_3 \cdot \text{HML} + \varepsilon_i

因子本身如下：

Mkt-RF（市场超额收益）

\text{MktRF} = R_m - R_f

这和 CAPM 因子相同。市场投资组合（CRSP 市值加权指数）的收益减去无风险利率，代表系统性市场风险。

SMB（Small Minus Big，小盘减大盘）

\text{SMB} = \tfrac{1}{3}(S_V + S_N + S_L) - \tfrac{1}{3}(B_V + B_N + B_L)

做多市值最低十分位，做空市值最高十分位。“S”代表 small，“B”代表 big。下标 V/N/L 分别代表价值/中性/成长（按 B/M 划分）。结果就是小盘股收益减去大盘股收益，同时对价值/成长倾向做了一点控制。

直白地说：SMB = “做多小盘股、做空大盘股能赚到的收益”。

HML（High Minus Low，高减低）

\text{HML} = \tfrac{1}{2}(S_V + B_V) - \tfrac{1}{2}(S_L + B_L)

HML 等于两个高 B/M 组合（小盘价值 + 大盘价值）的均值减去两个低 B/M 组合（小盘成长 + 大盘成长）的均值。它和 SMB 用的是同样的 6 个市值/B/M 交叉组合，不是独立的”最高十分位减最低十分位”排序。

直白地说：HML = “做多价值股、做空成长股能赚到的收益”。

SMB 和 HML 都是零成本投资组合——做多一个篮子，做空另一个篮子。所以它们是因子收益，不是原始收益。这样一来，它们就能和 Mkt-RF 因子在同一尺度上直接比较。

$\beta$ 的解读

回归系数是因子载荷，表示股票对每个因子的敏感度。

$\beta_1 = 1.2$ → 在其他条件相同的情况下，股票的波动比市场高 20%。
$\beta_2 = 0.8$ → 股票的表现像一个小盘股投资组合（对 small 减 big 有正载荷）。
$\beta_3 = 0.6$ → 股票的表现像一个价值投资组合。

如果你用这三个因子对 AAPL 做回归，得到 $\beta_3 = 0.6$ ，说明 AAPL 暴露于价值风格收益。当 HML 获得 5% 收益时，AAPL 的表现就像是从这部分敞口中拿到了 +3%，再加上它自己的 alpha。

加载 Fama-French 因子并对股票做回归

Fama-French 研究数据库发布了从 1926 年开始的月度因子收益。最简单的获取方式是 Kenneth French 的网站或 pandas-datareader。

import pandas as pd
import numpy as np
import pandas_datareader.data as web
import yfinance as yf
import statsmodels.api as sm

# Pull Fama-French 3 factors (monthly)
# Note: requires internet access to Ken French's site
ff = web.DataReader("F-F_Research_Data_Factors", "famafrench")
factors = ff[0]  # monthly factors
factors.index = pd.to_datetime(factors.index, format="%Y%m")
factors = factors / 100  # convert from percent to decimal
factors = factors.rename(columns={"Mkt-RF": "MktRF"})

# Pull monthly prices for three interesting names
px = yf.download(["AAPL", "MSFT", "BRK-B"],
                 start="2010-01-01", end="2024-12-31",
                 auto_adjust=True)["Close"]
monthly_ret = px.resample("ME").last().pct_change().dropna()

# Merge with factors
data = monthly_ret.join(factors, how="inner").dropna()

results = {}
for ticker in ["AAPL", "MSFT", "BRK-B"]:
    y = data[ticker] - data["RF"]
    X = sm.add_constant(data[["MktRF", "SMB", "HML"]])
    model = sm.OLS(y, X).fit()
    results[ticker] = {
        "alpha_mo":  model.params["const"],
        "beta_mkt":  model.params["MktRF"],
        "beta_smb":  model.params["SMB"],
        "beta_hml":  model.params["HML"],
        "r2":        model.rsquared,
        "alpha_t":   model.tvalues["const"],
    }

pd.set_option("display.float_format", "{:.3f}".format)
print(pd.DataFrame(results).T)

提示词

用 yfinance 拿股票月度收益,用 pandas-datareader 拿 Fama-French 三因子,用 statsmodels 做 OLS 回归,打印 alpha、beta、R²。

预期输出：

        alpha_mo  beta_mkt  beta_smb  beta_hml     r2  alpha_t
AAPL       0.007     1.183    -0.236    -0.412  0.701    3.124
MSFT       0.005     1.098    -0.184    -0.298  0.683    2.541
BRK-B      0.004     0.876     0.102     0.453  0.752    1.876

怎么看这张表：

AAPL： $\alpha \approx 0.7\%$ 每月（年化 8.4%）。HML 载荷为 -0.41（显著为负——AAPL 是成长股）。这很符合预期。Alpha 的 T 统计量是 3.1，具有统计显著性。
MSFT：类似的画像。HML 载荷为负，alpha 中等。
BRK-B：这是 Buffett 的公司。+0.45 的 HML 载荷确认 Berkshire Hathaway 是价值股。市场 Beta 只有 0.88，说明它的波动小于市场。对单只股票来说，0.75 的 R-squared 很高。

重点是：AAPL 基本上是成长股，BRK-B 基本上是价值股，MSFT 处于两者之间。 这个模型用每只股票三个数字，就捕捉到了它们的结构性差异。

构建这个模型的实证发现

Fama 和 French 在 1993 年的论文里记录了四个直到今天仍然成立的发现：

发现 1：价值在 1963-1990 年获得了溢价

在原始样本期（1963-1990），价值股（高 B/M）在经过市场调整后每年跑赢成长股（低 B/M）大约 5%。这是一个巨大的发现——在一项基准投资上，凭空多出半个十年的 alpha。

它还持续吗？算是吧。整个 1963-2024 年样本中，这项溢价平均每年为 2-3%，但各个子时期差异很大：

1963-1990：年化约 5%（最初的发现期）
1990-2007：年化约 3%（仍然稳健）
2010-2020：年化约 0%（溢价坍塌，价值策略一度确实不赚钱）
2022：成长股经历残酷的一年，价值股猛烈修复（“价值回归”）

2010-2020 年的横盘期部分是拥挤造成的。AQR 的价值基金、BlackRock 的价值 ETF，以及几十家量化机构都在交易同一个因子。当太多人挤进来时，溢价可以缩小到零。

发现 2：规模在 1963-1990 年获得了溢价

在原始样本里，小盘股每年大约跑赢大盘股 3-4%。自 2008 年以来，规模效应一直疲软甚至转负。2020 年代对规模因子尤其不友好。

规模溢价也可能部分是流动性不足溢价——小盘股流动性更差，你会因为买入流动性不足而获得回报。如果直接使用 Amihud 的流动性不足指标，规模因子的显著性就会消失。具体如何分解，目前仍有争议。

发现 3：单独的 Beta 无法解释横截面

在纯 CAPM 世界里，Beta 是预期收益的唯一预测变量。Fama 和 French 证明，加入 SMB 和 HML 之后，Beta 变得不显著。在 1962 年之后的数据中，Beta 与平均收益之间的横截面关系是“平坦到向下倾斜”的——这与 CAPM 的预测正好相反。

这是纯 CAPM 世界实证上的最后一击。多因子模型从此接管了分析框架。

发现 4：三个因子解释了主动管理人收益的大部分

当你用三个因子对主动共同基金收益做回归时，它们的 alpha 会大幅下降。很多“alpha 管理人”其实只是拿到了因子敞口。这一洞见推动了多因子 ETF 的革命。本节的 Carhart 文章会通过加入动量，把这件事再往前推进一步。

这个模型重要的三个原因

原因 1：风险分解——你的 Alpha 真实吗？

如果你回测一个多空策略，报告 Sharpe 为 1.4，你并不知道里面到底有什么。运行 Fama-French 回归。如果 $\alpha$ （截距）为正且显著，并且因子载荷接近零，或者和你想要的敞口一致，那你很可能有真正的 alpha。如果 $\alpha$ 为零，但 HML 载荷为 +0.5，那你只是在搭价值因子的顺风车，不是在产生 alpha。

这是每家基金的风险负责人都会先问的问题。

原因 2：绩效归因——你到底赚了什么？

每一个需要向客户报告的机构投资者，都会把自己的收益拆解成因子贡献。如果一个管理人报告过去 5 年年化收益为 12%，客户会想知道：其中多少来自市场 Beta，多少来自价值敞口，多少来自规模，多少才是真正的能力？

Fama-French 回归会给出每个因子对应的一个答案：对每个 $k$ 求和 $\beta_k \cdot \text{factor return}_k$ ，就是各因子的贡献。总收益与因子贡献之和之间的差额，就是 alpha。

原因 3：对冲构建——隔离特定 Alpha

假设你有一个选股模型，相信它确实有能力，但它大量加载了价值因子（因为价值股符合模型偏好的某个“安全”指标）。你可以通过做空 HML 敞口来构建对冲组合——按照你的载荷比例做空价值股。剩下的收益就是 alpha，同时价值敞口被中和了。

这就是“市场中性”和“因子中性”多空策略的基础。没有因子分解，你根本构建不了这种策略。

坦白说，真正该学到的东西

如果你有一个“很棒”的策略，但它大量加载价值因子，先问问自己：你赚的是价值溢价，还是自己的 alpha？很多时候，答案是价值溢价。

这是因子投资里最容易被低估的一点。一个年化收益 8% 的回测看起来很棒。把它放进 Fama-French 模型。如果 $\alpha \approx 0.3\%$ 每月（年化 3.6%），但 HML 载荷为 +0.5，那么你赚到的是：

$\beta_1 \cdot \text{MktRF} \approx$ 市场 Beta 敞口——被动的、类似市场的收益。
$\beta_3 \cdot \text{HML} \approx 0.5 \cdot 4\% \text{ annual} \approx 2\%$ ，来自价值倾向。
再加上 3.6% 的真实 alpha。

你是在赚价值因子的溢价，外面包了一层小小的 alpha。你的优势来自因子敞口，而不是选股能力。

这也是为什么这么多学术界和专业量化投资者能跑赢散户：他们知道自己是靠哪些因子获得报酬的，也能把各个组成部分拆开。大多数散户量化策略其实是在不知不觉中做多一篮子因子，上面只薄薄地叠了一层能力。

它在整个体系中的位置

Fama-French 三因子模型通过 SMB 和 HML 扩展了 CAPM。Carhart 四因子模型在其上加入动量。Fama-French 五因子模型（2015）又加入盈利能力（RMW）和投资（CMA）。如果你在运行美国股票策略，四因子模型是合适的起点。放到国际市场或跨资产类别时，你需要使用针对具体地区的因子。

在 Arithmion SDK 里，arithmion.factor.fama_french_regression() 可以开箱即用地完成这个回归。它还支持月度/季度/年度频率，并输出标准的因子分解统计量。

References

Fama & French, “Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds,” Journal of Financial Economics, 1993.
Fama & French, “A Five-Factor Asset Pricing Model,” Journal of Financial Economics, 2015.
Carhart, “On Persistence in Mutual Fund Performance,” Journal of Finance, 1997.
Banz, “The Relationship Between Return and Market Value of Common Stocks,” Journal of Financial Economics, 1981.
Rosenberg, Reid, Lanstein, “Persuasive Evidence of Market Inefficiency,” Journal of Portfolio Management, 1985.
Grinold & Kahn, Active Portfolio Management, Ch. 6-7. McGraw-Hill, 2000. ISBN: 978-0-07-135638-4.
Ang, Asset Management, Ch. 10-11. Oxford University Press, 2014. ISBN: 978-0-19-995932-3.