协整:Johansen 方法

上一篇讲 Engle-Granger 时留了个尾巴：那个方法最深的局限在协整秩上。$K$ 个变量的系统最多可以有 $K - 1$ 个协整关系，而 Engle-Granger 一次只检验一个——你选一个变量放到回归左边，实际上是在赌系统里恰好只有一个平稳组合。两个变量时这个赌注是安全的；变量一多，赌输的方式就多了：检验功效下降，而且”选谁放左边”的归一化不再无害，不同选择会落到协整空间里不同的方向上。

Johansen (1988, 1991, 1995) 把问题整个反过来。不是先猜一个关系、再检验它的残差，而是把整个系统写成一个模型，用极大似然同时回答三件事：有几个协整关系（秩检验）、它们是什么（向量估计）、谁在负责调整（调整速度矩阵）。代价是推导重一些——要过一遍降秩回归和一族非标准渐近分布——但换来的是对长期参数的正式推断能力，这是 Engle-Granger 给不了的。多变量的实证工作里它是默认方法，原因就在这。

这篇文章从 VECM 出发推导 Johansen 方法，推导迹检验和最大特征值检验，然后处理一个经常被跳过、但决定结果能不能解读的问题：协整向量的识别。教科书出处是 Hamilton (1994, 第 20 章)、Lütkepohl (2005, 第 6-7 章)、Tsay (2010, 第 8 章)。

从 VAR 到 VECM:一切都压在 $\Pi$ 上

从 $K$ 变量的水平 VAR($p$) 开始：

其中 $\mathbf{D}_t$ 装确定性项（常数、趋势）。两边减 $\mathbf{y}_{t-1}$，整理滞后项：

其中 $\Pi = \sum_{j=1}^p \mathbf{A}_j - \mathbf{I}$，$\Gamma_j = -\sum_{i=j+1}^p \mathbf{A}_i$。这就是 VECM（向量误差修正模型）。注意它只是 VAR 的重新参数化，没有引入任何新信息——但它把协整从隐含性质变成了显式结构。左边 $\Delta \mathbf{y}_t$ 是平稳的，右边的滞后差分项也是平稳的，所以 $\Pi \mathbf{y}_{t-1}$ 必须平稳。一个非平稳向量乘上一个矩阵得到平稳结果，这个矩阵能装下多少信息，全看它的秩。

Granger 表示定理（Engle & Granger, 1987）把这一点说满了：如果 $\mathbf{y}_t$ 是 I(1) 且协整秩为 $r$，那么 $\Pi = \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}'$，其中 $\boldsymbol{\alpha}$ 和 $\boldsymbol{\beta}$ 都是 $K \times r$ 的列满秩矩阵。$\boldsymbol{\beta}$ 的列是协整向量，$\boldsymbol{\alpha}$ 的列是调整速度。代回去：

乘积 $\boldsymbol{\beta}' \mathbf{y}_{t-1}$ 是 $r$ 维的平稳协整关系向量——上一篇里那个标量误差修正项 $\hat{u}_{t-1}$ 的多维版本。矩阵 $\boldsymbol{\alpha}$ 描述每个变量对每条关系的偏离各修正多少。

$\Pi$ 的秩决定你手里是哪种系统：

所以 Johansen 分析的第一件事不是估计协整向量，而是先回答”$r$ 等于几”。这就是迹检验和最大特征值检验干的活。但要检验秩，得先能在给定秩的约束下算出似然——所以先讲估计。

极大似然估计:降秩回归

Johansen 的核心一步：把 $\Pi$ 当作未知矩阵，在”秩不超过 $r$“的约束下最大化高斯似然。听起来像个难搞的约束优化，实际上有闭式解，工具是集中似然加降秩回归。

先把短期动态集中出去。把 VECM 再看一遍：

这是 $\Delta \mathbf{y}_t$ 对 $\mathbf{y}_{t-1}$、各滞后差分和 $\mathbf{D}_t$ 的多元回归。分两步洗掉干扰项：把 $\Delta \mathbf{y}_t$ 对滞后差分和 $\mathbf{D}_t$ 回归，取残差 $\mathbf{R}_{0t}$；再把 $\mathbf{y}_{t-1}$ 对同一组回归子回归，取残差 $\mathbf{R}_{1t}$。现在问题被压缩成 $\mathbf{R}_{0t}$ 和 $\mathbf{R}_{1t}$ 之间的关系。定义矩 $\mathbf{S}_{01} = T^{-1} \sum \mathbf{R}_{0t} \mathbf{R}_{1t}'$，$\mathbf{S}_{11} = T^{-1} \sum \mathbf{R}_{1t} \mathbf{R}_{1t}'$，类似地定义 $\mathbf{S}_{00}$ 和 $\mathbf{S}_{10}$。

不加秩约束时，ML 估计就是 OLS：

秩为 $K$。要施加秩 $r$ 的约束，解广义特征值问题：

得到的特征值 $\hat{\lambda}_1 > \hat{\lambda}_2 > \cdots > \hat{\lambda}_K$ 是 $\mathbf{R}_{0t}$ 与 $\mathbf{R}_{1t}$ 之间典型相关的平方——每个 $\hat{\lambda}_i$ 度量 $\mathbf{y}_{t-1}$ 的某个线性组合对 $\Delta \mathbf{y}_t$ 的解释力。协整关系恰好是那些解释力不消失的方向，所以秩为 $r$ 的 ML 估计就是取前 $r$ 个特征向量：

调整速度跟着出来：

一个提醒：特征值分解给出的 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 带着数学上方便、经济上任意的归一化（通常 $\hat{\boldsymbol{\beta}}' \mathbf{S}_{11} \hat{\boldsymbol{\beta}} = \mathbf{I}$）。要让系数有经济读法，得重新归一化——这是识别问题，后面专门讲。

秩检验:迹与最大特征值

估计问题解完，秩检验几乎是白送的：不同秩约束下的最大似然值都能用特征值写出来，比较它们就是似然比检验。

迹检验对”秩最多为 $r$“的零假设做序贯检验：

统计量：

读法很直观：零假设说第 $r+1$ 个往后的特征值都该是零，统计量把这些”应该是零”的特征值加总，太大就拒绝。序贯流程从下往上走——先检验 $H_0(0)$，拒绝说明至少有一个协整关系；再检验 $H_0(1)$，拒绝说明至少有两个；一直走到第一次不能拒绝为止，秩就取那次不能拒绝的 $r$。渐近分布是非标准的（布朗运动的泛函），Johansen (1988) 和 Osterwald-Lenum (1992) 制了表，临界值依赖 $K$ 和确定性项的设定。

最大特征值检验一次只走一步：

检验 $H_0$: 秩 $= r$ 对 $H_1$: 秩 $= r + 1$。渐近分布同样非标准，且跟迹分布不是一回事。两个检验经常给出相同结论，但可以不一致：迹检验把剩余特征值全加总，对”多个小特征值”的备择更有功效；最大特征值只看下一个，对”单个主导特征值”的备择更有功效。不一致时没有公认的仲裁规则，实践里多数应用工作以迹检验为主判据、拿最大特征值当旁证。

正式流程说完，说点实话：序贯检验自带多重检验问题，统计量的非标准分布在小样本里还会过度拒绝（后面流程一节再算这笔账）。所以定秩不要只看检验表。把特征值画出来，大小特征值之间如果有清晰的断崖，断崖位置就是秩的强提示——五个特征值 0.9、0.85、0.1、0.05、0.02，秩多半是 2。再分别按 $r = 1, 2, 3$ 估计，看哪组协整向量在经济上说得通：系数巨大、没有任何经济读法的向量，通常说明你把秩定高了。理论有明确预测时直接用——开放经济里 UIP 加 PPP 预测两个协整关系，那就直接检验 $H_0(2)$。也有作者对不同 $r$ 的 VECM 用 AIC 或 BIC 选秩，但这远不如 VAR 阶数选择里那么标准。

识别:似然只定到一个旋转

现在到了那个决定结果能不能解读的问题。ML 估计 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 只识别到一个旋转：对任意 $r \times r$ 非奇异矩阵 $\mathbf{H}$，$\hat{\boldsymbol{\beta}} \mathbf{H}$ 张成同一个协整空间、给出完全相同的似然。似然认的是空间，不是具体哪几根向量。所以不加约束，$\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 的列没有经济含义——你报告的每个系数都可以被一个旋转换掉。

$r = 1$ 时这个问题几乎不存在：协整向量唯一到一个尺度因子，随便挑一个变量把系数归一化成 1 就完了，这正是 Engle-Granger 的归一化。$r > 1$ 时才真正麻烦。标准的恰好识别方案是把 $\boldsymbol{\beta}$ 的前 $r \times r$ 块归一化为单位阵：每条关系在一个变量上归一化成 1，同时这个变量不进入其他关系。数一数自由度：$K \times r$ 个参数，减去 $r^2$ 个约束，剩 $r(K - r)$ 个自由参数——恰好识别，不多不少。但注意这只是让向量在数学上唯一了，“每条关系锚定在哪个变量上”仍是你的选择，选得没有经济道理，估出来的东西照样没法读。

想要更强的结构，路子有几条：Blanchard-Quah 风格的长期约束（施加某些冲击对某些变量无长期效应，需要完整的结构模型）、SVAR 式的符号约束、或者直接把理论、已有实证、机构知识给你的先验写成约束。实践中绝大多数应用工作就用归一化方案，指望理论足够有信息来解读结果——$r = 1$ 时这没问题，$r > 1$ 时要么加结构，要么接受报告出来的向量读不出东西。

识别方案定了，理论就可以上刑场了。理论预测的往往不只是”存在协整”，而是协整向量的具体长相。几个金融和宏观里的经典：货币需求说 $\log M_t - \log P_t - \log Y_t$ 平稳（$M$ 货币供给、$P$ 价格水平、$Y$ 收入），协整向量 $(1, -1, -1)$；PPP 说 $\log E_t - \log P_t + \log P_t^*$ 平稳（$E$ 名义汇率，$P$、$P^*$ 国内外价格水平），协整向量 $(1, -1, 1)$；期限结构说利差 $R_t - r_t$ 平稳，协整向量 $(1, -1)$——上一篇的金融例子就是它的二元特例；现值模型说 $\log P_t - \log D_t$ 平稳（$P$ 股价、$D$ 股息），协整向量 $(1, -1)$。

这些预测都能拿数据表决。约束模型自由参数更少，最大对数似然只会更低或持平，似然比统计量：

其中 $q$ 是约束个数。$LR$ 太大就拒绝约束。流程是：无约束 Johansen 告诉你数据偏好什么样的 $\boldsymbol{\beta}$，理论告诉你 $\boldsymbol{\beta}$ 应该长什么样，LR 检验裁决两者合不合得来。比如你相信协整向量是 $(1, -1, 0, 0)$——前两个变量以相反符号、单位系数进入，后两个不进入——这就是 $q$ 个可检验的约束。渐近分布是标准的 $\chi^2$，这是 Johansen 框架比 Engle-Granger 值钱的地方之一：对长期参数的假设检验在这里是常规操作。

弱外生性:谁可以不管均衡

上一篇从单方程角度讲过弱外生性，这里它有了矩阵形式。变量 $y_{it}$ 对协整参数弱外生，如果 $\boldsymbol{\alpha}$ 的第 $i$ 行为零：$y_{it}$ 对任何均衡偏离都不做反应，均衡全靠其他变量恢复。检验直接在 VECM 里对 $\alpha_i = 0$ 做 $t$ 检验或 Wald 检验，不能拒绝就可以把 $y_{it}$ 当条件变量处理，在排除它的动态方程的部分系统里估计协整参数。

这么做图什么？效率。Johansen (1992) 给了正式框架：弱外生约束为真时，部分系统的估计更有效——小样本里少估几个方程实打实地缩标准误；约束为假时长期参数的估计通常仍然一致，但效率损失，基于部分系统的推断也不再可靠。所以这是个”检验通过再用”的工具，不是默认选项。

代码:Python 里的 Johansen

import pandas as pd
from statsmodels.tsa.vector_ar.vecm import coint_johansen


result = coint_johansen(y, det_order=0, k_ar_diff=1)  # det_order=-1: 无确定性项, =0: 常数, =1: 线性趋势

print("Eigenvalues:", result.eig)
print("Trace statistics:", result.lr1)  # 对应 r=0,1,..,K-1
print("Trace critical values (90%, 95%, 99%):\n", result.cvt)
print("Max eigenvalue stats:", result.lr2)
print("Max eigenvalue critical values:\n", result.cvm)

# 协整向量(特征向量)
print("Cointegrating vectors (columns):\n", result.evec)

# 画迹检验图
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(result.lr1, label='trace stat')
plt.plot(result.cvt[:, 1], label='95% crit')
plt.xlabel('r'); plt.legend(); plt.show()

留意 det_order 的编码：$-1$ 是无确定性项，$0$ 是常数，$1$ 是线性趋势。这个参数不是装饰——确定性设定错了，临界值就是错的，下一节讲为什么。

一条能落地的流程

Johansen 的结果对设定敏感，敏感的点主要有三个：滞后阶、确定性项、样本长度。与其在出结果之后怀疑人生，不如把检查做在前面。一个可用的顺序：

1. 确认积分阶数。对每个变量跑 ADF。方法假设变量是 I(1)，这个前提它自己不检验。
2. 选滞后阶。对水平 VAR 用信息准则（AIC、BIC）选 $p$，对应的 VECM 带 $p - 1$ 个滞后差分项。
3. 选确定性形式。画数据：变量均值为零用无确定性项；有非零均值，常数进协整关系；有线性趋势，加常数和趋势并检验趋势系数。
4. 跑 Johansen，拿特征值、迹和最大特征值统计量，对临界值。
5. 定秩。序贯检验加特征值断崖加向量的经济合理性，三方对质。
6. 识别并检验约束。归一化 $\boldsymbol{\beta}$，用 LR 检验理论约束。
7. 估计完整 VECM，检查 $\boldsymbol{\alpha}$ 的符号和大小说不说得通。
8. 诊断。残差的自相关（Portmanteau）、正态性、参数稳定性。

第 2 步不是走过场：协整秩可以随 $p$ 变化，滞后不够残差有自相关，滞后太多小样本里白白烧自由度。第 3 步同理——常数和趋势的设定直接改变检验的分布，不该有的时候加了有偏，该有的时候不加也有偏。一个常见的中间形态是常数进协整关系、无趋势：$\Delta \mathbf{y}_t = \boldsymbol{\alpha}(\boldsymbol{\beta}' \mathbf{y}_{t-1} + \mu) + \sum \Gamma_j \Delta \mathbf{y}_{t-j} + \boldsymbol{\varepsilon}_t$，即 Johansen (1995) 的 “Case 2”。

第 5 步定秩时记住小样本问题：迹和最大特征值检验在小样本里以过度拒绝出名，秩容易定高。样本短就用 Bartlett 修正或模拟重定临界值，并且更倚重特征值断崖和向量合理性这两条旁证。

还有几种情况会让整个流程失效，值得在动手前排除。结构突变是最阴险的一种：一次性的水平移动在突变前后各自”平稳”，检验会把它误认成协整关系——上一篇期限结构例子里警告过的”美联储改政策框架”就是这类风险，怀疑有突变用 Gregory-Hansen (1996) 这类考虑突变的检验。变量里混进 I(2)（差分两次才平稳）的序列，这里讲的 I(1) 框架整个不适用，要换专门的 I(2) 协整框架。月度、季度数据带强季节性的，先去季节或加季节虚拟变量。最后，单个离群点能主导协整向量的估计——特征值问题对二阶矩敏感——预处理离群点或用稳健估计。

跟 Engle-Granger 摆在一起

上一篇结尾给过 Engle-Granger 的适用边界，现在可以把两个方法完整对起来。两个变量、单个协整关系、对归一化有强理论先验，Engle-Granger 完全够用，一个 OLS 加一个 ADF，成本几乎为零，探索性分析里当快速筛查也合适。三个以上变量、怀疑多个协整关系、要对协整参数做正式推断、或者做识别重要的结构分析——这些正是 Engle-Granger 结构性做不到的事，用 Johansen。多元的金融和宏观系统（期限结构、货币需求、汇率决定）里，Johansen 是默认。

两个变量、一个协整向量时，两种方法经常给相似结果——这不奇怪，它们估的是同一个东西。也别忘了 Johansen 不是免费升级：ML 估计的协整向量在有限样本里同样有偏（偏差比 Engle-Granger 小，但不是零），识别问题在 Engle-Granger 里被归一化选择悄悄掩过去，在 Johansen 里你必须正面回答。方法把问题摆上台面，不等于替你解决了问题。

参考文献

• Engle, R. F., & Granger, C. W. J. (1987). Co-integration and error correction: Representation, estimation, and testing. Econometrica, 55(2), 251-276.
• Gregory, A. W., & Hansen, B. E. (1996). Residual-based tests for cointegration in models with regime shifts. Journal of Econometrics, 70(1), 99-126.
• Hamilton, J. D. (1994). Time Series Analysis. Princeton University Press. Ch. 20.
• Johansen, S. (1988). Statistical analysis of cointegration vectors. Journal of Economic Dynamics and Control, 12(2-3), 231-254.
• Johansen, S. (1991). Estimation and hypothesis testing of cointegration vectors in Gaussian vector autoregressive models. Econometrica, 59(6), 1551-1580.
• Johansen, S. (1995). Likelihood-Based Inference in Cointegrated Vector Autoregressive Models. Oxford University Press.
• Lütkepohl, H. (2005). New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Springer. Ch. 6-7.
• Osterwald-Lenum, M. (1992). A note with quantiles of the asymptotic distribution of the likelihood ratio cointegration rank test statistics. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 54(3), 461-472.
• Park, J. Y., & Hansen, B. E. (1990). Inference for I(1) cointegrated regression models with trend. Working paper, University of Rochester.
• Tsay, R. S. (2010). Analysis of Financial Time Series (3rd ed.). Wiley. Ch. 8.