风险中性定价：为什么衍生品不依赖期望收益

资产定价基本定理、测度变换、Girsanov 定理, 为什么期权价格依赖波动率但不依赖期望收益。

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这是数学金融里最惊人的事实之一：欧式看涨期权在不派息股票上的价格不依赖股票的期望收益。它依赖无风险利率、波动率、行权价、到期日和当前价格。期望收益无关紧要。你可以改变对股票每年赚 8% 还是 12% 的看法，看涨期权的 Black-Scholes 价格不变。

这不是意外。这是资产定价基本定理的深刻内容。同样的事实支撑了 Monte Carlo 定价、奇异期权估值，以及大部分量化金融。机制是一个叫 Girsanov 定理的测度变换。这篇文章推导两者，解释为什么期权价格依赖波动率但不依赖漂移，并展示实际含义。

两个测度

两个测度在同一个概率空间上重要：

物理测度 $\mathbb{P}$ ，期望收益等于投资者期望。 $\mathbb{P}$ 下，股票赚 $\mu$ ，这是某个未知量，从数据估计。
风险中性测度 $\mathbb{Q}$ ，每个贴现资产价格都是鞅。 $\mathbb{Q}$ 下，股票赚 $r$ ，无风险利率。

两个测度在一个精确的技术意义上等价（它们对零集一致），但它们对未来结果的权重不同。具体说， $\mathbb{Q}$ 按结果的边际效用对代表性风险厌恶投资者重新加权。在效用上糟糕的结果（比如市场崩盘）在 $\mathbb{Q}$ 下比 $\mathbb{P}$ 下概率更低，因为投资者愿意为它们买保险。

关键的定价恒等式是

V_0 = e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[V_T]

对任何可交易资产或衍生品 $V$ 。它说：把 $\mathbb{Q}$ 下的期望收益贴现。期望收益 $\mu$ 不出现。风险溢价已经烤进 $\mathbb{Q}$ 这个测度里了。

为什么鞅重要

过程 $M_t$ 在 $\mathbb{Q}$ 下是鞅，如果 $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[M_T | \mathcal{F}_t] = M_t$ 。直观解读是：给定你现在知道的，你对未来 $M$ 值的最佳预测就是它的当前值。鞅是随机环境下”公平博弈”的对的概念。

如果 $S_t$ 是股票价格、 $r$ 是无风险利率，那么贴现股票价格 $\tilde{S}_t = e^{-rt} S_t$ 在 $\mathbb{Q}$ 下是鞅。这正是无套利条件：贴现股票不能有可预测的增长，如果有，你可以利用这个可预测性赚无风险利润。 $\mathbb{Q}$ 下， $S_t$ 的期望增长率正好是 $r$ 。 $\mathbb{P}$ 下的期望增长率更高（因为股票有风险），但风险调整后的期望增长率是 $r$ 。

对到期日 $T$ 收益为 $V_T$ 的衍生品 $V_t$ ，无套利也强制 $\tilde{V}_t = e^{-rt} V_t$ 是鞅。所以

V_t = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[V_T | \mathcal{F}_t]

设 $t = 0$ 就得到定价公式。这就是风险中性定价的全部内容：衍生品是 $\mathbb{Q}$ 下的贴现期望。

基本定理

资产定价基本定理（FTAP）有两个版本。

FTAP 第一版。 市场无套利当且仅当存在一个等价鞅测度（一个与 $\mathbb{P}$ 等价、所有贴现资产价格都是鞅的测度 $\mathbb{Q}$ ）。

FTAP 第二版。 如果市场是完备的（每个或有权益可以被复制），等价鞅测度是唯一的。

这些定理是数学金融的形式化骨架。它们由 Harrison、Kreps、Pliska (1979)、Ross (1976) 等人分阶段证明，建立在 Black、Scholes、Merton 的无套利论证之上。

对我们来说，重点是：无套利 $\Leftrightarrow$ 存在风险中性测度。衍生品定价化简为在该测度下计算期望。

Girsanov 定理：变换的核心

怎么从 $\mathbb{P}$ 到 $\mathbb{Q}$ ？答案是 Girsanov 定理。我们对单个布朗运动陈述一个简化版本。

Girsanov 定理。 设 $W_t$ 是 $\mathbb{P}$ 下的标准布朗运动。设 $\theta_t$ 是适应过程，满足 Novikov 条件 $\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[\exp(\frac{1}{2} \int_0^T \theta_t^2 \, dt)] < \infty$ 。定义

W_t^{\mathbb{Q}} = W_t + \int_0^t \theta_u \, du

设 $\mathbb{Q}$ 是 Radon-Nikodym 导数为

\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} = \exp\left(-\int_0^T \theta_u \, dW_u - \frac{1}{2} \int_0^T \theta_u^2 \, du\right)

的测度。那么 $W_t^{\mathbb{Q}}$ 是 $\mathbb{Q}$ 下的标准布朗运动。

定理说：如果你用一个适应漂移平移一个布朗运动，你得到倾斜测度下的另一个布朗运动。倾斜, 密度过程, 就是定义 $\mathbb{Q}$ 的指数鞅。

对我们的 $\mathbb{P}$ 下股票价格 SDE

dS_t = \mu S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t^{\mathbb{P}}

想法是选 $\theta$ 使得 $\mathbb{Q}$ 下漂移变成 $r$ 。解 $\mu - \sigma \theta = r$ 得 $\theta = (\mu - r)/\sigma$ ，即风险的市场价格（Sharpe 比除以波动率）。定义

W_t^{\mathbb{Q}} = W_t^{\mathbb{P}} + \int_0^t \frac{\mu - r}{\sigma} \, du

那么 $\mathbb{Q}$ 下，

dS_t = r S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t^{\mathbb{Q}}

这就是 $\mathbb{Q}$ 下的 SDE：漂移 $r$ 的 GBM。波动率 $\sigma$ 不变, 只有漂移变了。这就是测度变换在起作用。

风险的市场价格

量 $\theta = (\mu - r)/\sigma$ 叫做股票的风险的市场价格。它度量投资者持有股票时每单位波动率要求多少额外收益。等价地，它是 Sharpe 比除以波动率, 市场愿意做的风险收益权衡。

在多资产世界里，每个资产有自己的风险的市场价格。它们不独立, 必须满足一定的一致性条件，使得不出现套利。对 $n$ 个由 $d$ 个布朗运动驱动的资产，你有 $n$ 个风险市场价格和 $d$ 个随机源，给出一个 $n \times d$ 矩阵决定风险溢价。只要这个矩阵跟一个有效的等价测度一致，市场就是无套利的。

每个资产的风险市场价格的存在等价于等价鞅测度的存在。这是同一件事的不同语言。

GBM 的完整推导

让我们仔细重做测度变换。设置：

$W_t$ 是 $\mathbb{P}$ 下的布朗运动。
$S_t$ 在 $\mathbb{P}$ 下满足 $dS_t = \mu S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t$ 。
我们想要一个测度 $\mathbb{Q}$ ，使得 $dS_t = r S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t^{\mathbb{Q}}$ 。

定义过程

\theta_t = \frac{\mu - r}{\sigma}

（常数，因为这里 $\mu$ 、 $r$ 、 $\sigma$ 都是常数）。定义

W_t^{\mathbb{Q}} = W_t + \theta t = W_t + \frac{\mu - r}{\sigma} t

和密度过程

Z_t = \exp\left(-\theta W_t - \frac{1}{2} \theta^2 t\right) = \exp\left(-\frac{\mu - r}{\sigma} W_t - \frac{1}{2} \left(\frac{\mu - r}{\sigma}\right)^2 t\right)

由 Girsanov， $W_t^{\mathbb{Q}}$ 是 $\mathbb{Q}$ 下的布朗运动。把 $dW_t = dW_t^{\mathbb{Q}} - \theta \, dt$ 代入股票 SDE：

dS_t = \mu S_t \, dt + \sigma S_t (dW_t^{\mathbb{Q}} - \theta \, dt)

= (\mu - \sigma \theta) S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t^{\mathbb{Q}} = r S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t^{\mathbb{Q}}

因为 $\sigma \theta = \mu - r$ 。完成。测度变换是精确的， $\mathbb{Q}$ 下股票赚无风险利率。

这比一个数学把戏更重要。它说：存在一个概率测度，在它下面股票按无风险利率增长。测度是显式构造的。在这个测度下贴现期望收益给出正确的价格。

通过风险中性定价的 Black-Scholes 公式

给定 $dS_t = r S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t^{\mathbb{Q}}$ 以及 $S_0$ ，显式解是

S_T = S_0 \exp\left[\left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right) T + \sigma W_T^{\mathbb{Q}}\right]

对收益为 $(S_T - K)^+$ 的欧式看涨，价格是

C_0 = e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[(S_T - K)^+]

用 $S_T$ 的对数正态分布计算期望得到 Black-Scholes 公式：

C_0 = S_0 \Phi(d_1) - K e^{-rT} \Phi(d_2)

d_1 = \frac{\log(S_0/K) + (r + \sigma^2/2) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}

期望收益 $\mu$ 不出现。无风险利率 $r$ 出现。这是风险中性定价最干净的展示：一个不含 $\mu$ 的公式，由含 $\mu$ 的 SDE 推出。

对冲和完备性

FTAP 的另一面是完备性。市场是完备的，如果每个或有权益可以被交易策略复制。在 Black-Scholes 设置下，市场是完备的。有唯一的等价鞅测度，对冲策略就是著名的 delta 对冲：每卖一份期权持有 $\partial C / \partial S$ 股股票。

如果市场不完备, 比如有多个随机源但没有足够的可交易资产去张成它们, 那么会有多个等价鞅测度，衍生品价格不会被无套利单独唯一决定。会有一个无套利价格区间。区间的宽度度量不完备性。

实务上，大多数市场近似完备。股票张成股票的波动率。期权张成期权的波动率。有些奇异权益不能精确复制（深度虚值期权、非流动标的），但那些是角落案例。

Monte Carlo 定价

定价公式 $V_0 = e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[V_T]$ 是一个菜谱。要通过 Monte Carlo 定价衍生品，你：

在 $\mathbb{Q}$ 下模拟底层路径（漂移 $r$ 、波动率 $\sigma$ 等）。
在每条路径上计算收益 $V_T$ 。
对贴现收益求平均。

这就是整个算法。你不在 $\mathbb{P}$ 下模拟。你不用 $\mu$ 。你用风险中性 SDE。

对像亚式期权这样的奇异收益，没有闭式，Monte Carlo 是标准方法。对障碍期权，你可能用闭式近似或模拟。对篮子期权，模拟基本上是除了矩匹配近似之外的唯一选择。

import numpy as np

def price_european_call(S0, K, r, sigma, T, n_paths=200000, seed=42):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    Z = rng.standard_normal(n_paths)
    ST = S0 * np.exp((r - 0.5 * sigma**2) * T + sigma * np.sqrt(T) * Z)
    payoff = np.maximum(ST - K, 0.0)
    return np.exp(-r * T) * payoff.mean()

print(price_european_call(100, 100, 0.05, 0.20, 1.0))

输出应该接近这些输入下 Black-Scholes 的 10.45。用更多路径跑以获得更紧的误差。注意 $\mu$ 完全没出现。改它价格也不动。

为什么期权价格对波动率敏感、对漂移不敏感

直觉：期权的收益依赖终值的分布，而不是它的期望值。终值的期望值是 $S_0 e^{rT}$ ，跟 $\mu$ 无关, $\mathbb{Q}$ 下漂移是 $r$ ，不是 $\mu$ 。所以改 $\mu$ 不改期望终值，只改你计算期望的测度。

但改 $\sigma$ 改变整个分布。更高的波动率意味着更肥的尾、更极端的结果、看涨期权更深程度 in-the-money 结束的可能性更大。所以看涨价格随 vol 上升。这就是杠杆效应，它解释了为什么 vega（对 vol 的敏感度）是最重要的 Greeks 之一。

同样的论证解释了为什么虚值 put 在波动市场上变贵：对数正态在高 vol 下更肥的左尾让深度损失更可能。风险中性定价把这个讲得精确。

风险中性定价的局限

风险中性定价在以下情况有效：

市场无套利。
收益是可达的（或近似可达的）。
风险中性测度是唯一的或已知的。

它在以下情况不有效：

市场非流动、买卖价差主导（价格不再是干净的期望）。
收益高度路径相关、模型错了（你得到一个无人愿意交易的 arbitrage-free 价格）。
模型有肥尾或跳跃、期权深度虚值（模型价格远偏离真实银行的报价）。

对实务工作，风险中性定价是基线。你算无套利价格，然后跟市场报价比较。差距就是你模型的误差。如果差距小，你信模型。如果差距大，你需要更好的模型。

该带走的

资产定价基本定理说：无套利 $\Leftrightarrow$ 等价鞅测度 $\mathbb{Q}$ 的存在。Girsanov 定理给你构造：把布朗运动按风险的市场价格平移，你得到一个 $\mathbb{Q}$ -布朗运动。 $\mathbb{Q}$ 下股票按 $r$ 增长，衍生品价格是收益在 $\mathbb{Q}$ 下的贴现期望。

期望收益 $\mu$ 消失。波动率留下。这是对”衍生品定价是关于风险而不是收益”这件事的最干净的表达。

参考文献：Björk (2009) Arbitrage Theory in Continuous Time 第 10–11 章；Shreve (2008) Stochastic Calculus for Finance II 第 5 章；Hull (2018) 第 15.7 节（Black-Scholes-Merton 章里的风险中性定价）。Glasserman (2004) 在整本书里讨论 $\mathbb{Q}$ 下的 Monte Carlo。概念上的重点是简单的。技术细节要花一两个章节。慢慢来。

仔细的 Radon-Nikodym 导数

密度过程 $Z_t = d\mathbb{Q}/d\mathbb{P}|_{\mathcal{F}_t}$ 是一个指数鞅。它的动态是

\frac{dZ_t}{Z_t} = -\theta \, dW_t

所以 $Z_t = \exp(-\theta W_t - \frac{1}{2} \theta^2 t)$ 。Novikov 条件 $\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[\exp(\frac{1}{2} \int_0^T \theta^2 \, dt)] < \infty$ 保证 $Z_T$ 的期望是 1，这是概率密度的要求。

对常数 $\theta$ ，Novikov 条件变为 $\exp(\frac{1}{2} \theta^2 T) < \infty$ ，永远成立。所以对常数风险的市场价格，所有 $T$ 下测度变换都良定义。对随机 $\theta_t$ ，你需要额外条件保证可积性。

指数鞅有一个好的性质：它是唯一的满足 $\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_T \cdot X_T] = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X_T]$ 对任何权益 $X_T$ 成立的鞅 $Z_t$ 。所以如果你能找到正确的密度，你可以通过 $\mathbb{P}$ 下用 $Z_T$ 加权的期望计算 $\mathbb{Q}$ 下的期望。这是重要抽样的基础，一个 Monte Carlo 方差缩减技术。

Cameron-Martin 空间

Girsanov 定理有一个几何解释。等价测度下等价布朗运动的空间是 Cameron-Martin 空间, $L^2$ 范数下绝对连续函数的闭包。Girsanov 定理中出现的漂移 $\theta_t$ 必须在这个空间里，测度变换才有效。

对 Cameron-Martin 空间外的过程 $\theta_t$ （比如有太多自身波动率的过程），不存在让平移后布朗运动成为真正布朗运动的等价测度。这是一个正则性条件。在大多数金融应用里， $\theta_t$ 有界或最多线性增长，所以我们安全地在 Cameron-Martin 空间里。

多维情形

当有多个布朗运动和多个资产时，测度变换推广。设 $\mathbf{W}_t = (W_t^1, \ldots, W_t^d)$ 是 $\mathbb{P}$ 下独立布朗运动的向量。设第 $i$ 个资产满足

dS_t^i = \mu_i S_t^i \, dt + \sum_{j=1}^d \sigma_{ij} S_t^i \, dW_t^j

定义一个 $d$ 维过程 $\boldsymbol{\theta}_t = (\theta_t^1, \ldots, \theta_t^d)$ , 风险市场价格向量, 通过要求

\mu_i - r = \sum_{j=1}^d \sigma_{ij} \theta^j

对每个 $i$ 成立。这是一个 $n \times d$ 线性系统， $n$ 是资产数。如果 $d \geq n$ 且波动率矩阵满行秩， $\boldsymbol{\theta}$ 唯一确定。如果 $d < n$ ，系统欠定，我们有多个风险中性测度, 市场不完备。

$\mathbb{Q}$ 下，

dS_t^i = r S_t^i \, dt + \sum_{j=1}^d \sigma_{ij} S_t^i \, dW_t^{\mathbb{Q}, j}

其中 $\mathbf{W}_t^{\mathbb{Q}} = \mathbf{W}_t + \int_0^t \boldsymbol{\theta}_u \, du$ 。密度过程是

Z_t = \exp\left(-\int_0^t \boldsymbol{\theta}_u \cdot d\mathbf{W}_u - \frac{1}{2} \int_0^t |\boldsymbol{\theta}_u|^2 \, du\right)

这就是多资产 Girsanov 定理。对单资产单布朗运动的 Black-Scholes，它化简为我们上面推导的标量情形。

贝叶斯解读

有一个漂亮的贝叶斯解读测度变换。 $\mathbb{P}$ 下，你对市场情景有一个先验，按物理似然加权。 $\mathbb{Q}$ 下，你有一个后验，按经济价值加权。密度 $Z_T$ 是把先验带到后验的似然比。

这不是隐喻。这是一个精确的陈述。Radon-Nikodym 导数 $Z_T$ 是贝叶斯因子。 $\mathbb{Q}$ 下的定价是用特定先验的贝叶斯推断。风险溢价是从物理信念更新到风险中性信念的代价。

含义：衍生品价格编码了关于风险偏好的信息。虚值 put 贵（相对对数正态）意味着市场在对权益回撤定高价。这是风险中性推断的基础：从期权价格反解隐含风险中性分布，读出市场风险溢价。这就是整个无模型隐含波动率和风险中性矩的领域。

风险中性定价实务上失败时

公式坏掉的三种情形：

违约风险。 如果对手方可能违约，收益 $(S_T - K)^+$ 没有保证。你必须按存活概率贴现并调整回收。结果是信用调整后的价格，不再是 $\mathbb{Q}$ 下干净的期望。
流动性风险。 如果你不能按中间价交易（必须跨越价差），无套利论证失效。价格依赖流动性溢价，不仅仅是贴现期望。
融资约束。 如果你的对冲项目有融资成本（抵押品、回购、保证金），对冲的成本不仅仅是期权收益。有随时间变化的融资成本，造成残余基差。

对流动标的上 vanilla 产品，这些效应小。对奇异产品、结构化产品和困境名字，它们主导。很多现实世界衍生品交易的价格远离教科书的风险中性期望。

一个微妙的点：计价物

风险中性测度不唯一。它依赖你选哪个资产作为计价物, 贴现的记账单位。与无风险银行存款 $B_t = e^{rt}$ 作为计价物相关的测度是 $\mathbb{Q}^B$ ，通常就叫 $\mathbb{Q}$ 。但你同样可以定义一个测度 $\mathbb{Q}^S$ ，与股票 $S_t$ 本身作为计价物相关。 $\mathbb{Q}^S$ 下， $1/S_t$ 贴现是鞅，这意味着 $S_t$ 本身在 $\mathbb{Q}^S$ 下有零漂移。

不同计价物给出不同风险中性测度，但它们都对任何可交易权益给出相同价格。这就是计价物不变性：衍生品的价格在 $\mathbb{Q}^B$ 或 $\mathbb{Q}^S$ 下计算都一样。

计价物不变性的实际用途：如果你能换到一个让期望更容易计算的计价物，就换。例如，股票计价物下定价把看涨期权的期望变成关于股票是否在到期时高于行权价的概率问题。这用一行给出数字期权价格。

关于 $\mathbb{Q}$ 下布朗运动的题外话

一个微妙但重要的点：过程是”布朗运动”是一个跟测度有关的陈述。同一个过程 $W_t$ 在 $\mathbb{P}$ 下是布朗运动，但 $W_t + \theta t$ 在 $\mathbb{Q}$ 下是布朗运动。两者都是连续鞅，有二次变分 $t$ 。两者都有高斯增量。但只有一个在每个测度下有零均值增量。

这就是为什么金融里”布朗运动”的概念总是测度限定的。我们说” $\mathbb{Q}$ 下的布朗运动”以求精确。同一个 $W_t$ 在不同测度下是不同的对象，有不同的动态。