协方差矩阵与相关矩阵

协方差和相关矩阵总结了资产收益如何共同运动。协方差矩阵是现代投资组合理论和风险管理的基础。

第 5 篇 · 共 6 篇约 4 分钟

协方差：衡量变量如何共同运动

给定两个随机变量 $X$ 和 $Y$ ，均值分别为 $\mu_X$ 和 $\mu_Y$ ，协方差衡量它们是否倾向于同向运动：

\text{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)]

当 $X$ 高于其均值且 $Y$ 也高于其均值时，乘积 $(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)$ 为正，协方差增大。当一个高于均值而另一个低于均值时，乘积为负，协方差减小。如果知道 $X$ 的位置无法告诉你关于 $Y$ 位置的任何信息，正负乘积会相互抵消，协方差接近零。

协方差的一个局限性是它依赖于 $X$ 和 $Y$ 的单位。如果 $X$ 以美元衡量， $Y$ 以基点衡量，协方差的大小反映了这些任意刻度。

协方差矩阵

当你有 $n$ 个资产时，协方差矩阵 $\mathbf{\Sigma}$ 将所有方差和协方差组织在一个结构中：

\mathbf{\Sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & \text{Cov}_{12} & \text{Cov}_{13} & \cdots \\ \text{Cov}_{21} & \sigma_2^2 & \text{Cov}_{23} & \cdots \\ \text{Cov}_{31} & \text{Cov}_{32} & \sigma_3^2 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}

对角线条目是单个资产的方差。非对角线条目是资产对之间的协方差。

相关矩阵是归一化版本——每个对角线条目为 1（资产与自身完全相关），每个非对角线条目是一对资产之间的相关性：

\text{Corr}_{ij} = \frac{\Sigma_{ij}}{\sigma_i \sigma_j}

必需的性质：对称性与半正定性

有效的协方差矩阵有两个不可或缺的性质。

对称性： $\Sigma_{ij} = \Sigma_{ji}$ 。协方差按定义是对称的——资产 $i$ 与资产 $j$ 之间的协方差与 $j$ 和 $i$ 之间的协方差相同。

半正定性： $\mathbf{\Sigma}$ 的所有特征值大于或等于零。具有负特征值的协方差矩阵意味着具有负方差的投资组合——这不可能。你可以用 Python 验证：

import numpy as np

Sigma = np.array([[1.0, 0.5, 0.2],
                  [0.5, 1.0, 0.3],
                  [0.2, 0.3, 1.0]])

eigenvalues = np.linalg.eigvalsh(Sigma)
print("特征值:", eigenvalues)
print("全部非负:", np.all(eigenvalues >= 0))

提示词

用 numpy.linalg.eigvalsh 算一个 3×3 对称矩阵的特征值,验证它们都非负。

以 $\mathbf{\Sigma} = \frac{1}{T-1}\mathbf{X}^\top \mathbf{X}$ 形式构造的协方差矩阵通过构造就是半正定的，因为对任意向量 $\mathbf{w}$ ，

\mathbf{w}^\top \mathbf{\Sigma} \mathbf{w} \;=\; \frac{1}{T-1}\,\mathbf{w}^\top \mathbf{X}^\top \mathbf{X} \mathbf{w} \;=\; \frac{1}{T-1}\|\mathbf{X}\mathbf{w}\|^2 \;\geq\; 0.

这无论你是否减去列均值都成立：中心化把 $\mathbf{X}$ 变成 $\mathbf{X}_c$ ，但 $\mathbf{X}_c^\top \mathbf{X}_c = \mathbf{X}^\top \mathbf{X} - T\bar{x}\bar{x}^\top \succeq \mathbf{X}^\top \mathbf{X}$ 仍是半正定的，依据同样的论证（它是两个半正定矩阵之和）。中心化影响特征值的数值以及对角线的解释（方差 vs. 二阶矩），但不影响 PSD 性质。估计噪声、样本量和分母选择也不会使 PSD 失效，约束 $\mathbf{X}^\top\mathbf{X}/(T-1) \succeq 0$ 是纯代数的。

因此，如果你实际计算 $\mathbf{X}^\top\mathbf{X}/(T-1)$ 并观察到负特征值，原因不是统计性的；原因是数值性的：浮点误差跨行累积，或构造本身存在错误（比如混入了未中心化的交叉积、用了不同的分母，或代入了一个不具有该代数形式的无效相关性/协方差估计）。

用 Python 计算

import numpy as np
import pandas as pd


np.random.seed(42)
returns = pd.DataFrame({
    "AAPL": np.random.randn(252) * 0.02 + 0.001,
    "MSFT": np.random.randn(252) * 0.018 + 0.0008,
    "GOOG": np.random.randn(252) * 0.025 + 0.0012,
    "AMZN": np.random.randn(252) * 0.022 + 0.001
})

# 协方差矩阵（年化——日方差 * 252）
cov_matrix = returns.cov() * 252
print("年化协方差矩阵:\n", cov_matrix)

# 相关矩阵
corr_matrix = returns.corr()
print("\n相关矩阵:\n", corr_matrix)

# 手动验证
std = returns.std() * np.sqrt(252)
manual_corr = cov_matrix / np.outer(std, std)
print("\n手动计算的相关性（应匹配）:\n", manual_corr)

提示词

用 pandas 模拟 4 个资产 252 天的收益率,算年化协方差矩阵、相关矩阵,手动验证一下。

通过矩阵代数计算投资组合方差

现代投资组合理论用矩阵简洁地表达投资组合方差。给定投资组合权重向量 $\mathbf{w}$ 和协方差矩阵 $\mathbf{\Sigma}$ ：

\sigma_p^2 = \mathbf{w}^\top \mathbf{\Sigma} \mathbf{w}

这个标量输出是所有成对协方差的加权和，其中每个权重积 $w_i w_j$ 乘以资产 $i$ 和 $j$ 之间的协方差。

import numpy as np

# 四个资产，协方差矩阵（年化）
Sigma = np.array([[0.0400, 0.0180, 0.0120, 0.0150],
                  [0.0180, 0.0324, 0.0140, 0.0160],
                  [0.0120, 0.0140, 0.0625, 0.0200],
                  [0.0150, 0.0160, 0.0200, 0.0484]])

# 等权重
w = np.array([0.25, 0.25, 0.25, 0.25])

# 投资组合方差
port_var = w @ Sigma @ w
port_std = np.sqrt(port_var)
print(f"投资组合方差: {port_var:.6f}")
print(f"投资组合标准差: {port_std:.4f} ({port_std*100:.2f}%)")

提示词

用 numpy 算一个等权重 4 资产组合的方差:矩阵乘法 w @ Σ @ w,再开根号得到标准差,打印出来。

小 $n$ 、大 $p$ 问题

当资产数量 $n$ 大于观测数量 $T$ 时，会出现一个严重的实际问题。样本协方差矩阵 $\mathbf{S} = \frac{1}{T-1}\mathbf{R}_c^\top\mathbf{R}_c$ （其中 $\mathbf{R}_c$ 是中心化收益矩阵，每列的均值已从每个元素中减去）就是奇异的——它没有逆矩阵，特征值包含零。

对于 500 个资产仅有 252 天的数据，样本协方差矩阵基本上不可靠。许多正则化技术可以解决这个问题：向结构化目标（如常数相关性或单因子模型）收缩、因子的协方差估计，或使用随机矩阵理论过滤噪声。

这就是 PCA 重要的原因之一——通过将 $n$ 个资产降维到 $k$ 个主成分，你大大减少了要估计的参数数量，并回避了奇异性问题。

参考文献

Ruppert, Statistics and Data Analysis for Financial Engineering, 2nd edition, Springer, Chapter 3. ISBN: 978-1493926134.

Markowitz, “Portfolio Selection,” The Journal of Finance, 7(1): 77–91, 1952.