风险管理：波动率、VaR与仓位管理

每一个投资决策都携带风险。理解如何衡量风险——波动率、VaR、回撤和仓位管理——是保护资本的基础。

第 3 篇 · 共 30 篇约 4 分钟

投资的第一条规则是不亏钱。第二条规则是记住第一条。风险管理是理解、衡量和控制风险的工作。

什么是风险？

在金融中，风险是实际回报与预期回报不同的可能性。通常，我们关心的是下行风险——亏损的可能性。

两类风险：

系统性（市场）风险： 影响所有资产（衰退、战争）
特质性（特定）风险： 影响个别公司或行业

分散化可以消除特质性风险但不能消除系统性风险。

波动率：主要风险衡量指标

波动率是回报的标准差——衡量回报通常偏离均值的程度。

\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(R_i - \bar{R})^2}{n-1}}

年化波动率： 日波动率或月波动率折算为年化：

日波动率 × √252（每年252个交易日）
月波动率 × √12

高波动率： 组合价值波动较大。 低波动率： 组合价值更稳定。

Python计算波动率

import numpy as np
import pandas as pd

def annualized_volatility(returns, periods_per_year=252):
    """
    Calculate annualized volatility from return series.
    """
    return np.std(returns, ddof=1) * np.sqrt(periods_per_year)


def rolling_volatility(returns, window=20, periods_per_year=252):
    """
    Calculate rolling volatility.
    """
    return returns.rolling(window).std() * np.sqrt(periods_per_year)


def downside_volatility(returns, target=0, periods_per_year=252):
    """
    Calculate downside (semi) volatility—only negative deviations from target.
    """
    downside_returns = returns[returns < target]
    return np.std(downside_returns - target, ddof=1) * np.sqrt(periods_per_year)

提示词

用 numpy 和 pandas 写一组波动率函数:基于 std 的年化波动率、用 rolling 算的滚动波动率、只算负偏离的下行波动率。

风险价值（VaR）

VaR是在给定时间窗口内、仅以 (1 - 置信度) 的概率被突破的损失阈值。形式上：在置信度 α 与时间窗口 h 下，VaR 是损失分布的 α-分位数，使得

P(L > VaR_\alpha) = 1 - \alpha

VaR 不是最坏情况或”最大”损失，而是损失分布的一个分位数。剩余的 (1 - α) 尾部包含比 VaR 更糟的结果；VaR 完全不描述这部分损失的幅度（可参考 Expected Shortfall / CVaR）。

示例： “我们的1天95% VaR是100万美元。” 解读：一天内有95%的概率损失不超过100万美元，有5%的概率（约每20个交易日一次）会超过该值。VaR 并不说明那些坏日子里损失会大多少。

VaR计算方法

1. 历史VaR： 构造历史多期损失的实证分布，然后读出 (1 - α) 分位数。每条路径是 periods 个采样日度回报的求和/复合，而非按比例放大的单期回报。

2. 参数（方差-协方差）VaR： 假设损失服从正态分布。当时间窗口 h 与回报单位一致时（如 h 天），μ_h = h · μ、σ_h = σ · √h，损失分位数为

VaR_\alpha(h) = -\bigl(\mu_h + z_{1-\alpha}\,\sigma_h\bigr)\,\text{Portfolio Value} = -\bigl(h\mu + z_{1-\alpha}\,\sigma\sqrt{h}\bigr)\,V

对于95%置信度，z_{0.05} ≈ -1.645，所以 -z_{0.05} ≈ 1.645。

3. 蒙特卡洛VaR： 从拟合的回报分布（或直接从经验分布）采样长度为 h 的回报路径。每条路径的损失为该窗口内的复合回报。VaR 即这些路径损失的 (1 - α) 百分位数。

from scipy import stats

def historical_var(returns, confidence=0.95, periods=1, n_scenarios=10000):
    """
    Historical VaR via path-based aggregation: build multi-period returns by
    summing/compounding sampled daily returns, then take the loss percentile.
    """
    if len(returns) < periods:
        raise ValueError("Not enough returns to build paths of length `periods`.")

    rng = np.random.default_rng()
    n_paths = n_scenarios
    sampled = rng.choice(returns, size=(n_paths, periods), replace=True)
    multi_period_returns = sampled.sum(axis=1)            # arithmetic aggregation
    # For a buy-and-hold P&L: wealth_path = prod(1 + r_t); loss = V * (1 - prod(1+r_t))
    # We report the return quantile; multiply by portfolio_value to get $ VaR externally.
    return np.percentile(multi_period_returns, (1 - confidence) * 100)


def parametric_var(returns, confidence=0.95, periods=1):
    """
    Parametric VaR assuming normal returns over an h-period horizon.
    VaR (as a positive loss) = -(mu_h + z_{1-alpha} * sigma_h), where
        mu_h    = periods * mu
        sigma_h = sigma * sqrt(periods)
    and z_{1-alpha} is the (1-alpha) standard-normal quantile (negative).
    """
    mu = np.mean(returns)
    sigma = np.std(returns, ddof=1)
    mu_h = periods * mu
    sigma_h = sigma * np.sqrt(periods)
    z = stats.norm.ppf(1 - confidence)  # negative, e.g. -1.645 at 95%
    # VaR expressed as the negative quantile return (positive number = loss)
    return -(mu_h + z * sigma_h)


def monte_carlo_var(returns, n_simulations=10000, confidence=0.95, periods=1):
    """
    Monte Carlo VaR: build multi-period return paths by resampling from the
    empirical distribution, then take the loss percentile of the path returns.
    """
    rng = np.random.default_rng()
    paths = rng.choice(returns, size=(n_simulations, periods), replace=True)
    multi_period_returns = paths.sum(axis=1)
    return np.percentile(multi_period_returns, (1 - confidence) * 100)

提示词

用 numpy 和 scipy.stats 写三种 VaR 函数:多期路径重采样的历史 VaR、基于正态分布的参数 VaR、蒙特卡洛路径模拟 VaR。

最大回撤

回撤是组合价值从峰到谷的下降：

Drawdown = \frac{Peak - Trough}{Peak}

最大回撤（MDD）： 观察期间内最大的回撤。

最大回撤特别重要，因为：

它代表了历史上最坏的情况
恢复需要等于损失比例的收益（亏损50%需要100%收益才能恢复）
心理上，大回撤会导致投资者在最坏时机放弃策略

def max_drawdown(prices):
    """
    Calculate maximum drawdown from a price series.
    """
    wealth_index = prices / prices.iloc[0]
    previous_peaks = wealth_index.cummax()
    drawdowns = (wealth_index - previous_peaks) / previous_peaks
    return drawdowns.min()


def drawdown_series(prices):
    """
    Calculate the drawdown series.
    """
    wealth_index = prices / prices.iloc[0]
    previous_peaks = wealth_index.cummax()
    return (wealth_index - previous_peaks) / previous_peaks

提示词

用 pandas 写两个回撤函数:用 cummax 计算的最大回撤和完整的回撤时间序列。

仓位管理

在任何给定交易中应该下多少注？这是组合管理中最重要的决策之一。

固定比例仓位管理： 每笔交易风险组合的固定百分比。

Position\ Size = \frac{Risk\ Budget \times Portfolio\ Value}{Entry\ Price - Stop\ Loss}

示例： 10万美元组合，每笔交易愿意承担1%风险，入场价50美元，止损价48美元。 $Position\ Size = \frac{0.01 \times 100,000}{50 - 48} = \frac{1,000}{2} = 500\ shares$

凯利公式

凯利公式最大化预期对数财富（几何增长率）：

f^* = \frac{b \times p - q}{b}

其中：

$f^*$ = 投入组合的 fraction
$b$ = 赌注的赔率（盈利 / 亏损）
$p$ = 获胜概率
$q$ = 亏损概率（= 1 - p）

大多数实践者使用半凯利或四分之一凯利，因为估计误差和风险厌恶。

def kelly_fraction(win_prob, win_loss_ratio):
    """
    Calculate Kelly fraction for position sizing.

    win_prob: probability of winning
    win_loss_ratio: average win / average loss
    """
    q = 1 - win_prob
    f = (win_loss_ratio * win_prob - q) / win_loss_ratio
    return max(0, f)


def half_kelly(win_prob, win_loss_ratio):
    """Half Kelly: more conservative than full Kelly."""
    return kelly_fraction(win_prob, win_loss_ratio) / 2

提示词

写两个仓位管理函数:凯利分数(输入胜率和盈亏比,结果不超过 0)和保守的半凯利。

风险预算

机构组合通常在以下方面分配风险预算：

资产类别（股票、债券、另类资产）
地理区域
因子（市场贝塔、规模、价值）
个别仓位

目标是：确保没有单个仓位或因子主导组合风险。

核心要点

风险 = 亏损的可能性（主要是下行）
波动率（回报标准差）是主要风险衡量指标
VaR总结给定置信水平下的最坏情况损失
最大回撤衡量峰到谷的下降
仓位管理是最可控的风险决策
凯利公式最大化几何增长但对大多数投资者来说过于激进

参考文献

Taleb, Dynamic Hedging. Wiley, 1996. ISBN: 978-0-471-15253-2.
Ang, Asset Management. Oxford University Press, 2014. ISBN: 978-0-19-995932-3.
Hull, Risk Management and Financial Institutions. Wiley, 2018. ISBN: 978-1-119-48238-2.